異步起動永磁同步電動機的轉子槽漏抗計算

胡 巖，關 朕，吳 偉

(沈陽工業大學，遼寧沈陽110023)

0 引 言

目前，異步起動永磁同步電動機作為一種高效節能的動力設備被廣泛用于紡織化纖、陶瓷玻璃工業、風機等眾多領域。眾所周知，對起動性能所涉及參數的精確計算始終是異步起動永磁同步電動機研究的重要課題［1］，在眾多參數中，轉子漏抗是其中重要的一個，它直接影響電動機起動性能的優劣，而其中主要部分又是槽漏抗，它在轉子漏抗中所占比重很大，所以準確求算轉子槽漏抗是電動機性能計算的基礎［2，3］。

傳統磁路法計算轉子槽漏抗時通常忽略了鐵心磁阻，并假設電流在槽內均勻分布，且漏磁磁力線平行于槽底。顯而易見，這僅是一種粗略的近似計算，準確度不高，而對于工程中一些對準確度要求高、需要對電動機瞬態變化有較好模擬的場合不能勝任。目前，采用有限元電磁場分析法可以對轉子繞組中磁場分布、集膚效應、磁路飽和程度等進行準確模擬，計算結果準確度較高，但其計算量較大、計算時間較長是其一大缺點。有人提出采取分層原理，先將槽分成塊再在每塊中分層，逐層計算每層的電流、磁鏈，盡量模擬電流變化趨勢，通過計算證實分層方法與傳統磁路計算法相比，其精度有所提高，且與有限元結果較為符合，用時還較少［4-8］。但前人的這種方法是建立在每層電流均勻分布的假設上，所求結果的精確度并不算高，而且若層分得過多，計算量相應地也會變大。為此本文在前人分析基礎上做些改進:在求得的每層實際尺寸上考慮集膚效應，推導出此時每層的等效尺寸，再利用這些尺寸求出槽漏抗。此方法不僅使之達到較高精度且計算量小，而且可對不同槽型編寫通用程序進行快速高效地求解。將該種方法與磁路法相結合來計算電動機參數，會對電動機起動性能的準確計算帶來幫助。

1 異步起動永磁同步電動機的結構

本文所設計電動機的主要參數如表1所示，電機截面結構如圖1所示。

表1 11 kW、4極異步起動永磁同步電動機技術參數表

圖1 11 kW、4極異步起動永磁同步電動機截面圖

2 利用分層改進法對槽漏抗計算

起動轉矩是電動機重要的性能指標，為了能準確計算起動轉矩，需要對電動機參數尤其是槽漏抗做精準的計算。為此，本節將采用分層改進法對轉子槽漏抗進行計算，使計算精度得到提高。

分層改進法對于半閉口、閉口的各種形狀的槽均適用。在工程中常見的槽形基本上都是由半圓形(或準半圓)、梯形(矩形為其特例)組成。如圖2所示的半閉口梨形槽囊括了這幾部分，所以本文將先通過此槽形來介紹分層改進法，并推導出相應各部分尺寸公式以及槽漏抗的通用計算公式。而對于其它形狀的槽形，可由這幾部分拼接而成，例如本文所設計的電動機轉子槽為開口矩形槽，可看成是半閉口梨形槽槽口矩形與中部的梯形組成。

與傳統分層法相同，在槽分塊完畢后，緊接著對每塊分層。考慮到電動機起動時集膚效應使電流呈現上密下疏的分布特點，可將半閉口梨形槽槽口及上半圓面積分的層數多些，中部梯形次之，下半圓疏些。在每塊內，原來不規則的每一小層近似成一個矩形，每一矩形層則被視為一個微型導條，而整個槽內導條看成是由這些微型導條并聯構成的，當層分得較小時，近似效果較好。半閉口梨形槽分塊、分層示意圖如圖2所示。

各層電壓關系可以用矩陣形式表示如下:

圖2 半閉口梨形槽分層示意圖

式中:μ、R、l2、λ分別為每層的磁導率、電阻、導體長度、比漏磁導;U·、Z、I·分別為層端電壓矩陣、阻抗矩陣、電流矩陣。

由式(1)可以看出，每層漏抗的求解與層電流和比漏磁導有關，而且每層阻抗實部在電流作用下產生轉子銅耗，虛部在電流作用下產生的是某一時刻的層漏磁能，而槽總漏磁能為每層漏磁能之和。所以如果能求出總漏磁能與層電流便可以求出槽漏抗。按照上述分析可以按以下步驟來求槽漏抗:

2.1 每層導體幾何尺寸的確定

如圖2所示的半閉口梨形槽，槽口為矩形，層數設為n0;槽面上、下兩部分均為半圓形，其層數分別設為n1、n2;中部為梯形，層數設為n3。則槽的總層數為nsum=n0+n1+n2+n3。

關于每層導體的尺寸計算:槽口矩形計算比較簡單，每層寬等于槽口寬，每層高等于槽口高的而半圓形相對較為復雜，以圖2槽上部半圓為例，設陰影層為第k層，該層高為，層寬可利用三角形原理求得為，利用同樣方法可以求出中部梯形與下部半圓的每層尺寸。經過整理歸納，槽內每層尺寸如下:

對于本文所設計的電動機，僅需要槽口處的尺寸公式與式(2)中的第三組公式。

考慮集膚效應時的導條層相對高度［9］:

式中:hB、bB分別為由式(2)求得的每層導體的實際高度與寬度為導條寬與槽寬之比，對于銅導條，為轉子電流頻率;ρB為電阻率。

設微層導體電阻等效高度為hR、電抗等效高度為hx，其計算公式［9］:

對于第i層導體，根據矩形導體層截面積與其電阻不變原則，該微層導體等效寬度:

于是每層等效后的高與寬可用通式(6)表示:

式中:p、hkp、bkp分別為每部分的號碼、求漏抗時的矩形層等效高度和寬度。

2.2 每微層導體漏抗以及槽總漏抗的計算

由式(1)，計算每層漏抗需先求出微層導體的比漏磁導λi(1≤i≤n)，其推導過程如下:

(1)在第i層矩形導條內，由本層導條電流產生的漏磁鏈設為Ψ′zi;第i層矩形導條電流也會在k(i+1≤k≤n)層產生與其自身相交鏈的漏磁鏈

式中:λLi、λUi分別表示與對應的比漏磁導，它們與每層矩形導體的寬度和長度有著緊密聯系，

所以由第i層導體總的自感比漏磁導λii可表示:

(2)求第i層總的互感比漏磁導λik的步驟與(1)類似。先求第i層以下的導條層對第i層產生的互感比漏磁導，再求出第i層以上的第k層(i＜k≤n)對第i層的互感比漏磁導，最后將這兩者相加即所求。

①設第i層以下的第k(1≤k＜i)層產生與第i層導條相交鏈的互感漏磁鏈為Ψ(1)hik;在第i層上方的第m層也存在著第k層的磁場分布，其與第i層相交鏈的漏磁鏈設為Ψ(2)hik，則:

所以，由上式可歸納出第k層(1≤k＜i)對第i層的互感漏磁導:

式中:

②根據①的求解方法，可直接求出第i層以上的第k層(i＜k≤n)對第i層的互感比漏磁導。分布于第m層(m≥k+1)的由第k層產生的磁場，對第i層的互感比漏磁導設為λ″Uik;第k層內部磁鏈對第i層的互感比漏磁導設為λ″Lik，則總互感比漏磁導:

③第i層總的互感比漏磁導λik:

(3)層電流的求解

由式(9)與式(13)得第i層導體總漏比磁導:

于是第i層的阻抗值表示如下:

又由式(1)可以求出第i層、i+1層的端電壓

由于相鄰兩層端電壓相等，聯立上面兩式求解并化簡，可得電流通式:

(4)轉子槽漏抗的求解

由上面電流通式可以看出，由于每層自感與互感的比漏磁導為定值，電流大小取決于頻率和相鄰的層電流，在頻率一定時，通過這一遞推的關系，每層電流都可以求出。待每層電流(有效值)求得后，總漏磁場能量進而由層電流與磁鏈求出:

轉子每相槽漏抗需折算到定子側，所以轉子每相槽漏抗:

式中:m1、N1、Kdp1、Q2分別表示電動機相數、定子每相繞組串聯導體數、折算系數、定子繞組系數、轉子槽數。

3 轉子槽漏抗的有限元仿真計算

為了驗證改進后的分層法的準確性，本文利用有限元法計算轉子槽漏抗，將其結果作為比照。

有限元法是基于變分原理發展起來的，它應用于含有拉普拉斯方程和泊松方程的泛函極值問題中，在求解過程中，先將所要求的電磁場域剖分成有限個單元，再用插值法將單元中離散的網格點函數值展開，各個點上的場函數組成了含待定參數的代數方程組，對這些方程進行求解得到的就是有限元的數值解。可見有限元法計算結果準確度高，但由于計算量很大會影響到求解速度。Ansoft Maxwell 12是基于有限元法的電磁場計算軟件，它不僅具有完善的靜態電磁場分析功能，而且對瞬態電磁場分析計算也很卓越，具有強大的后處理功能，其計算精度很高［10］。

所設計的電動機激勵源采用三相對稱的電壓源;電動機外圓邊界和軸的外邊緣設置狄利克萊邊界條件;考慮到電動機初始位置選取對起動過程的影響，本文根據嘗試最終設初始位置角為仿真的時步長設為0.000 2 s，磁場信息保存時步長設為0.001 s;鼠籠所用材料為紫銅，其電阻率為0.021 7 Ω·mm2/m，鼠籠槽尺寸:h0=0.08 cm;b0=0.1 cm;b1=0.3 cm;b2=0.2 cm;hr2=1.0 cm。

利用有限元求出導條漏磁場能和電流，根據Xs2可以求出較準確的轉子槽漏抗。圖3、圖4、圖5分別是利用有限元仿真得到的電動機轉子導條電流、磁能、槽漏抗的動態變化曲線。從圖3、圖4看出，在電動機剛起動時，轉子導條內的電流與磁能很大，隨著電動機轉速逐漸變大并漸入同步，轉差率和轉子電流頻率逐漸減小，電流與磁能越來越小。從圖5可以看出，轉子槽漏抗隨時間變化而改變，在電動機剛起動時導條的集膚效應比較強烈，轉子槽漏抗值約為0.23 Ω，之后變大，最大約為0.72 Ω，隨著電動機轉速加快，轉子電流的頻率在減小，槽漏抗整體上呈減小的變化趨勢，在電動機將要進入同步即轉子電流頻率較低時，轉子槽漏抗逐漸穩定于一個很小值。

本文根據前人的分層法和本文所采用的改進分層法分別編寫了計算程序，分層改進法計算出的槽漏抗曲線如圖6所示。圖中曲線的變化與圖5相似，但在電動機將遷入同步時，轉速會達到一個最大值，轉子電流頻率出現較大的負值，這將影響到電流與磁能，從而使曲線在150 ms后出現了短暫的負值。

將這兩個程序的計算結果與有限元仿真結果進行了比較，數據如表2所示。轉子槽共分50層，e表示與仿真值的誤差。

表2 不同方法求得歸算后的槽漏抗值對比

從表中數據可以看出，改進后的分層法較先前的分層法在計算精度上有所提高，尤其在剛開始起動時，先前的方法與仿真值差距較大，改進后的值與有限元誤差較小，說明了改進分層法能對電動機的集膚效應有更好的模擬，使計算值更加準確。而在電動機將牽入同步時，集膚效應作用很小，此時改進前后的方法與有限元誤差相近。

4 改進分層法的實驗驗證

將由改進分層法得出的電動機起動時的槽漏抗計算值代入異步起動永磁同步電動機的電磁計算程序，得到空載電壓、額定轉矩、起動轉矩、失步轉矩、起動電流等電機性能指標的計算值，分別與有限元仿真值和實驗數據進行對比，如表3所示。根據這些性能指標對比可反映出槽漏抗計算的準確與否。

表3 11 kW、4極異步起動永磁同步電動機計算結果與實驗數據對比

從表3數據對比情況可以看出，有限元計算結果與實驗值誤差很小，說明了有限元分析的準確度很高，這也證明了本文采用有限元結果作為改進分層法的比照依據是合理和正確的;電磁計算結果與有限元結果及實驗值符合，說明采用改進后的分層法計算的槽漏抗值是精確的。數據還顯示，電磁計算值與實驗數據的誤差較有限元稍大些，其中主要原因是由程序中一些參數帶來的，例如，軛部磁路校正系數、轉子單位端部漏磁系數等，由于這些參數多為經驗值，導致計算結果誤差大些，但這些參數可以通過電磁場數值計算方法來修正。

5 結 語

改進分層法是在前人分層法基礎上，對層導體考慮集膚效應，求出每層相應的等效尺寸，利用等效尺寸來計算轉子槽的槽漏抗。這種方法不僅具有傳統解析法計算快捷的優點，它還能較好地模擬轉子槽內電流分布，更好地處理集膚效應的影響，對各種槽形都適用。本文通過對一臺11 kW的異步起動永磁同步電動機的轉子槽漏抗進行計算，并以計算精度很高的有限元計算數據作為比照，證明本文所采用的方法計算精度較前人的分層法要高，并且通過實驗驗證可知，利用改進分層法計算的結果是合理的、準確的，滿足技術計算要求，適合高精度的工程計算。

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