撓性航天器的退步直接自適應姿態跟蹤控制

劉敏， 徐世杰， 韓潮

北京航空航天大學 宇航學院， 北京 100191

撓性航天器的退步直接自適應姿態跟蹤控制

劉敏， 徐世杰*， 韓潮

北京航空航天大學 宇航學院， 北京 100191

針對參數不確定的撓性航天器姿態跟蹤控制問題，提出了一種退步直接自適應控制算法。首先驗證了撓性航天器動力學子系統的近似嚴格正實性，并設計了具有理想控制性能的參考模型；然后對以姿態四元數描述的運動學子系統設計常系數輸出反饋中間控制律，使航天器姿態四元數輸出漸近跟蹤參考模型輸出；最后退一步，對具有參數不確定特性的動力學子系統，基于非線性直接自適應控制理論和Lyapunov穩定性理論，設計了退步直接自適應姿態跟蹤控制器，并證明了閉環系統的穩定性。仿真結果表明，所提控制方法能有效抑制撓性附件的振動，對撓性航天器的控制是有效的。

撓性航天器； 不確定性； 姿態控制； 退步控制； 非線性直接自適應控制； 正實性

現代航天器通常帶有太陽能電池帆板、空間機械臂、天線、桁架等大型撓性部件，這些部件的振動與航天器的姿態運動產生耦合會影響航天器姿態控制的精度，甚至會危害到航天器的正常運行[1]。所以近幾十年來，大型撓性航天器的姿態控制一直是航天領域研究的熱點之一。針對此問題，專家們提出了諸如基于狀態變量的 Riccati方程方法[2]以及滑模變結構控制等[3-4]控制方法，然而上述方法均依賴航天器的參數信息，或需設計模態觀測器[4]。而撓性航天器具有因燃料消耗以及太陽帆板、機械臂等機構的運動而造成的系統參數不確定性，撓性部件模態坐標維數高不可直接用于控制器設計的特點，所以上述控制方法較難滿足參數不確定撓性航天器的姿態控制精度要求。

直接自適應控制(Direct Adaptive Control)是由Sobel等[5]首先提出的一類基于參考模型的自適應控制方法。其結構簡單、不依賴被控對象參數、能實現低階控制器對高階甚至任意階被控對象的控制，且閉環系統穩定性僅依賴被控對象的近似嚴格正實(Almost Strictly Positive Real, ASPR)[6]性，因而在撓性空間結構控制領域得到廣泛的研究[7-9]，但直接自適應控制在航天器姿態控制領域的研究受到航天器系統的強非線性和非近似嚴格正實性的限制。雖然文獻[10]和文獻[11]研究了剛體航天器的直接自適應姿態控制，但是他們并沒有考慮撓性部件振動對航天器姿態控制的影響，也沒有分析航天器系統的近似嚴格正實性。

退步控制方法是由Kanellakopoulos等[12]首先提出并廣泛應用于線性系統以及非線性系統的一類遞推控制器設計方法，其最大的特點為可以將高相對階被控對象分解成低相對階子系統并設計遞推控制器[13-14]。本文利用退步控制方法處理高相對階被控對象的靈活性，將非近似嚴格正實的撓性航天器系統分解成低相對階的動力學子系統以及非線性的運動學子系統，并驗證了動力學子系統的近似嚴格正實性，然后基于非線性直接自適應控制理論[15]和退步控制方法，設計了撓性航天器的退步直接自適應姿態跟蹤控制器。通過對不同仿真初始值下的仿真結果進行分析和比較，驗證了該控制器可有效抑制撓性振動并實現對參數不確定撓性航天器的有效控制。

1 問題描述

撓性航天器姿態動力學方程可以描述為[16]

(1)

(2)

式(1)和式(2)分別為撓性航天器的轉動方程和撓性部件振動方程。式中：I為撓性航天器轉動慣量；ω=[ωxωyωz]T為本體系下描述的航天器姿態角速度；F為耦合系數矩陣；Tb為在本體系下描述的姿態控制力矩；η=[η1η2…ηi]T為模態坐標列陣；ξf=[ξ1ξ2…ξi]T為阻尼矩陣；ωf=[ω1ω2…ωi]T為模態頻率矩陣；i為撓性模態階數，通常情況下i值較大。假設上述參數中航天器的轉動慣量I、撓性信息F、ωf以及ξf均具有不確定性，不能直接用于控制器設計，而ω的反對稱矩陣為

(3)

當航天器姿態敏感器與執行機構同位安裝時，動力學子系統的輸出為姿態角速度ω，撓性航天器動力學子系統的狀態方程為

{

(4)

式中：

Ei為適當維數的單位矩陣；0為適當維數的零矩陣。由于I、F、ωf以及ξf均為不確定參數，所以式(4)中的系數Ap、Bp均不確定，不能直接用于控制器設計。

(5)

參數不確定撓性航天器姿態跟蹤問題可以描述為：對于給定的期望姿態角速度以及期望姿態四元數，設計不依賴航天器參數的控制律u，使航天器實現從初始姿態對期望姿態的漸近跟蹤。

2 近似嚴格正實性

近似嚴格正實性是直接自適應控制理論中一個非常重要的定義，由指令發生跟蹤器(Command Generator Tracker, CGT)理論[6]以及非線性直接自適應控制理論[11-12]可以得知，線性系統{A,B,C}滿足近似嚴格正實性條件，則系統在直接自適應控制作用下，能實現對理想輸出的理想跟蹤。對于正實性有以下定義與引理[9]：

定義1對于線性系統{A,B,C}，如果存在正定對稱陣P以及正定陣Q，滿足Kalman-Yacubovic條件

{

ATP+PA=-Q
BTP=C

(6)

則稱線性系統{A,B,C}為嚴格正實的，其傳遞函數為嚴格正實函數。

{

(7)

為嚴格正實的，則稱線性系統{A,B,C}為近似嚴格正實的，其傳遞函數為近似嚴格正實函數。

引理1對于傳遞函數為G(s)=C(sE-A)-1B的最小相位線性系統{A,B,C}，若滿足CB>0，則系統{A,B,C}為近似嚴格正實的，其傳遞函數為近似嚴格正實函數。

對于敏感器與執行機構同位安裝的撓性航天器，其動力學方程式(4)中的線性部分{Ap,Bp,Cp}為最小相位系統，且有

(8)

式中：M為撓性航天器廣義質量陣的逆矩陣，由式(4)中M的定義可得出M為正定對稱陣。所以對于{Ap,Bp,Cp}有CpBp>0，由引理1可知撓性航天器動力學子系統中{Ap,Bp,Cp}滿足近似嚴格正實性條件，其傳遞函數為近似嚴格正實函數。

3 控制器設計

3.1 參考模型的選取

為對撓性航天器進行退步直接自適應控制器設計，首先需設計具有理想控制性能的參考模型，該參考模型的輸出即為實際航天器的期望姿態信息。與實際被控對象相對應，參考模型也分為參考動力學子系統與參考運動學子系統。

設航天器的期望姿態角速度、期望姿態四元數分別為

由于航天器運動學方程式(5)中不包含不確定參數，為精確已知系統，所以可以選擇參考運動學子系統為

(9)

對于動力學子系統式(4)，設計如下具有理想控制性能的參考動力學子系統：

{

(10)

式中：Am、Bm和Cm為適當維已知系數矩陣；um為參考輸入；xm為參考狀態變量，且xm的維數不受實際狀態變量x的限制，亦即允許式(11)成立。

dim(x)<

(11)

式中：dim(·)表示求向量維數。式(11)說明參考模型的維數可以遠遠小于被控對象的維數，控制器只需保持參考模型的輸出維數和實際被控對象輸出維數一致。

參考輸入um由以下指令發生器給出：

{

(12)

式中：vm為指令發生器狀態變量；Av和Cv為定常矩陣，在控制器設計時無需求解其具體值，只需滿足um可測。

3.2 中間控制律

選取姿態角速度ω作為中間控制變量，將撓性航天器分解為運動學子系統和動力學子系統。首先以航天器運動學子系統式(5)為研究對象，應用Lyapunov穩定性理論設計中間控制律，以實現航天器姿態四元數對期望姿態四元數的漸近跟蹤。

定義姿態四元數跟蹤誤差與姿態角速度跟蹤誤差分別為

(13)

ωe=ω-Abdωd

(14)

式中：Abd為期望姿態到航天器本體系的坐標轉換矩陣。則航天器運動學誤差方程為

(15)

取以下正定Lyapunov函數：

(16)

式中：sgn(qe0)為符號函數，定義為

(17)

對式(16)分段求導，可得:

(18)

由于航天器運動學誤差方程式(15)為精確關系式，不受未建模動力學信息的直接影響，可以設計常系數控制律實現誤差方程漸近穩定。取

ωem=-sgn(qe0)k1qe

(19)

式中：k1為正定對稱控制器參數陣。則中間控制律為

ωm=ωem+Abdωd

(20)

若有ωe=ωem，則

(21)

當且僅當qe=0時，不等式取等號，所以由LaSalle不變性原理可知航天器姿態角速度等于中間控制律ωm時，航天器運動學誤差方程漸近穩定，姿態四元數實現對期望姿態四元數輸出漸近跟蹤。

3.3 退步直接自適應控制器

接下來退一步，以航天器動力學子系統為研究對象，并以中間控制律ωm作為動力學子系統的期望輸出，通過非線性直接自適應控制理論以及Lyapunov理論設計撓性航天器姿態控制律，使得動力學子系統輸出對ωm實現漸近跟蹤，從而實現航天器的姿態跟蹤控制。

定理1對于由式(4)、式(5)所描述的撓性航天器系統，若動力學子系統式(4)中的線性部分{A,B，C}滿足近似嚴格正實性，非線性項f(x)滿足局部Lipchitz條件，則在自適應控制律

{

u=kr=kee+kqqe+kxxm+kuum
e=ω+sgn(qe0)k1qe-Abdωd

(22)

以及自適應律

(23)

的作用下，撓性航天器姿態輸出對參考模型式(9)和式(10)的輸出漸近跟蹤，且自適應系數k保持有界。其中

而Γ=diag(Γe，Γq，Γx，Γu)，Γe、Γq、Γx和Γu均為正定對稱控制系數陣。

證明定義中間變量跟蹤誤差為

e=ω-ωm

(24)

由于中間變量跟蹤誤差e的存在，此時有

ωem=ωe-e

(25)

將式(25)代入式(18)，得到

(26)

由于撓性航天器動力學子系統滿足近似嚴格正實性，其能實現對參考輸出的理想跟蹤。定義x*、u*和ω*分別為動力學子系統理想跟蹤狀態下的理想狀態變量、理想輸入和理想輸出。可得動力學子系統的理想狀態方程為

{

(27)

式中：上標“*”表示在實現理想跟蹤時系統各變量所處的狀態。定義實際狀態變量與理想狀態變量之差為狀態誤差，亦即

ex=x-x*

(28)

則理想輸出為

ω*=Cpx*=ωm

(29)

而中間變量跟蹤誤差

e=Cpex

(30)

對狀態誤差求導得到:

(31)

(32)

(33)

式中：

(34)

為證明在控制律式(22)的作用下閉環控制系統的漸近穩定性，選取如下正定Lyapunov函數：

(35)

對式(35)求導可以得到:

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

若L滿足以下關系：

(41)

式中：λmin(Q1)為矩陣Q1的最小特征值；λmax(P)為矩陣P的最大特征值。則有

(42)

當且僅當qe=0，ex=0時，不等式取等號，由LaSalle不變性原理可知,式(4)和式(5)所描述的撓性航天器系統可實現對參考模型輸出的漸近跟蹤，且自適應系數k保持有界，定理得證。

注1在定理1的證明過程中，不涉及動力學子系統的參數，控制器不依賴航天器的模型，只需要姿態四元數以及姿態角速度可測，對航天器參數不確定性具有強魯棒性。

注2動力學子系統狀態變量包含航天器的姿態信息以及撓性部件的模態坐標，控制器實現狀態變量對理想狀態變量的漸近跟蹤，亦即控制器在實現航天器姿態信息對期望信息穩定跟蹤的同時也實現了對撓性振動的有效抑制。

注3控制器無需狀態觀測器，無需對撓性航天器模型降階，結構簡單，維數與航天器姿態輸出維數保持一致，可調控制參數較少。

注4該控制器設計方法不僅適合撓性航天器姿態控制，亦可以推廣到其他滿足動力學子系統為近似嚴格正實性的二階系統以及高階系統。

4 數值仿真

4.1 仿真參數

為驗證本文所提出的退步直接自適應控制器對參數不確定性撓性航天器姿態控制的有效性，選取文獻[18]所描述的撓性航天器分別在標稱參數以及在具有參數偏差兩種仿真條件下進行數值仿真。

仿真2為撓性航天器具有參數偏差的數值仿真，選取的撓性航天器參數分別為0.3I，0.5F，0.8ωf以及0×ξf，以驗證控制器不依賴航天器的參數以及對撓性振動抑制的有效性，仿真2中其他仿真參數與仿真1保持一致。

表1星體仿真參數(仿真1)

Table1Simulationparametersofspacecraft(Simulation1)

4.2 仿真結果

仿真時長為1 000 s，仿真結果如圖1～圖8所示。其中圖1～圖4給出的是撓性航天器在標稱參數情況下(仿真1)的仿真結果。圖1給出的是撓性航天器實際姿態四元數對期望姿態四元數的跟蹤曲線，可以看出在仿真進行300 s左右后，航天器姿態四元數實現了對期望姿態四元數的穩定跟蹤，姿態四元數跟蹤精度達到10-4單位級別。圖2給出的是航天器姿態角速度對期望姿態角速度的跟蹤曲線，與姿態四元數跟蹤曲線一樣，在仿真進行約300 s后，航天器姿態角速度實現了對期望姿態角速度的穩定跟蹤，航天器姿態穩定度達到10-5rad/s的級別。通過理論分析不難發現，仿真前期為控制器自適應參數在線自適應的過程，在控制器參數完成在線自適應后，航天器姿態信息實現對期望曲線的漸近跟蹤。圖3和圖4分別給出的是航天器控制力矩響應曲線以及撓性部件撓性模態坐標響應曲線。圖4顯示，航天器撓性振動得到了有效的抑制。

圖1 實際姿態四元數與期望姿態四元數(仿真1) Fig.1 Actual and desired attitude quaternion (Simulation 1)

圖2 實際姿態角速度與期望姿態角速度(仿真1) Fig.2 Actual and desired angular velocities (Simulation 1)

圖3 姿態控制力矩變化曲線(仿真1) Fig.3 Time history of attitude control torques (Simulation 1)

圖4 模態坐標響應(仿真1)Fig.4 Response of modal coordinates (Simulation 1)

圖5～圖8給出的是在撓性航天器具有參數偏差情況下(仿真2)的仿真結果，圖5與圖6分別給出了撓性航天器的姿態四元數與姿態角速度對期望曲線的跟蹤情況。通過與仿真1的結果(圖1、圖2)比較可以發現，盡管航天器參數具有較大的偏差，所設計的退步直接自適應姿態控制器的控制性能基本不變。圖7給出的是航天器控制力矩的變化曲線，較之圖3控制力矩的峰值減小了不少，主要是因為仿真2中航天器的轉動慣量小于仿真1中航天器的轉動慣量，相對應的控制力矩也小。而圖8則表明在撓性部件本身不具有振動阻尼的情況下，航天器的撓性振動依然得到了有效的抑制，進一步驗證了退步直接自適應控制器對撓性航天器振動的有效抑制。

圖5 實際姿態四元數與期望姿態四元數(仿真2)Fig.5 Actual and desired attitude quaternion (Simulation 2)

圖6 實際姿態角速度與期望姿態角速度(仿真2)Fig.6 Actual and desired angular velocities (Simulation 2)

圖7 姿態控制力矩變化曲線(仿真2) Fig.7 Time history of attitude control torques (Simulation 2)

圖8 模態坐標響應(仿真2)Fig.8 Response of modal coordinates (Simulation 2)

對兩組仿真結果分析和對比可知，在航天器參數具有較大的偏差時，退步直接自適應控制器對撓性航天器的控制依然有效，特別是在撓性模態參數顯著變化時，控制器仍然能有效地抑制航天器的撓性振動。控制器對具有參數不確定性的撓性航天器的控制是有效的。

5 結 論

1) 利用退步控制方法和非線性直接自適應控制方法設計了參數不確定撓性航天器的退步直接自適應姿態穩定控制器，并進行了數值仿真。

2) 理論分析與仿真結果表明該控制器不僅能實現航天器姿態信息對期望姿態信息的穩態跟蹤，亦能有效抑制撓性部件的振動，對參數不確定的撓性航天器的控制是有效的。

3) 該控制器不依賴航天器參數，維數低，結構簡單，無需模態坐標反饋，具有工程應用前景。

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DirectAdaptiveAttitudeTrackingControlofFlexibleSpacecraftBasedonBacksteppingMethod

LIUMin,XUShijie*,HANChao

SchoolofAstronautics,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Abacksteppingdirectadaptivecontrolstrategyisproposedfortheattitudetrackingoflargeflexiblespacecraftwithparameteruncertainties.First,thealmoststrictlypositiverealpropertyofaflexiblespacecraftdynamicssubsystemisconfirmedandareferencemodelwithidealcontrolperformanceisdesigned.Second,aconsistentoutputfeedbackintermediatecontrollawisdesignedforthekinematicssubsystemdescribedbyattitudequaternion,whichcanmaketheattitudequaterniontrackthereferenceoutputasymptotically.Thenbackingastep,abacksteppingdirectadaptiveattitudetrackingcontrollerisderivedfortheparameterunknowndynamicssubsystembasedonthenonlineardirectadaptivecontroltheoryandtheLyapunovstabilitytheory,anditsclose-loopstabilityisproved.Finally,thecontrolstrategyisemployedtodesignanattitudetrackingcontrollerforaflexiblespacecraft.Numericalsimulationresultsindicatethatthecontrollercandampthevibrationoftheflexiblecomponentsofthespacecraft,anditiseffectiveforitscontrol.

flexiblespacecraft;uncertainty;attitudecontrol;backsteppingcontrol;nonlineardirectadaptivecontrol;positiverealproperty

2012-02-24；Revised2012-03-18；Accepted2012-04-12；Publishedonline2012-04-171004

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120417.1004.007.html

NationalNaturalScienceFoundationofChina(10902003)

.Tel.：010-82339275E-mailstarsjxu@yahoo.com.cn

2012-02-24;退修日期2012-03-18;錄用日期2012-04-12; < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2012-04-171004

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120417.1004.007.html

國家自然科學基金(10902003)

.Tel.：010-82339275E-mailstarsjxu@yahoo.com.cn

LiuM,XuSJ,HanC.Directadaptiveattitudetrackingcontrolofflexiblespacecraftbasedonbacksteppingmethod.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1697-1705. 劉敏，徐世杰，韓潮．撓性航天器的退步直接自適應姿態跟蹤控制．航空學報,2012,33(9):1697-1705.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

1000-6893(2012)09-1697-09

V448.22+3

A

劉敏男， 博士研究生。主要研究方向： 撓性航天器動力學與控制， 自適應控制理論與應用。

Tel: 010-82339751

E-mail: liumin@sa.buaa.edu.cn

徐世杰男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 航天器、月球與深空探測動力學與控制， 魯棒控制理論及應用。

Tel: 010-82339275

E-mail: starsjxu@yahoo.com.cn

韓潮男， 博士， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 航天器動力學與控制， 航天器導航、 制導與控制， 航天系統動力學仿真等。

Tel: 010-82339583

E-mail: hanchao@buaa.edu.cn