分割法在Riemann可積中的應用

邢志勇

(廈門海洋職業技術學院基礎部，福建 廈門 361100)

分割法在Riemann可積中的應用

邢志勇

(廈門海洋職業技術學院基礎部，福建 廈門 361100)

Riemann可積是實分析理論中的重要內容，其核心思想就是試圖通過無限逼近來確定函數的積分值。對有限空間上的函數利用區間分割的方法對幾個Riemann可積的定理進行推導、證明，證明了這幾個定理之間的等價關系。

Riemann可積;分割法;等價關系

定義1對于［a,b］上的一個分割Δ:a=x0

定義2對于［a,b］的2個分割Δ0，Δ,Δ0?Δ表示Δ0的分點都是Δ的分點，Δ0∪Δ表示將Δ0的分點與Δ的分點全部拿來作為分點的分割，Δ/Δ0={［α,β］|［α,β］是Δ的一分段但不是Δ0的分段}，qΔ/Δ0為Δ/Δ0所含分段數目。

引理1［1］Δ0,Δ是［a,b］上的2個分割，n0是Δ0的分點個數，則：

qΔ/(Δ∪Δ0)≤n0-2

對有界函數f(x)：［a,b］→R，記：

式中，inf，sup都是對Δ跑遍［a,b］的所有分割而言的。

故當|Δ|<δ，有：

定理3有界函數f(x)：［a,b］→R在［a,b］上Riemann可積的充分必要條件是：?ε>0及σ>0，?δ>0，使得當［a,b］上的分割Δ的模|Δ|<δ時，必有∑ωi(f;Δ)≥εΔxi<σ。

證明充分性。?ε>0及σ>0，?δ>0，當分割Δ的模|Δ|<δ時，∑ωi(f;Δ)≥εΔxi<σ。從而：

+ε·(b-a)=Mσ+ε(b-a) (M為常數，σ，ε為任意小的正數)

由定理2可知f(x)在［a,b］上Riemann可積。

式中，M為有限數。從而：

由于ε為任意的，故σ也為任意的。即?ε>0及σ>0，?δ>0，當［a,b］上的分割Δ的模|Δ|<δ時，必有∑ωi(f;Δ)≥εΔxi<σ。

［1］李容錄.泛函分析基礎［M］.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2003:1-96.

［2］麥結華，曾素行.黎曼積分的幾個等價定義(英文)［J］.數學研究,2005(1): 38-44.

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.07.005

O172.1

A

1673-1409(2012)07-N010-02

2012-04-25

邢志勇(1980-)，男，2002年大學畢業，碩士，講師，現主要從事泛函分析、數學物理方程方面的教學與研究工作。

［編輯］ 洪云飛