《圓的周長》教學(xué)改進(jìn)與反思

梁邦林

（儀征市謝集中心小學(xué)，江蘇 儀征 211400）

[教學(xué)內(nèi)容]

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十一冊第89-90頁內(nèi)容及例1。

[教學(xué)目標(biāo)]

（1）使學(xué)生理解圓周率的意義，理解掌握圓的周長公式，并能正確地計算圓的周長；

（2）通過動手操作，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合和主動研究、探索解決問題方法的能力；

（3）通過以圓的周長、直徑變化時圓周率保持不變的探索，對學(xué)生進(jìn)行辨證唯物主義的教育；

（4）結(jié)合我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的故事，對學(xué)生進(jìn)行愛國主義的教育。

[教學(xué)重點]

推導(dǎo)圓的周長計算公式的過程，正確計算圓的周長。

[教學(xué)關(guān)鍵難點]理解圓周率的意義。

[教具]課件。

[學(xué)具]

圓形實物3個（大小不等）、直尺、細(xì)繩、表格、計算器。

一、教學(xué)設(shè)計片段

[片段一]

師：你們還記得什么是周長嗎？

生：周長就是封閉圖形一周的長度。

師：這些圖形的周長你們認(rèn)識嗎？請你們選一個圖形指指它的周長。

小結(jié)：圓也有周長，繞圓一周的長度就是圓的周長。

師：在這些圖形里你覺得哪個圖形的周長最難求？

生：圓。

師：為什么啊？

生1：因為其他圖形是線段圍成的，把這些線段的長度加起來就行了。

生2：直的線是可以直接測量的；圓的邊是彎的，無法直接測量它的長度。

生3：圓的周長我知道怎樣算，直徑×圓周率。

（很多學(xué)生積極響應(yīng)：是的，直徑×圓周率）

師（不知所措）：直徑×圓周率？

生 4：對，也就是直徑×3.14。

生5：圓周率就是π，等于3.14。

……

【我的困惑：當(dāng)發(fā)現(xiàn)近乎一半的學(xué)生已經(jīng)知道圓的周長計算公式時，我真的有些語無倫次、不知所措了。本來的設(shè)計意圖是希望從“周長”導(dǎo)入，在激活已有的知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，試圖創(chuàng)造矛盾沖突來激發(fā)學(xué)生自主探究，引出“化曲為直”的思想方法來測量圓的周長，為后面的“猜想——驗證”打基礎(chǔ)。可現(xiàn)在學(xué)生都已知道圓的周長計算公式，如何再創(chuàng)造認(rèn)知沖突，如何再引導(dǎo)學(xué)生動手驗證呢】

[片段二]

師：有什么辦法來驗證一下這個公式到底對不對？

生1：對的，書上就是這么寫的！

師：書上寫的一定對嗎？

生2：老師，我爸就是這么說的。

師：你爸說的一定對嗎？那你說說為什么要這樣算？

（學(xué)生可能感覺到了我的惱羞成怒，不敢再作聲。課堂氣氛一下子變得凝固起來）

師：要證明圓的周長是不是等于直徑乘以圓周率，我們要看一下圓的周長和直徑到底有什么關(guān)系。這需要我們動手來實驗。

（布置實驗的內(nèi)容：測量三個圓片的周長、直徑，計算出圓的周長是直徑的幾倍。學(xué)生有些漫不經(jīng)心，但小組合作似乎緩和了一下課堂氣氛）

我發(fā)現(xiàn)學(xué)生很快就把實驗報告單填好了。走進(jìn)一看，他們都是先在“圓的周長是直徑的幾倍”這一欄填上3.14，再用3.14乘以圓片上的直徑，算出圓的周長。如下表：

實驗小組_____ 記錄員：序號 圓的周長 圓的直徑 周長是直徑的幾倍（寫成小數(shù)的形式）1 25.12 8 3.14 2 6.28 2 3.14 3 18.84 6 3.14…

師：你們是怎么實驗的？這個3.14是怎么得到的？

生1：圓的周長本來就是直徑的3.14倍啊。

師：現(xiàn)在我們正在驗證是不是3.14倍，怎么能直接拿來用呢？

生2：老師，我們算出來剛好都是3.14。

師：是嗎？這“周長是25.12厘米”你們是怎么測量出來的？太精確了吧？

……

【我的困惑：這個“猜想——驗證”的環(huán)節(jié)曾被老師們無數(shù)次精彩地演繹，在任何一個“圓的周長”教學(xué)展示中，這個環(huán)節(jié)似乎都是必不可少的。為什么到了我的課堂中，學(xué)生就不需要驗證了呢？他們把動手測量當(dāng)作是游戲在玩耍，為了堵住我的嘴居然還“睜眼說瞎話”。那么，這個動手驗證的環(huán)節(jié)可以少掉嗎？少了這個環(huán)節(jié)課堂會少掉什么呢】

二、課后反思

（一）課堂上還需要實驗驗證圓周長的計算公式嗎

課后我在班級進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)雖然有大部分學(xué)生知道了圓周長的計算公式，但他們都不能正確理解圓周率的意義和特征。事實上，研究圓的周長就是在研究圓周率的意義。所以，在課上“動手驗證”這一環(huán)節(jié)是必要的。因為動手驗證除了幫助學(xué)生知道圓的周長與直徑的關(guān)系、理解圓的周長計算公式外，還可以培養(yǎng)他們科學(xué)實驗的意識和觀察、歸納等數(shù)學(xué)能力，可以幫助他們掌握“猜想——驗證”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

但事實上，學(xué)生體驗不到實驗的必要性，不想動手驗證，動手驗證是我們老師強(qiáng)加給他們的。

在“命令——操作”中研究圓周率，學(xué)生內(nèi)心沒有“任務(wù)驅(qū)動”的心理感應(yīng)，他們是不會自主地動手驗證的。如何讓學(xué)生在已知圓的周長計算公式的基礎(chǔ)上，自發(fā)地產(chǎn)生研究“圓的周長與直徑的關(guān)系”（即圓周率）的需要，是本節(jié)課教師需要突破的難點。

（二）實驗中圓周率與π值不相符怎么辦

事實上，由于多種因素的限制，學(xué)生動手驗證后得到的值很難與3.14相符，我們該怎樣來處理這個矛盾呢？僅僅就說是實驗誤差嗎？好像很難說服學(xué)生。而且如果這樣處理，那么實驗的作用又有什么意義呢？其實這樣的測量求證不管怎樣減少誤差都是很難得到較精確的π值的！我們都知道圓周率的研究經(jīng)歷了數(shù)學(xué)家們數(shù)千年的探索和實驗，實現(xiàn)值較精確的突破是劉徽的“割圓術(shù)”，而并非我們課堂上所采用的測量方法。

（三）如何讓學(xué)生體驗圓周率是一個固定不變的無限不循環(huán)小數(shù)

我們的實驗結(jié)果和學(xué)生已有的經(jīng)驗都很難來解釋圓周率π是一個固定的數(shù)，且是無限不循環(huán)小數(shù)。我的教學(xué)是呈現(xiàn)一些祖沖之的資料后介紹說明圓周率有這一特征，但總感覺是強(qiáng)買強(qiáng)賣的說教。因為學(xué)生之前認(rèn)為圓周率約等于3.14，而實驗的數(shù)據(jù)很難剛好全是3.14，即使剛好是3.14，也很難說明圓周率是固定的數(shù)，且是無限不循環(huán)小數(shù)。我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W(xué)生體驗到圓周率是一個固定不變的無限不循環(huán)小數(shù)呢？

三、教學(xué)改進(jìn)

片段一：創(chuàng)設(shè)情境，找準(zhǔn)起點

師：我們今天要來研究“圓的周長”。（板書課題）你覺得什么是圓的周長？

生1：繞圓一周的長度是圓的周長。

生2：圍成圓一圈的曲線的長度是圓的周長。

師：黑板上畫了兩個圓，你覺得哪個圓的周長比較長一些？你是怎么想的？

生3：大圓的周長一定長一些。

生4：因為半徑長一點，所以它的周長就長一些。

生5：直徑長一些，周長也就長一些。

師：要知道大圓的周長比小圓的長多少，你有什么辦法？

生6：可以算一算。圓的周長=直徑×圓周率，或圓的周長=半徑×2×圓周率。

師：什么是圓周率？

生7：圓周率是3.14.

生8：圓周率是π。

生9：不是3.14，3.14的后面還有很多位。圓周率約等于3.14.

師：圓周率可以用希臘字母π表示。那這個公式是用來計算哪個圓的周長？

生9：這兩個圓都可以算。

師：操場上的圓呢？或者圓形游泳池的周長呢？

生10：任何圓的周長都可以用這個公式計算。

師：為什么？

生11：因為任何一個圓的周長除以直徑都等于圓周率。

師：是嗎？不管大圓還是小圓，周長除以它的直徑都等于圓周率，也就是約等于3.14，你怎么這么確信？

生11：書上看來的，好像是這樣的。

師：你從來都沒有懷疑過嗎？其他同學(xué)呢？

生12：大圓和小圓總有區(qū)別吧。

生13：我想也是這樣的。但是不敢確定。

【改進(jìn)說明：一開始先把學(xué)生已經(jīng)知道的全“抖”出來，以便找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點。既然學(xué)生知道圓的周長計算公式，卻對圓周率不是很清楚，那么我們可以提“為什么這個公式可以計算任何一個圓的周長”“是不是任何圓的周長除以直徑都等于圓周率”等問題來激活學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，把他們的思考焦點集中到圓周率上來，他們才會順其自然地想辦法證明：“不管大圓還是小圓，周長除以它的直徑都等于圓周率。”如果成立，那么這個公式確實是可以解決任何圓的周長計算問題。研究圓周率的過程就是在研究圓周長計算的本質(zhì)意義】

[片段二]動手實驗，體驗探索圓周率的發(fā)現(xiàn)過程

師：既然對“任何一個圓的周長除以它的直徑都約等于3.14”這一觀點有些懷疑，那么我們該怎么辦呢？

生1：我們可以找一些圓來實驗一下。

生2：先量出這些圓的周長和直徑，再計算周長除以直徑。

師：量直徑是沒有問題的，那圓的周長怎么量啊？

生3：可以用繩先繞圓一周，再把繩子拉直進(jìn)行測量。

師：這個方法可行嗎？（課件演示）

師：這種繞繩法你覺得妙在哪里？

生4：把彎曲的圓周長拉直了測量。

師：這種“化曲為直”的辦法真的讓人贊嘆。還有別的方法嗎？

生5：可以把圓先做個記號，再在直尺上滾一周，可以測量出圓的周長。（課件演示）

師：我們給這種方法取個名字叫滾圓法。接下來我們小組實驗，把材料袋里的學(xué)習(xí)材料拿出來，有選擇地使用。

（學(xué)生小組合作，測量、記錄有關(guān)數(shù)據(jù)并計算）

【改進(jìn)說明：學(xué)生對于“任何圓的周長除以直徑是不是都約等于3.14”這一問題不敢確定，因此激活了他們的探究欲望，使操作驗證變成了一種學(xué)生自發(fā)的需要。在這種需要的驅(qū)動下，學(xué)生自然能規(guī)劃實驗的過程、能創(chuàng)生“化曲為直”的測量方法，創(chuàng)新精神和實踐能力得到了很好的培養(yǎng)】

[片段三]交流類比，感受圓周率的特征

（展示各組實驗報告單）

師：仔細(xì)觀察，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：圓的周長是直徑的3倍多。

生2：每一次的實驗數(shù)據(jù)為什么都不一樣？而且沒有一個數(shù)據(jù)是3.14。

生3：因為我們實驗的時候有誤差。

師：你們的意思是這個倍數(shù)的精確程度取決于我們測量的誤差大小。如果測量時很精確就會是3.14倍,是嗎？

生：是的。

師：老師盡量精確地測量了10次，結(jié)果和你們一樣，沒有一次是3.14，（呈現(xiàn)實驗數(shù)據(jù)）看來這個倍數(shù)是不確定的。后來我查了一份資料，我們一起來看一下。（投影資料：中國古代數(shù)學(xué)名著《周算經(jīng)》中有“周三徑一”的說法）

師：你們有什么想說的嗎？

生4：“周三徑一”是不是說周長是直徑的3倍？

師：是的。你們說是3.14倍，實驗數(shù)據(jù)有沒有3.14倍，現(xiàn)在歷史資料又說是3倍，到底哪一個對？

生5：不知道。

生6：有點糊涂了。

師：不確定了吧!老師當(dāng)時跟你們一樣很迷惑，怎么辦？通過進(jìn)一步查資料發(fā)現(xiàn)，幾千年來古今中外的數(shù)學(xué)家們一直都在研究圓周率。在1700多年前的魏晉時期，我國的杰出數(shù)學(xué)家劉徽首先指出圓周率不是3！他得出了一個較精確的圓周率的值。他是用什么方法的呢？（投影資料）

師：現(xiàn)在又多出了一個圓周率的值——3.1416，你們相信哪一個？

（此時教師相機(jī)介紹千古絕技——“割圓術(shù)”）

生7：圓周率等于3是不可能了。

師：那這個3.1416呢？

生：應(yīng)該對吧，也不肯定。

師：這個數(shù)據(jù)在當(dāng)時的條件下已經(jīng)是非常精確了。

（投影祖沖之相關(guān)研究圓周率的資料）

師：看了這些資料，你有什么想說的？

生8：我以前聽說過祖沖之，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)劉徽也很偉大。中國真是藏龍臥虎！

生9：中國不愧是數(shù)學(xué)大國。中國人真了不起！

生10：那圓周率到底是幾啊？

生11：我們的實驗是無論如何也做不到這么精確的。

師:是的。其實還有很多數(shù)學(xué)家選擇了另外的方法在研究圓周率，有興趣的同學(xué)可以去查一下這方面的資料。老師這里還有一份資料。（投影資料）

電子計算機(jī)的出現(xiàn)帶來了計算方面的革命，1967年圓周率被推算到小數(shù)點后2000多億位，但仍然未算完……后來人們進(jìn)一步證明了這個數(shù)是個固定的數(shù)，也是個無限不循環(huán)小數(shù)。（呈現(xiàn)圓周率小數(shù)點后200位）

師：現(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)？

生12：圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)。

生13：圓周率是經(jīng)過了幾千年的研究才發(fā)現(xiàn)的。

生14：圓周率是一個固定的數(shù)，3.141592653589793 23846……

師：是的，圓周率是一個固定的無限不循環(huán)小數(shù)。我們?yōu)榱擞嬎惴奖悖湃∷慕浦?.14。現(xiàn)在能回答剛開始時的問題了嗎？

生15：任何一個圓的周長除以它的直徑都是一個固定的數(shù)，但不是3.14。

生16：因為圓的周長與直徑的倍數(shù)是一個固定的無限不循環(huán)小數(shù)，所以我們?nèi)〗浦禐?.14。

生17：圓周率是一個固定的數(shù)，所以任何一個圓的周長都可以用“直徑×圓周率”來計算。

生18：也可以用“半徑×2×圓周率”來計算。

……

練習(xí)（略）

【改進(jìn)說明：只有讓學(xué)生對已知的“圓周率≈3.14”產(chǎn)生懷疑，他們才會關(guān)注圓周率到底是多少，怎樣可以得到證明的方法。“周三徑一”的攪和，把學(xué)生的思維推向了另一個起點：除了動手實驗外，我們還需要查閱文獻(xiàn)資料！使學(xué)生深切地體驗到，文獻(xiàn)研究也是學(xué)習(xí)的一種重要方式。介紹劉徽和祖沖之的“割圓術(shù)”，不僅加強(qiáng)了學(xué)生的愛國主義教育，培養(yǎng)了科學(xué)探索的精神，而且讓他們在了解圓周率研究歷史的同時，體驗到圓周率是一個固定的無限不循環(huán)小數(shù)，使他們能自主建構(gòu)起對于圓周率和圓周長計算的正確理解】