高超聲速飛行器大包線切換LPV控制方法

張增輝， 楊凌宇， 申功璋

北京航空航天大學 飛行器控制一體化技術重點實驗室， 北京 100191

高超聲速飛行器大包線切換LPV控制方法

張增輝， 楊凌宇， 申功璋*

北京航空航天大學 飛行器控制一體化技術重點實驗室， 北京 100191

高超聲速飛行器飛行包線和參數變化范圍大，氣動參數存在較強不確定性，要求控制器能夠適應大的飛行包線并具有較好的魯棒性。針對上述問題，提出一種基于間隙度量的大包線滯后切換線性變參數(LPV)控制方法。依照時變參數將設計包線劃分為若干子區域，將多胞理論和間隙度量引入控制器求解，提出了基于最優間隙度量的LPV控制方法，并利用此方法獨立設計各子區域的LPV控制器,以改善控制器控制性能和魯棒性能；利用基于重疊區域的滯后切換策略實現大包線內各子區域控制器的切換，以抑制切換面附近控制器的切換抖動，并證明了切換閉環系統的穩定性；最后以某型高超聲速飛行器為對象設計了大包線滯后切換LPV控制器。仿真結果表明該方法可實現控制指令的精確跟蹤，提高設計包線內LPV控制器的控制性能和魯棒性能，并能保證切換系統的穩定性。

線性變參數控制； 切換系統； 高超聲速飛行器； 大包線； 間隙度量； 滯后切換

高超聲速飛行器飛行包線范圍大，氣動特性和飛行動力學特性變化劇烈，參數存在較強的不確定性，因此對飛行控制系統有著很高的要求，其控制系統必須能夠適應較大參數變化范圍并具有較好的魯棒性[1-4]。傳統的增益調參方法在大包線內的調參過程極其繁雜，對系統的不確定性魯棒性較差，并且無法從理論上保證系統在整個包線內的穩定性[5]。線性變參數(Linear Parameter Varying，LPV)控制是一種新穎的增益調度技術，通過實時可測或可估計的系統參數變化體現系統時變特性，可在整個參數軌跡上保證魯棒穩定性和魯棒性能[5-6]，該方法克服了傳統增益調參控制器的插值問題和穩定性問題，大大減少了調參工作量，同時保證了工程實現性，被廣泛用于飛機、導彈、衛星等航空航天系統的控制器設計研究中[7-13]。但是隨著飛行包線范圍的擴大，系統的時變參數范圍隨之變大，大的設計包線內單一的LPV控制器性能將變得很差甚至無法求得LPV控制器。Lu等[11-13]將LPV控制方法與切換控制理論相結合，提出了一種基于參變Lyapunov函數的切換LPV控制方法，并將其應用于F-16飛機進行了驗證；Hu和Yuan[14]將此方法應用于核蒸汽發生器的水位控制，取得了良好的控制器效果；袁士春等[15]忽略了參變Lyapunov函數矩陣的參數導數項，簡化了線性矩陣不等式(LMI)的求解。但此類基于參變Lyapunov函數的LPV方法需求解無窮多組LMI，而網格化的求取方法[16]隨著高超聲速飛行器飛行包線的增大，需求解的LMI將呈級數增加，使控制器求解變得非常困難，并且網格化方法也無法從理論上保證求解控制器的穩定性。

針對上述問題，本文提出了一種新的大包線切換LPV控制方法。針對各子區域的飛行器模型，將多胞理論、間隙度量和單一Lyapunov函數引入控制器求解，以簡化控制器求解過程，降低系統的保守性，并從理論上保證系統的穩定性；采用基于重疊區域的滯后切換策略實現子控制器組之間的切換，以保證切換系統的穩定性和切換平穩性。最后將其應用于某型高超聲速飛行器中進行了仿真驗證。

1 切換LPV系統

考慮如下非線性系統：

(1)

式中：x∈Rn為系統狀態；u∈Rnu為系統輸入信號；z∈Rnz為所控制的誤差信號；y∈Rny為輸入到控制系統的測量輸出信號；w∈Rnw為外部調參信號或外來信號(如參考信號)；v∈Rnv為干擾和噪聲輸入信號。根據非線性系統的時變特性，選擇調參變量θ∈P?Rk，θ為可測量或可估計的矢量參數，P為系統變參數區域。則非線性系統(1)可寫成如下的開環LPV系統[11]：

(2)

式中：A、B1、B2、C1、C2、D11、D12、D21和D22為LPV系統矩陣。

假設P可由一系列切換面分割為一組子區域集{Pi}i∈ZN即P=∪Pi，ZN={1,2,…,N}，各子區域可以互相重疊或是互聯。對于開環LPV系統，不同的子區域可獨立設計LPV控制器：

(3)

式中：xk∈Rnk為控制器狀態。當調參變量θ碰到切換面時，對不同區域的子控制器進行切換，通過合適的切換策略保證設計包線內閉環系統穩定。綜合式(2)和式(3)，可得閉環切換LPV系統：

(4)

2 大包線切換LPV控制方法

2.1 基于間隙度量的LPV控制原理

定義1[17]矩陣多胞可定義成由有限個頂點矩陣Nm所組成的凸組合，Nm具有相同的維數。具體可描述為

(5)

定義2[17]設變參數向量ρ(t)∈Rl，l為時變參數向量ρ(t)的維數,且ρ(t)=p(θ(t))，其中p:Rk→Rl為一個映射函數，則由變參數描述的多胞為

(6)

式中：r=2l為頂點數；ωm為多胞的頂點。當LPV系統的系統矩陣A(θ(t))、B(θ(t))、…仿射依賴于時變參數向量ρ(t)，且ρ(t)變化于多胞Θ內時，稱LPV系統為多胞LPV系統。

將LPV系統(2)的系統矩陣做多胞凸分解：

(7)

式中：Am、Bm、Cm和Dm為LPV系統多胞頂點模型系統矩陣。根據多胞系統的頂點性質和實有界定理[17-18]，設計控制器時只設計其頂點即可。

定理1(實有界定理)[18]考慮系統

(8)

(9)

(10)

由定理2可知，LPV控制的核心問題為對所有的多胞頂點尋找相同的Lyapunov函數，以保證對LPV對象所有可能軌跡都具有H∞性能。一旦(R，S)確定，對應的Lyapunov矩陣和頂點控制器均可確定。

利用LMI工具箱[19]求解上述2r+1個LMI，尋找(R，S)使得γ的值最小，得到(R，S)和γ。在此基礎上選取Lyapunov函數矩陣：

(11)

將求得的Lyapunov函數矩陣和γ應用于實有界定理，利用標準的H∞控制器求解方法[18-19]，求取各個多胞頂點的控制器：

(12)

式中：Ak,m、Bk，m、Ck，m和Dk，m為頂點控制器系統矩陣，全部離線計算獲得。LPV控制器可由各頂點控制器線性組合得到，形式為

(13)

為了保證系統穩定性，調參系數αm須與凸分解系數相同。

定義3[20]對于多輸入多輸出系統，總存在規范互質分解，不妨設G1,G2∈Rn×m(s)為具有m個輸入、n個輸出的傳遞函數陣，(D1,N1)和(D2,N2)分別為G1和G2的規范右互質分解，則G1和G2之間的間隙度量為

(14)

式中：

其中：RH∞為實H∞空間。

間隙度量提供了系統之間的一種廣義距離度量，體現了兩系統之間的“差異程度”，距離越小說明兩個系統的動態特性越相近[21-22]。將間隙度量引入調參策略中，使控制器設計與系統的動態特性相關聯，使得所設計狀態點系統模型與頂點模型的間隙度量最小，進而得到性能更優的LPV控制器。調參系數αm的求解步驟如下：

1) 對于任意時刻的參數向量ρ=[ρ1ρ2…ρl]T，計算當前時刻系統模型與r(r=2l)個頂點模型之間的間隙度量δ1,δ2,…,δr。

2) 對于每一個多胞頂點ωm(m=1,2,…,r)，調參系數αm可由式(15)優化得到。

(15)

針對各個子區域,利用上述方法獨立設計控制器，在子區域控制器設計的基礎上，選擇合適的切換策略來保證大包線切換系統的穩定性。

2.2 基于重疊區域的滯后切換LPV控制方法

對設計包線進行區域劃分，使得任意兩個參數子區域相互重疊，如圖1所示。

圖1 基于滯后切換策略的切換區域Fig.1 Hysteresis switching region

由圖1可知，在兩個子區域之間存在兩個切換面SSij和SSji，用SSij表示從Pi到Pj方向的切換。當參數軌跡碰到切換面時，切換事件將發生。切換信號σ的演化過程描述如圖2所示。

圖2 基于滯后切換策略的切換信號Fig.2 Hysteresis switching signal

若θ(0)∈Pi，則σ(0)=i。對所有t>0，有

(16)

若θ(0)∈Pj，則σ(0)=j。對所有t>0，有

(17)

定理3[12]對于切換LPV系統(4)，假設子區域LPV系統穩定，且子區域集{Pi}i∈ZN存在一組對應的Lyapunov函數：

(18)

Xσ={Xi}i∈ZN為對應的正定矩陣。若在切換面θ∈SSij，Lyapunov函數滿足

Vi(xcl)≥Vj(xcl)

(19)

則切換LPV系統可實現穩定切換。

(20)

并且對于任意的θ∈SSij，滿足

(21)

則在整個時變參數區域內，基于重疊區域的滯后切換LPV控制器使得閉環LPV系統(4)穩定，并且其性能滿足

(22)

證明

1) 在任意選定的時變參數區域Pi中，對于其中任意的θ∈Pi，選定式(20)中的i，直接運用定理2，可得在任意子區域內設計的LPV控制器滿足二次H∞性能，即控制器在子區域內穩定且魯棒性能滿足

(23)

綜合各子區域γ=max{γi}i∈ZN，即可得式(22)。

2) 對于閉環LPV系統(4)，在任意切換時刻變參數θ∈SSij，選定

則

(24)

代入式(18)可得

(25)

由定理3可知，在任意的切換時刻閉環LPV系統(4)保持穩定。綜合1)和2)，定理4得證。

(26)

將xk(t+)=x(t)代入式(18)，結合式(24)可將定理4中的條件式(21)簡化為

Ri≤Rj

(27)

依照上述基于重疊區域的滯后切換策略可實現設計包線內子控制器組的穩定切換。切換LPV自增益調參控制方法設計流程如圖3所示。

圖3 切換LPV控制方法設計流程Fig.3 Flow chart of switching LPV control law design

由圖3可知，切換LPV自增益調參控制律設計步驟如下：

① 將非線性系統轉化為LPV系統，建立系統的LPV模型。

② 將設計包線分成相互重疊的子區域。

③ 利用基于最優間隙度量的LPV控制方法設計子區域的LPV控制器。

④ 驗證切換穩定性條件Ri≤Rj是否滿足，若不滿足則返回步驟③或步驟②，通過調整子區域控制器的設計參數或子區域劃分的大小來保證穩定性條件。

2.3 高超聲速飛行器大包線切換LPV控制律設計

以錐形體高超聲速飛行器[23-24]為研究對象設計大包線(高度H∈[17,25] km,馬赫數Ma∈[10,12])縱向切換LPV控制律。利用Jacobian線性化方法將其非線性模型轉化為LPV模型,縱向模型為

(28)

圖4中：G為高超聲速飛行器LPV模型；Act、Sen分別為作動器和傳感器模型；αc為指令信號；σ為切換信號；K1,K2,…,Kσ為子區域LPV控制器；Wu、We、Wn為加權函數陣；ze和zu分別為誤差信號和輸入信號的加權輸出。

以高度和馬赫數(H,Ma)為LPV系統調參變量θ，時變參數向量ρ(t)=[a11a21b1b2]T，選取覆蓋整個設計包線的狀態點θ(t)，通過擬合得到ρ(t)中各個元素ρi(t)關于θ(t)的函數，即ρi(t)=p(θ(t))，則高超聲速飛行器縱向LPV系

圖4 縱向切換LPV控制器結構Fig.4 Structure of longitude switching LPV controller

統仿射依賴于ρ(t)。依據此構型飛行器的LPV模型特性及控制任務要求，將設計包線依照高度分為4個子區域：P1:22.8 km≤H≤25.0 km;P2:20.8 km≤H≤23.2 km;P3:18.8 km≤H≤21.2 km;P4:17.0 km≤H≤19.2 km。切換面為：SS12:H=22.8 km，SS21:H=23.2 km，SS23:H=20.8 km，SS32:H=21.2 km，SS34:H=18.8 km，SS43:H=19.2 km，如圖5所示。

圖5 包線區域劃分圖Fig.5 Partition of the envelope

(29)

子區域內的多胞LPV系統為

Pρ∶=Co{Pv1,Pv2,…,Pvl}，vl=24

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

整個設計包線內控制輸入罰函數Wu為

(35)

作動器模型Wact為

(36)

傳感器模型Wsen為

(37)

噪聲模型Wn為

Wn=diag(0.1°,0.7 (°)/s)

(38)

針對上述高超聲速飛行器的多胞頂點模型，通過2.1節中基于LMI的H∞控制方法求得各個頂點控制器Kσcornm，利用基于最優間隙度量的凸分解策略求得系數αm，構造子區域內的LPV魯棒控制器，形式為

(39)

當高超聲速飛行器調參變量θ(H,Ma)通過切換面時，利用2.2節中的滯后切換策略，實現控制器組K1,K2,…,Kσ間的穩定切換。

3 仿真驗證與分析

以錐形體高超聲速飛行器為對象對本文方法進行仿真驗證。控制律的設計目標是在飛行包線(H∈[17,25] km,Ma∈[10,12])內保證系統的穩定性，并以小于1%的誤差跟蹤指令信號αc。

仿真分析1：

任意選取初始狀態點(H=24 km,Ma=11,α=0.539 1°)，利用上述切換LPV控制方法設計高超聲速飛行器的縱向控制器，對大包線切換控制器穩定性進行驗證。給定如圖6所示迎角指令，加入高超聲速飛行器非線性模型進行仿真，響應結果如圖6～圖8所示。

由圖6～圖8可知，子區域LPV控制器在切換面22.8 km(22.10 s)、20.8 km(33.58 s)和18.8 km(40.36 s)進行了切換，各個切換時刻升降舵偏角有很小范圍的波動，迎角實現了平穩精確跟蹤，穩態誤差均小于0.5%。可見本文設計的切換LPV控制器實現了迎角指令的精確跟蹤，并且能夠很好地保持控制器之間的平穩切換，保證了系統的穩定性。

圖6 迎角響應曲線Fig.6 Response curves of angle of attack

圖7 高度曲線Fig.7 Curves of altitude

圖8 舵偏曲線Fig.8 Curves of elevator deflection angle

仿真分析2：

在模型參數存在不確定性的情況下，對切換LPV方法的魯棒性進行仿真驗證。任選取初始狀態點(H=24 km,Ma=11,α=0.539 1°)，利用上述切換LPV控制方法設計高超聲速飛行器的縱向控制器，將非線性模型氣動力系數加入邊界值為±15%的隨機不確定性，氣動力矩系數加入邊界值為±25%的隨機不確定性。給定如圖9所示迎角指令，對高超聲速飛行器非線性系統進行100次蒙特卡羅仿真，結果如圖9～圖11所示。

由圖9～圖11可知，采用本文方法設計的大包線切換LPV控制器在模型參數存在不確定性的情況下，仍能實現迎角指令精確跟蹤，具有較強的魯棒性，并且在模型參數存在不確定性的情況下仍實現了平穩切換，保證了系統的穩定性。

圖9 不確定性下迎角響應曲線Fig.9 Response curves of angle of attack under uncertainty

圖10 不確定性下高度曲線Fig.10 Curves of altitude under uncertainty

圖11 不確定性下舵偏曲線Fig.11 Curves of elevator deflection angle under uncertainty

仿真分析3：

取多組覆蓋設計包線的初始飛行狀態點,對全包線內單一LPV控制方法和本文基于重疊區域的大包線切換LPV控制方法進行仿真對比。兩種方法設計的控制器H∞性能指標γ如表1所示。

表1兩種方法H∞性能指標γ對比

Table1EffectofthetwomethodsonH∞performancelevelγ

DesignmethodDesignregionH∞performancelevelγSingleLPVP2418SwitchingLPVP11973SwitchingLPVP21717SwitchingLPVP31628SwitchingLPVP41841SwitchingLPVP1973

由表1可知，不同的子區域獨立設計控制器得到的控制器H∞性能指標γ不同。全包線內采用單一LPV控制方法得到的γ為2.418，將設計包線劃分為若干子區域，使得設計的區域變小，各個子區域采用單一的LPV控制方法設計得到的γi最大為1.973。因此采用切換LPV方法設計的控制器得到的H∞性能指標γ相比單一LPV方法更優，提高了設計包線內控制器的魯棒性能。

選取初始狀態點(H=24 km,Ma=11,α=0.539 1°)，將非線性模型氣動力系數加入±25%的不確定性，氣動力矩系數加入±40%的不確定性，對切換LPV方法和單一LPV方法設計的控制器的魯棒性進行對比仿真驗證，結果如圖12和圖13所示。

圖12 單一LPV方法不確定性下迎角響應曲線Fig.12 Response curves of angle of attack using single LPV method under uncertainty

圖13 切換LPV方法不確定性下迎角響應曲線Fig.13 Response curves of angle of attack using switching LPV method under uncertainty

由圖12可知，利用單一LPV設計方法設計的控制器，當模型參數存在大的不確定性時，控制器性能下降，迎角響應出現了振蕩，魯棒性較差；而基于切換LPV方法設計的控制器魯棒性較強，仍能保持良好的跟蹤性能(見圖13)。

將高超聲速飛行器的設計包線擴大，選定設計包線(H∈[15,25] km,Ma∈[10,12])，將上述兩種方法分別應用于錐形體高超聲速飛行器非線性系統，給定相同的輸入指令αc，對控制器的控制性能進行比較。首先將一組覆蓋全包線所有初始狀態點的迎角控制到相同的初始迎角α0=-0.5°，再給定相同的迎角指令αc=0.5°，其全包線內的迎角響應曲線仿真結果如圖14和圖15所示，迎角響應的邊界對比曲線如圖16所示。

圖14 單一LPV方法全包線迎角響應曲線Fig.14 Response curves of angle of attack using single LPV method in the full envelope

圖15 切換LPV方法全包線迎角響應曲線Fig.15 Response curves of angle of attack using switching LPV method in the full envelope

圖16 全包線迎角響應邊界對比曲線Fig.16 Response boundary curves of angle of attack in the full envelope

由仿真圖14～圖16可知，采用基于重疊區域的切換LPV控制方法設計的控制器較單一LPV控制器的控制性能有所提高。單一LPV控制方法得到的控制器隨著包線的增大性能逐步下降，迎角響應出現了振蕩，并且大包線內迎角響應調整時間差別很大，控制器性能一致性較差。而切換LPV方法的迎角響應調整時間和超調量的變化范圍更小，動態性能更趨向于一致，降低了控制系統設計的保守性，提高了其控制系能。同時，基于重疊區域的滯后切換策略保證了切換LPV控制器在整個設計包線內的穩定性。

4 結 論

提出一種基于間隙度量的大包線滯后切換LPV控制方法，并以某型高超聲速飛行器為例進行了仿真驗證。此方法相比單一LPV控制方法提高了控制器的性能和魯棒性能，并能保證大包線內系統的穩定性。

1) 基于間隙度量的大包線滯后切換LPV控制方法可以很好地實現控制指令的跟蹤，并能保證控制器切換時的穩定性。

2) 基于間隙度量的大包線滯后切換LPV控制方法具有很好的魯棒性，在模型參數存在大的不確定性時仍能實現指令的精確跟蹤，并保證切換系統的穩定性。

3) 基于間隙度量的大包線滯后切換LPV控制方法比單一LPV控制器設計方法保守性更小，得到的大包線內控制器的控制性能一致性更優，且大包線內控制器的魯棒性能得到提高。

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SwitchingLPVControlMethodinWideFlightEnvelopeforHypersonicVehicles

ZHANGZenghui,YANGLingyu,SHENGongzhang*

ScienceandTechnologyonAircraftControlLaboratory,BeihangUniversity,Beijing100191,China

Hypersonicvehiclestraverseabroadflightenvelopewithawideparametervariationrangeandstrongparameteruncertainties.Thereforeitisimportanttoimprovethecontrollerperformanceandrobustnessinawideenvelope.Anewhysteresisswitchinglinearparametervarying(LPV)controlmethodusingpolytopetheoryandgap-metricispresentedinthispaper.Thedesignenvelopeisfirstlydividedintoseveralsub-regionsinaccordancewiththetime-varyingparameters.AnewLPVcontrolmethodwiththeoptimalgap-metricisproposed,andthenafamilyofsingleLPVcontrollersaredesignedindependentlyusingthenewmethodtoimprovetheperformanceandrobustness,eachsuitableforaspecificsub-region.Theyareswitchedaccordingtothetime-varyingparametertrajectoriesusingthehysteresisswitchingstrategybasedonoverlapregionstoavoidchattering.Thestabilityoftheclosed-loopswitchingsystemisalsoproved.Finally,thenewswitchingLPVdesignapproachisappliedtoahypersonicvehicle.SimulationresultsshowthatthisnewmethodcanimprovetheperformanceandenhancetherobustnessoftheLPVcontrollersinawidedesignenvelope.TheperformanceofcommandtrackingandtherobustnessoftheswitchingLPVcontrolsystemaresatisfactory.Thestabilityofthesystemisalsoguaranteed.

linearparametervaryingcontrol;switchingsystems;hypersonicvehicle;wideflightenvelope;gap-metric;hysteresisswitching

2011-10-14；Revised2011-11-08；Accepted2012-03-14；Publishedonline2012-03-311146

URL：www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120331.1146.004.html

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2011-10-14;退修日期2011-11-08;錄用日期2012-03-14; < class="emphasis_bold">網絡出版時間

時間：2012-03-311146

www.cnki.net/kcms/detail/11.1929.V.20120331.1146.004.html

國家自然科學基金(60804007)；航空科學基金(20070151004)

.Tel.：010-82338064E-mailshengz@buaa.edu.cn

ZhangZH,YangLY,ShenGZ.SwitchingLPVcontrolmethodinwideflightenvelopeforhypersonicvehicles.ActaAeronauticaetAstronauticaSinica,2012,33(9):1706-1716. 張增輝，楊凌宇，申功璋．高超聲速飛行器大包線切換LPV控制方法．航空學報,2012,33(9):1706-1716.

http://hkxb.buaa.edu.cnhkxb@buaa.edu.cn

1000-6893(2012)09-1706-11

V448

A

張增輝男， 博士研究生。主要研究方向： 高超聲速飛行器飛行控制及制導方法。

Tel： 010-82316873

E-mail: zhangzenghui@asee.buaa.edu.cn

楊凌宇男， 博士， 講師。主要研究方向： 先進布局飛行器飛行控制技術， 高超聲速飛行器飛行控制方法等。

Tel： 010-82316873

E-mail: yly@asee.buaa.edu.cn

申功璋男， 教授， 博士生導師。主要研究方向： 綜合控制技術， 先進飛行控制技術等。

Tel: 010-82338064

E-mail: shengz@buaa.edu.cn