一類生物入侵模型的精確行波解

李 靜，許金剛，王勤龍

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

一類生物入侵模型的精確行波解

李 靜，許金剛，王勤龍

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

研究了一類一維生物入侵模型的行波解問題。通過計(jì)算奇點(diǎn)量以確定系統(tǒng)的可積性，找到相應(yīng)系統(tǒng)的首次積分，然后運(yùn)用動(dòng)力系統(tǒng)分支的定性理論方法，最后獲得一些有界行波解顯式表達(dá)式。

精確解；生物入侵模型；可積性；奇點(diǎn)量

近年來非線性發(fā)展方程的精確解，在解釋生物種群時(shí)空動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，特別是在生物入侵現(xiàn)象的研究中發(fā)揮越來越重要的作用。下面，筆者將討論S. Petrovskii等[1]所建立單生物入侵模型的精確解問題:

(1)

式中，U是蟲口密度；K為環(huán)境承載量；U0為Allee效應(yīng)臨界值；α為種群的內(nèi)稟增長率；參數(shù)A0是風(fēng)或水的流速；A1是因生物學(xué)機(jī)制而導(dǎo)致的遷移速度。

經(jīng)過無維變量替換后，模型(1)能簡化為下非線性偏微分方程：

ut+(a0+a1u)ux=uxx-βu+(1+β)u2-u3

(2)

式中，β=U0K-1,a0=A0K-1(αD)-1/2,a1=2A1(αD)-1/2。但文獻(xiàn)[1]只考慮了β>0的部分精確解問題。假設(shè)方程(2)有以下形式的行波解:

u(x,t)=u(ξ)ξ=x-ct

(3)

式中，c是波速。將式(3)代入式(2)中有：

u″(ξ)=(a0-c+a1u(ξ))u′(ξ)+βu(ξ)-(1+β)u2(ξ)+u3(ξ)

(4)

(5)

下面，筆者將通過計(jì)算奇點(diǎn)量以確定系統(tǒng)的可積性。

1 系統(tǒng)的可積性

顯然，系統(tǒng)(5)有3個(gè)奇點(diǎn)O(0,0),O1(1,0),O2(β,0)。特別地，可以利用文獻(xiàn)[2]所提供的計(jì)算奇點(diǎn)量的方法來分析原點(diǎn)鄰域的可積性，由此有：

定理1在c=a0的條件下，當(dāng)且僅當(dāng)a1=0時(shí)系統(tǒng)(5)可積，此時(shí)它的首次積分是:

(6)

證明利用奇點(diǎn)量的計(jì)算結(jié)果，必要性是顯而易見的；然后通過驗(yàn)證首次積分，即可以完成充分性證明。

考慮上述Hamilton常數(shù)在3個(gè)奇點(diǎn)處的取值，令：

分析C1=C2或C1=C3或C2=C3的情形，可以得到以下結(jié)論：

進(jìn)一步通過分析C1≠C2或C1≠C3或C2≠C3的情形，有：

2 方程的精確解

(7)

(8)

由此,可以得到一系列行波解[3]：

(i)當(dāng)β=2時(shí):

(ii)當(dāng)β=1/2時(shí):

(iii)當(dāng)β=-1時(shí):

同時(shí)由對應(yīng)的周期軌道，也可以分別獲得Jacobi橢圓函數(shù)周期解:

(i)當(dāng)β=2時(shí):

(ii)當(dāng)β=1/2時(shí):

(iii)當(dāng)β=-1時(shí):

(i)當(dāng)鞍點(diǎn)為O(0,0)，即當(dāng)β>2或0<β<1/2時(shí)：

(ii)當(dāng)鞍點(diǎn)是O1(1,0)，即當(dāng)1/2<β<1或β<-1時(shí)：

(iii)當(dāng)鞍點(diǎn)是O2(β,0)，即當(dāng)-1<β<0或1<β<2時(shí)：

同時(shí)由其中所對應(yīng)的周期軌道，也獲得可以相應(yīng)的Jacobi橢圓函數(shù)周期解：

3 結(jié) 語

筆者的研究結(jié)果是在特殊條件c=a0、a1=0下所獲得的，但這些也可以顯示在生物入侵傳播的一些實(shí)際的模式中，如外來物種的入侵速度僅取決于風(fēng)流或水流的速度A0，而不是由于生物學(xué)機(jī)制而導(dǎo)致遷移的情形。同時(shí)也可以看到，無論是β> 0還是β≤0始終存在著孤立波、正反扭子波、周期波這3種類型的入侵傳播模式。

[1]Petrovskii S V, Li B L. An exactly solvable model of population dynamics with density-dependent migrations and the Allee effect[J].Mathematical Biosciences, 2003，186：79-91.

[2] 劉一戎，李繼彬.論復(fù)自治微分系統(tǒng)的奇點(diǎn)量[J].中國科學(xué)(A)，1989(3)：245-255.

[3] Li Ji-bin, Dai Hui-hui.On the Study of Singular Nonlinear Traveling Wave Equations: Danamical System Approach[M]. Beijing: Science Press,2007.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.002

O175 12

A

16731409(2012)11N00403