飼料配方設計上的影子價格

王繼華，董恩球

（1.河北工程大學動物科學系，邯鄲 056002;2.煙臺龍大養殖有限公司，山東 煙臺 265231）

目前多數配方師是用線性規劃法設計飼料配方[1]，但是研究營養的人常對線性規劃的數學原理所知甚少，尤其是其中的影子價格及其靈敏度分析，以至于常見有很多曲解或誤用。本文目的是以配方設計示例，由簡單到復雜，探討影子價格及其在飼料配方設計中的意義和作用。

1 影子價格的概念

常有根據原料的可消化干物質或可消化蛋白質含量來評價飼料價格高低者。這種評價標準不合理，因為在線性規劃中一種原料的價格高低是相對于可用的原料-市場系統而言的。

根據線性規劃模型對影子價格的基本定義，某種原料的影子價格是指：在得到最佳配方后,配方中某種原料的用量增加一個單位，使飼料配方成本增加的量[2]。例如棉粕有毒，在飼料配方中的用量一般要限制。如果在用線性規劃法設計好的最佳配方的基礎上修改飼料配方，飼料配方中再多用一個單位的棉粕(當然就要相應地降低其他原料的用量)可使配方成本增加-0.05 元/kg，則這個-0.05 元/kg 就是棉粕的影子價格。可由如下簡化方式理解[3,4]：

為便于理解影子價格的實際意義，下面舉一最簡單的配方設計例子。

設有玉米和棉粕兩種原料，其粗蛋白含量分別為8.7%和37.0%，價格分別為元/kg 和元/kg。現在要用這兩種原料配制含粗蛋白為16%的配合飼料，問：怎樣設計飼料配方才能既滿足粗蛋白需要又成本最低？

所以我們可把式（3）寫為：

把此式代入目標函數式（1）可得：

即

則實踐中就可把Δz 當判別式使用。當Δz 為正值時，降低玉米用量 可降低配方成本C；當Δz 為負值時，增加玉米用量就可降低配方成本C。這里的Δz 就相當于一般飼料配方線性規劃中的影子價格。

例中，把已知數據代入式（6）可得：Δz ＝1.2－1.5×(8.7÷37)＝0.8473,所以應盡量降低玉米用量 ，這樣可降低配方成本。在本例中：取最小值是0,這時不用玉米，而全用棉粕。

2 飼料養分的影子價格

在線性規劃的數學理論上，影子價格還包括規劃模型右手側約束值的影子價格，在飼料配方規劃模型中就是飼養標準中各養分指標的影子價格。假定在設計飼料配方時考慮的營養指標有 項，例如能量、粗蛋白質、鈣、磷、賴氨酸、蛋氨酸等，記為線性規劃理論中約束值的影子價格就是指飼養標準中各養分指標的影子價格。根據線性規劃模型對影子價格的基本定義，飼料配方中某個營養指標的影子價格指的是，在得到最佳配方后,該營養指標的約束值改變一個單位，導致配方成本的改變量。也可由如下的簡化方式理解：

式中C是目標函數，是由于第i個養分指標改變一個單位導致的目標函數的改變量；是第i 個養分指標；是第i 個養分指標的改變量。所以，某種養分指標的影子價格就表示該養分指標對目標函數的影響度。

假設要設計斷奶仔豬的飼料配方。要求營養水平為可消化蛋白16.5 g，鈣8.7 g，有效磷0.45 g。已知有4 種原料，玉米豆粕骨粉和貝殼粉的價格分別為0.48、0.94、0.75 和0.11 元/kg，它們的養分含量可從《中國飼料數據庫》查到。問:4種原料各用多少，才能使配合飼料成本最低，又能滿足生長豬對粗蛋白質、鈣和有效磷的需要?

這個問題的線性規劃模型為:

上述線性規劃（LP）問題的對偶線性規劃問題可以寫為：

試驗田于2017年6月9日整地做畦，11日人工播種（行距60 cm，株距25 cm），16日出苗，17日噴灌，21日防治二點委葉娥，23日定苗，24日按設計施基肥。7月15日化學除草，20日玉米螟防治，24日按試驗設計追施尿素，9月21日收獲。試驗期間7月6日、7日、9日中雨，7月14日大雨，7月30日、31日中雨，8月2日大雨，8月13日中雨，8月20日大雨。、

如果矩陣A行滿秩，即則A的任一非奇異子矩陣B（即行列式都是LPI 的一個基。把變量的順序及其相應的系數重新排列，可用分塊矩陣記為：

根據對偶定理，原LP 問題的DLP問題有最優解：

3 影子價格的意義

如果B 是線性規劃問題LPI 的最優基，DLP 的最優解則求 矩 陣 導 數， 有, 所以變量 的經濟意義是：在其他條件不變(最優基也不變) 的情況下，單位養分變化引起的目標函數最優值的改變；或求偏導數表示在其他條件不變時，第i 個營養指標的單位變化引起的配方成本改變量。這說明代表第i 種養分指標在最優決策下的邊際價值。

由于影子價格是養分在最優決策下邊際價值的反映，所以沒有最優決策就沒有影子價格。同一養分在不同的原料市場-質量限制和不同決策下影子價格可能不同，因此影子價格是受原料市場和質量本身客觀條件制約的。由問題LP 與問題DLP 的最優解之間的關系說明養分的影子價格定量反映了養分在最優決策下應為配方成本（總收益）提供的價值。

上述理論分析表明，影響影子價格的因素主要有：配合飼料產品定位、原料質量、原料市場價格結構和配方設計時的約束條件等。

4 影子價格在飼料配方設計上的應用

4.1 根據影子價格調整飼料配方

原料的影子價格揭示了當增減參與計算的飼料原料時對最終配方成本的影響程度。某原料影子價格的絕對值越大，表明其對配方的最低成本影響越突出；而影子價格為“零”的原料是指其在特定取值范圍內，該指標的達成對最低成本不構成影響。從經濟上講，某原料(養分)的影子價格是對每單位該原料在特定條件下最優配置時的邊際效益的估價，所以可根據影子價格有把握地調整飼料配方。一般說來，當某原料影子價格為負值時，增加該原料在飼料配方中的用量，可降低配合飼料成本；當某原料影子價格為正值時，降低該原料在飼料配方中的用量，可降低配方成本。

利用EXCEL2000 以后的版本設計飼料配方時，可以在篩選出最低成本配方的同時，直接在原料價格的靈敏度一欄中得到參選原料影子價格的信息。

值得注意的是，設計飼料配方時各原料的影子價格不是固定不變的，當參與規劃飼料配方的各種原料的價格、質量、用量限制和飼養標準有任何變化時，各種原料的影子價格都有可能發生變化——也就是說有可能規劃出另外一個飼料配方及其影子價格，甚至原來為正的影子價格改變為負的影子價格。

再就是，在設計飼料配方時，影子價格分析只對那些設計飼料配方之前設置了限制用量的飼料原料有實際價值，而那些沒有對用量設置限制的原料，其影子價格只有理論意義。因為在優化過程中，已把那些沒用量限制的飼料原料用到了最佳量。或者說，規劃結果就是在給定的約束條件下，各種飼料原料（包括設置了約束和沒設置約束的原料）的最佳配比，也就是最佳飼料配方。

4.2 根據影子價格調整飼養標準

各種養分指標即資源的影子價格，能從量上指導配方師有針對性地調整飼養標準。在配合飼料中最重要的營養指標是能量和蛋白質，其他指標常以這兩個指標為基礎而定。所以，配合飼料的成本主要取決于這兩個指標，及與之相對應的原料。這兩個指標常允許在一定范圍內變動，即是說，蛋白能量比在一定范圍內變化時不影響動物生產性能，所以在設計飼料配方時,可根據影子價格在營養平衡允許的范圍內調整蛋白能量比和其他營養指標。

一般可通過計算能量和蛋白質的影子價格大致確定。理論上說，當某養分的影子價格為負值時，可把配方標準中該養分的指標調整到最高限度，當某養分的影子價格為正值時，可把配方標準中該養分指標調整到最低限度。氨基酸指標按理想氨基酸模式中各種氨基酸與蛋白質的比例確定。然而實際與理論常有巨大差異。據筆者經驗，在設計飼料配方時，多數養分指標的影子價格都是正數。所以在實踐中通常可以遇見的情況是，降低任何一個養分指標都會降低飼料配方的成本，當然，按照營養平衡原則，把全部營養指標都按平衡比例降低時，飼料配方的成本一定是會隨著降低的，不用復雜的數學規劃。

出現這種現象的原因，一方面是由飼料原料的性質決定，另一方面，是由飼料配方的規劃原理決定的。首先，各營養成分不是單獨存在的資源，而是以多種成分同時存在于一種飼料原料中，我們不可能孤立地“買”、“賣”或投入某一養分（市場上有售的氨基酸和維生素例外）。其次，在約束的營養成分之間，尤其是能量和其他營養成分間存在密切關系。如果把能量視為依變量，其他營養成分則是自變量。就飼料配方而言，它必須是營養平衡的。只有能量和其他營養成分在配方中保持一定比例關系，這個飼料配方才有使用價值。對于多數飼養標準來說，各營養成分需要量之間的相互關系已經確立。一個合格的配方師在設定營養指標時，已將各養分需要量之間的相互平衡關系考慮在內，只不過是在建立最低成本配方的線性規劃模型時，將各營養成分約束條件“簡化”或“假設”為獨立變量。許多實際問題都是經過簡化后，再建立起數學模型，因此，線性規劃所提供的數學原理，在用于實際設計飼料配方時，還要注意具體問題具體分析。

不過有時會出現某種養分指標的影子價格為負值。如果根據這個數學分析的結果來調整飼料配方的營養指標，往往導致飼料配方營養不平衡，降低飼料使用的效果，尤其是飼料轉化率，這將導致資源浪費。例如，筆者曾注意到精氨酸的影子價格有時為負值，如果僅僅根據數學原理，孤立地提高精氨酸的約束值（而不相應地提高蛋白質、賴氨酸等的約束值），必然導致氨基酸不平衡。

但是對養分的影子價格進行數學分析依然有巨大經濟價值，至少對飼料配方設計有理論指導意義。因為家畜對日糧各種養分的需要量及其相互比例不是不可改變的，其中蛋白能量比最有經濟價值。例如在仔豬飼料生產中，蛋白能量比（g/MJ）至少可在13～16 之間變化，而市場上蛋白質資源（典型代表是豆粕）和能量資源（典型代表是玉米）的相對價格經常變化，當能量資源貴時就可提高蛋白能量比，當蛋白質資源貴時就可降低蛋白能量比。當然，不同蛋白能量比的飼料會影響采食量甚至料肉比，所以要權衡飼料成本的降低與仔豬性能的關系，根據具體情況作出決策，這就為配方師提供了發揮技術優勢的空間。

值得注意的是，飼料配方設計標準中各養分的影子價格也不是固定不變的，會隨著各種養分指標的消長而發生位置的更換，或不構成影響的資源變成有影響的，有如人們熟悉的限制性氨基酸順序的變化。因此還必須研究資源影子價格的有效區間，體現影子價格的相對穩定性。

4.3 根據影子價格評價原料

評價飼料原料的傳統方法是計算飼料原料中每種主要營養指標（如蛋白質、限制性氨基酸、代謝能等）的價格，這種方法往往不能表明飼料原料在配方中的真實價值。因為一種飼料原料的實際價值取決于一定的原料質量--價格環境，與其他原料的質量—價格有關，當然還與前已述及的營養指標和全部可用原料的約束條件有關，在規劃配方的動態運算中是以各種原料滿足約束條件的能力為依據。影子價格指的是原料之間的“相對價格”，即一種原料與另一種或幾種原料相互取代所導致的優化配方成本差異。

某個原料的影子價格還受飼養標準的影響，在同一原料質量--價格環境中，對于不同產品定位的配合飼料，某個原料的影子價格可能會有變化。例如，對于營養濃度較高的配合飼料，規劃結果可能是選用魚粉，對于營養密度較低的配合飼料，在同樣的原料質量-市場價格條件下，規劃結果可能是選用豆粕，甚至是棉籽粕或菜籽粕。

所以，評價某個飼料原料時，最好是把它的質量—價格放在本廠可用原料和產品定位結構中進行分析，或者模擬設計一下飼料配方，根據其影子價格決定是否購入。

飼料添加劑屬于飼料原料的一種，完全適合于影子價格分析。不過對于單項添加劑原料，不需要使用線性規劃方法就可以評價哪種原料的性價比更好。

5 結論

根據影子價格原理有針對性調整飼料配方，可以有效降低飼料配方成本。

由于配合飼料產品定位、原料質量、原料市場價格結構和配方設計時的約束條件等都可以影響影子價格，所以還需要深入探討這些因素影響配方設計結果的規律，影子價格的靈敏度分析可以解決一些問題。

表1 玉米理化特性與其養分含量之間的相關系數(r) g/kg

6 線性規劃法的重要缺陷

飼料配方的線性規劃模型是建立在一些與實際不符的基本假定之上的，例如假定某種飼料原料的某種養分含量、飼料原料的市場價格和配合飼料的質量等都是常數，這與實際不符，所以用線性規劃法只能設計出近似最佳的飼料配方。

表1 是玉米的理化特性與其養分之間的相關系數，DE 是消化能，ME 是代謝能，HullS 是玉米皮，KernelS 是去皮玉米，WEF 是玉米胚乳，EEF 是粗脂肪，CP 是粗蛋白，NDF 是中性洗滌纖維，Total P 是總磷，TNSP 是總NSP，INSP 是IF（不可容性NSP），SID 是標準回腸消化率。

飼料配方規劃時的養分數據誤差，主要來自配方中量大的主要組分的營養素數據取值。說白了就是玉米（占50%～70%）和大豆粕（占15%～20%）的營養指標數據取值。一般而言，粗蛋白質可以造成正負1%的誤差，能量可以造成正負1 MJ/kg 的誤差。

還有飼料原料的消化率，尤其是某種飼料原料的特定養分的消化率，受仔豬狀況、飼料原料和飼養管理條件等因素影響巨大，也不是常量，而是隨機變量。

而線性規劃方法的基本假定是飼料原料養分數據矩陣A，飼養標準向量b和飼料原料價格向量C都是常數，暗含的基本假定就是：

根據上面的分析，這些假定顯然是不成立的。這就是說，線性規劃方法設計飼料配方，在理論上存在著原則性的缺陷。為了解決線性規劃法在設計飼料配方時的不足，可以采用隨機規劃法[5]，以某種概率保證設計的飼糧能滿足動物的營養需要[6]。

[1] 王繼華，范聚芳，董瑞玲.制定飼料配方數學方法的發展[J].獸藥與飼料添加劑，1999,4(1):35-36.

[2] Rao S S.工程優化原理及應用[M].祁載康，等譯.北京:北京理工大學出版社,1990.

[3] 王繼華，張樂穎，梁立軍.影子價格/靈敏度分析與飼料配方調整[J].邯鄲農業高等專科學校學報,2005，22（1）：1-4.

[4] 熊易強.飼料配方中影子價格的定義及其應用[J].飼料工業，2006，27（23）:1-5.

[5] 王繼華,邢海軍,張鳳儀.飼料配方模糊規劃和隨機規劃原理[J].邯鄲農業高等專科學校學報,2003，20（2）：1-4.

[6] 王繼華，王綏華，吳秀存，等著.仔豬飼料配方設計高級技術[M].北京：中國農業大學出版社，2012.