基于靈敏度分析方法的漸開線直齒圓柱齒輪的疲勞強度研究

張 群，汪永超，黃娟娟，王小兵

(四川大學制造科學與工程學院，成都 610065）

0 引言

齒輪傳動是機械傳動中應用最廣泛的動力和運動傳遞轉置［1］，由于齒輪的制造成本較高，所以提高齒輪的壽命成為了一個很重要的研究課題。

齒輪的主要失效形式為輪齒的彎曲折斷和齒面點蝕［2］，由計算模型知齒輪的結構參數是齒輪失效的主要影響因數。目前尚沒有使用靈敏度分析法對影響疲勞強度的齒輪各結構參數進行靈敏度分析的文獻。本文首次將靈敏度分析方法用于齒輪疲勞強度的研究中，以工程中一實用齒輪為例，采用Latin超立方采樣作為輸入，依據所建立的數學模型用五點插值數值微分法對齒輪的疲勞強度進行了靈敏度分析。分析結果揭示了齒輪各結構參數對疲勞強度的影響規律和敏感程度，為齒輪結構的優化設計提供了重要的理論依據。

1 漸開線直齒圓柱齒輪疲勞強度計算的數學模型

本文以漸開線直齒圓柱齒輪為研究對象，一般地，齒輪傳動的失效主要是輪齒的失效:對于閉式齒輪傳動，其主要失效形式為齒面點蝕和輪齒的彎曲折斷，需要進行齒根彎曲疲勞強度和齒面接觸疲勞強度計算;對于開式(半開式）齒輪傳動，其主要失效形式為齒面磨粒磨損和輪齒的彎曲折斷，由于目前尚無完善的磨損計算方法，因此通常只對其進行彎曲疲勞強度計算，并用適當加大模數的辦法來補償磨損的影響［2］。

根據文獻［2］可知齒根危險截面的彎曲疲勞強度(彎曲應力）為:

齒面的接觸疲勞強度(接觸應力）為:

式中:K為載荷系數;T1為小齒輪傳遞的轉矩;b為齒寬;m為模數;z1為小齒輪齒數;YFa為齒形系數;YSa為應力校正系數;u為傳動比;ZH為區域系數;ZE為彈性影響系數。

根據式(1）、式(2）知齒輪的疲勞強度與齒輪的結構參數齒寬b、模數m、小齒輪齒數z1有關。

2 靈敏度分析方法

齒輪的疲勞強度對齒輪各結構參數的靈敏度定義為齒輪的疲勞強度應力值對柔輪各結構參數的變化率，其幾何意義是各結構參數對疲勞強度的敏感程度，絕對值越大表示越敏感。在結構優化設計中，通過靈敏度分析，可以確定調整何種設計參數最有效，從而選取盡量少的優化變量，降低優化設計的時間和工作量［3］。

若設影響齒輪疲勞強度的齒輪各結構參數X為:X=(x1，x2，…xk）T，齒輪疲勞強度應力值 σ 為:σ =f(X），則齒輪的疲勞強度靈敏度s為:

式中:si(i=1，2，…，k）表示齒輪疲勞強度對齒輪結構參數的靈敏度。

確定因素xi的靈敏度的過程如下［4-5］:令其他影響因素 x1，x2，…，xi－1，xi+1，…，xk不變，因素 xi在其值附近進行擾動(一般擾動范圍為 ±10%），在因素xi的擾動范圍內進行N次采樣，并計算出各采樣點的疲勞強度應力值fj(j=1，2，…，N），然后用五點插值數值微分法求出影響因素xi的靈敏度值，并擬合成靈敏度曲線，以此來反映影響因素xi對疲勞強度的敏感程度。

在計算疲勞強度應力值的過程中使用Latin超立方采樣作為輸入。Latin超立方采樣產生受約束樣本點的方法如下［6-7］:假設存在一個確定性的分析模型y=f(x），其中x= ＜ x1，x2，…，xn＞T代表輸入變量向量，每個輸入變量xi(i=1，2，…，n）由概率分布函數Fxi(x）描述。將每個輸入變量xi的概率分布函數Fxi(x）的范圍分割成N個不重疊的區間Sij(j=1，2，…，N），每個區間由概率表征:

并且有:

在抽樣過程中，區間Sij由代表性參數代表，代表性參數有兩種選擇方法:一是在區間中隨機選取，一是在區間中心處選取。

在區間中隨機選取時，首先在(0，1）區間內生成N個隨機數Qj，然后將其變換成第j個區間中的隨機數Wj:

由式(6）可推得(j－1）/N ＜Wj＜j/N，其中(j－1）/N和j/N分別是第j個區間的下界和上界，因此每個區間上僅生成一個隨機數Wj，求得約束隨機數Wj后即可求得相應的隨機變量為:

在區間中心處選取時，第j個區間的代表性參數可以由式(8）確定:

其中，Pij表示第i個輸入變量xi的第j個模擬的區間秩數。

由采樣過程知，在進行N次模擬以后，每個輸入變量xi的N個觀測值與一個隨機排列的整數序列(整數1，2，…，N的隨機排列）相聯系，將n個變量的N次模擬的隨機排列的矩陣記為R，R有N行n列。

上述抽樣過程中矩陣R是隨機產生的，各列間不可避免的會引入一定的統計相關，進而影響到靈敏度估計值的偏度和方差。Florian提出了一個減小統計相關的方法，用矩陣T來描述矩陣R各列間的統計相關，矩陣T中的元素Tuv(u，v=1，2，…，n）是R的第u和第v列間的Spearman系數，它定義為:

其中，dj是兩樣本的序差，N是樣本數。顯然矩陣T是對稱的，且在各列不相關的情況下等于單位矩陣I?？紤]到R的實現過程，T是正定矩陣，所以可以對T進行Chloesky分解:

其中，Q是一個下三角矩陣，QT是Q的轉置，令S=Q－1，采用式(11）轉換公式得到一個新的矩陣RB。

其中，RB各列間的統計相關由相關矩陣TB表示。由文獻［8］的證明知TB比T更接近于單位陣，于是用矩陣RB代替矩陣R，可使隨機排列表各列間的統計相關減小。于是將矩陣RB各列中的值通過式(6）、式(7）、式(8）的計算，可得輸入樣本{x}n。對此樣本利用確定性的分析模型y=f(x）可計算輸出變量的相應值。

將上述計算出的輸出變量的相應值用五點插值數值微分法做數值微分，最后將求得的數值微分值擬合成曲線，以觀察各參數的靈敏度。

3 實例分析

以一帶式輸送機減速器的高速級齒輪傳動為例，對其齒輪的疲勞強度進行靈敏度分析。該減速器的基本參數如下:大小齒輪的材料均為45鋼(調質），小齒輪齒面平均硬度為250HBS，大齒輪齒面平均硬度為210HBS，小齒輪傳遞的額定功率為P=9.2kW，小齒輪轉速為n1=970r/min，小齒輪齒數z1=31，齒寬b1=84mm，大齒輪齒數z2=125，齒寬b2=78mm，模數m=2.5，中心距a=195mm。該減速器由電動機驅動，預計工作壽命為6年，每日工作16小時，帶式輸送機工作平穩，轉向不變。

依據1中建立的數學模型，帶入相應系數值，得疲勞強度與齒輪結構參數間的關系式為:

通過編程計算可得出各結構參數在其變化范圍內的各采樣點處的疲勞強度應力值，再對其進行五點插值數值微分計算，可得靈敏度值。為了直觀的看到各結構參數在其變化范圍內的靈敏度值和變化趨勢，此處用靈敏度曲線來描述各結構參數對疲勞強度的影響程度，如圖1～圖6所示。

圖1 齒輪齒寬靈敏度曲線

圖2 齒輪模數靈敏度曲線

圖3 齒輪齒數靈敏度曲線

圖4 齒輪齒寬靈敏度曲線

圖5 齒輪模數靈敏度曲線

圖6 齒輪齒數靈敏度曲線

從圖1～圖6可以看出:靈敏度值均為負值，且其絕對值隨著齒輪各結構參數的增加而減小。由此得出齒輪各結構參數對疲勞強度的影響規律:隨著齒輪各結構參數值的增加，彎曲應力和接觸應力均減小，且減小速度在減慢，即齒輪各結構參數對疲勞強度的影響在減小。從圖1～圖6的縱坐標顯示的靈敏度值的大小中還可以看出:無論是彎曲應力還是接觸應力，模數對疲勞強度的靈敏度值遠遠大于其他兩個參數對疲勞強度的靈敏度值，由此說明模數對疲勞強度的影響最顯著即敏感程度最高，其次是齒輪齒數，敏感程度最低的是齒寬。

4 結束語

本文以漸開線直齒圓柱齒輪為研究對象，根據其疲勞強度計算的數學模型，首次采用靈敏度分析方法分析齒輪各結構參數對疲勞強度的敏感程度。本文在變量輸入時采用Latin超立方采樣，與傳統的隨機采樣相比在結果精確度相同的情況下具有小的多的樣本空間，提高了計算速度。在計算各輸入點的靈敏度值時采用五點插值數值微分法，該方法比兩點、三點插值數值微分法具有更高的精度。本文最后運用實例分析得出齒輪各結構參數對疲勞強度的影響規律，通過對靈敏度值的比較得出模數對疲勞強度的敏感程度最高，其次是齒數，敏感程度最低的是齒寬。該研究成果對齒輪結構的優化設計具有重要指導意義。

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