基于上極限的冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變性質(zhì)的證明

李典平

(恩施市施州民族小學(xué)，湖北 恩施 445000)

基于上極限的冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變性質(zhì)的證明

李典平

(恩施市施州民族小學(xué)，湖北 恩施 445000)

運(yùn)用上、下極限的理論，建立了數(shù)列上極限的2個(gè)引理。應(yīng)用這2個(gè)引理，給出了冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分后收斂半徑不變的性質(zhì)定理的一個(gè)新證明，新證法較之原方法更為簡(jiǎn)明。

上極限；冪級(jí)數(shù)；收斂半徑

定理A(D′Alembent比值法) 若：

定理B(Canchy-Adamart公式) 若：

一般而言，定理A使用較方便，但定理B應(yīng)用范圍更廣泛。

則有：

上述性質(zhì)分別得到2個(gè)新的冪級(jí)數(shù)，它們的收斂半徑不變，仍為R。在一般的《數(shù)學(xué)分析》[1]教材中，此性質(zhì)定理都是運(yùn)用Abel定理進(jìn)行證明的。

下面，筆者建立了關(guān)于上極限的2個(gè)引理，并應(yīng)用這2個(gè)引理給出了上述性質(zhì)定理的一個(gè)新證明方法。

1 引 理

證明由定義，?ε>0式不妨設(shè)εN時(shí)，有：

0

(1)

bn

(2)

且存在{bn}的子列{bnk},使得:

0

(3)

結(jié)合式(1～3)有：

anbn<(a+ε)(b+ε)=ab+ε(a+b)+ε2

(a-ε)(b-ε)=ab-ε(a+b)+ε2N)

由上級(jí)限的性質(zhì)，有：

引理2是定理B(Canchy-Adamart公式)的逆命題。

2 應(yīng) 用

關(guān)于冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分后以得新的冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變的性質(zhì)重述如下。

證明僅須考慮R>0的情形，由引理2有：

又由引理1：

再由定理B，即得定理1結(jié)論為真。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[編輯] 洪云飛

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.010

O171 2

A

16731409(2012)11N02802