一類高次奇點(diǎn)在中心流形上的極限環(huán)分支

王勤龍,胡 芳

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

一類高次奇點(diǎn)在中心流形上的極限環(huán)分支

王勤龍,胡 芳

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

研究了一類三維系統(tǒng)高次奇點(diǎn)極限環(huán)分支的問題。通過奇點(diǎn)量的計(jì)算，首次給出并證明了這類系統(tǒng)在中心流形上存在至少3個(gè)極限環(huán)的結(jié)論。

中心流形；退化奇點(diǎn)；極限環(huán)分支

關(guān)于微分自治系統(tǒng)極限環(huán)分支的研究，往往集中在平面系統(tǒng)［1-2］，而對(duì)于高維系統(tǒng)的極限環(huán)分支，特別是高維系統(tǒng)的高次奇點(diǎn)的極限環(huán)分支還十分少見。這里筆者將討論一類高次奇點(diǎn)在中心流形上的極限環(huán)分支問題，具體系統(tǒng)如下：

(1)

式中，u,δ,d1≠0為實(shí)數(shù);z,w,T為復(fù)數(shù)，且其中akl,bkl滿足共軛關(guān)系：

(2)

事實(shí)上,系統(tǒng)(1)對(duì)應(yīng)一類實(shí)變量微分自治系統(tǒng)(即實(shí)共軛系統(tǒng))，可知系統(tǒng)的原點(diǎn)是一類高次奇點(diǎn)，且有2個(gè)零特征根和一個(gè)負(fù)特征根。這樣可利用中心流形定理［3］，待定如下近似流形：

u=u(z,w)=u2(z,w)+h.o.t.

(3)

式中，u2為z,w的齊二次多項(xiàng)式；h.o.t.表示高次項(xiàng)。把式(3)代入系統(tǒng)(1)，可逐項(xiàng)確定式(3)中各項(xiàng)的系數(shù)。其前6次項(xiàng)如下：

(4)

其中:

u2=-d1zwu4=2δd1z2w2u3=u4=u5=0

u6=-id1wz［a03d1w4+(a12-b30)d1w3z+(a21d1-b21d1-8iδ2)w2z2+(a30-b12)d1z3w-b03d1z4］

然后把式(4)代入系統(tǒng)(1)中的前2個(gè)方程可得:

(5)

下面，筆者先計(jì)算系統(tǒng)(5)δ=0的奇點(diǎn)量，然后確定系統(tǒng)(1)δ=0中心流形上原點(diǎn)的前幾個(gè)焦點(diǎn)量，并由此討論系統(tǒng)在擾動(dòng)情形下中心流形上產(chǎn)生極限環(huán)的個(gè)數(shù)。

1 系統(tǒng)的奇點(diǎn)量

定理1［4］對(duì)系統(tǒng)(5)δ=0,可逐項(xiàng)確定形式級(jí)數(shù)：

c00=1ckk=0k=1,2,…

使得：

式中，μm是系統(tǒng)(5)δ=0原點(diǎn)的第m個(gè)奇點(diǎn)量，與系統(tǒng)(1)δ=0用Poincaré形式級(jí)數(shù)法求得的原點(diǎn)的第m個(gè)焦點(diǎn)量V2m+1有如下關(guān)系V2m+1～iμm,m=1,2,…。其中，記號(hào)“～”表示代數(shù)等價(jià)［4］。

運(yùn)用定理1和計(jì)算機(jī)運(yùn)算化簡得：

定理2系統(tǒng)(5)δ=0原點(diǎn)的前3個(gè)奇點(diǎn)量為:

對(duì)上述的表達(dá)式中μ2已令μ1=0，對(duì)μ3已令μ1=μ2=0。

進(jìn)一步地，由式(2)有：

定理3在系統(tǒng)(1)δ=0中心流形上，原點(diǎn)的前3個(gè)焦點(diǎn)量v2i+1(2π),i=1,2,3如下：

(7)

其中

定理4在系統(tǒng)(1)δ=0中心流形上原點(diǎn)為3階細(xì)臨界型焦點(diǎn)(即v3=v5=0,v7≠0)的充分必要條件是:

B2=0A3B1+A1B3=0 且d1g1+8g2≠0

(8)

2 極限環(huán)分支

這里討論系統(tǒng)(1)在系數(shù)擾動(dòng)情形下在中心流形上的極限環(huán)分支問題，所用方法詳細(xì)可見文獻(xiàn)［4-5］。

定理5系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)至少可分支出3個(gè)極限環(huán)。

證明根據(jù)定理3，計(jì)算焦點(diǎn)量函數(shù)v3,v5,v7對(duì)于變量A1,B1,B2的雅可比行列式如下：

(9)

(v1(2π-1)v3<0v3v<0v5v7<0 |e2πδ-1|?|v3|?|v5|?|v7|

進(jìn)一步可得在中心流形上系統(tǒng)(1)臨界細(xì)焦點(diǎn)的后繼函數(shù)必有3個(gè)小正根［1,4-5］，從而可知系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)至少可分支出3個(gè)極限環(huán)。

［1］葉彥謙. 多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性理論［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1995.

［2］ 劉一戎，李繼彬. 平面向量場(chǎng)的若干經(jīng)典問題［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［3］ Carr J. Applications of Centre Manifold Theory［M］. New York: Springer,1981.

［4］ 劉一戎. 一類高次奇點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心焦點(diǎn)理論［J］.中國科學(xué)，2001(A1)：37-48.

［5］ Wang Q，Liu Y,Chen H. Hopf bifurcation for a class of three-dimensional nonlinear dynamic systems［J］.Bulletin des Sciences Mathematiques,2010,134:786-798.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.07.001

O175.12

A

1673-1409(2012)07-N001-02

2012-04-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10961011)。

王勤龍(1972-)，男,1994年大學(xué)畢業(yè)，博士，副教授,現(xiàn)主要從事微分方程定性理論、計(jì)算機(jī)符號(hào)計(jì)算方面的教學(xué)與研究工作。

胡芳(1981-)，女，2004年大學(xué)畢業(yè)，講師，碩士生，現(xiàn)主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的研究工作；E-mail:hu_fang_888@126.com。

［編輯］ 洪云飛