一種四自由度并聯機構的性能指標分析

季 曄 劉宏昭 原大寧 王庚祥

西安理工大學，西安，710048

0 引言

機構的性能評價是機器人研究的重要內容之一，它對結構參數的選取和控制策略的擬定具有決定性作用。為了量化機構動力學性能，很多學者都曾做過相關研究。早在1982年，Salisbury等[1]采用Jacobian矩陣條件數研究了機構運動性能。1983年，Asada[2]采用廣義慣性橢球研究了機器人動態性能特性。文獻[3]將機構的Jacobian矩陣分離，分別研究了機構的移動性能和轉動性能。文獻[4]研究了一種8PSS冗余并聯機構的動力學特性。近年來很多學者都曾對不同機構的運動特性進行過較為深入的研究[5-8]。

少自由度并聯機構具有驅動元件少、成本低、結構緊湊和性價比高等優點，是近年來研究的熱點[9]。為了更好地控制高速精密機器人，多角度研究機構的運動學和動力學性能具有十分重要的意義。本文通過改變4UPU機構中某個支鏈的運動副的布置方式，得到了一種變拓撲結構的具有四自由度的并聯機構。根據機構結構特點和運動特性，建立了機構位置反解方程。利用求導法得到了機構一階、二階影響系數矩陣，分析了機構的運動學和動力學評價指標，得到了各指標與一階、二階影響系數矩陣之間的關系。考慮速度與角速度的量綱不同、力和力矩的量綱亦不同，將雅克比矩陣分離，單獨研究機構的轉動性能和移動性能。最后采用“分層”研究的方式，得到了機構各運動支鏈的加速度和慣性力性能評價結果。

1 機構結構及自由度分析

1.1 機構結構描述

圖1所示的并聯機構由4個UPU支鏈連接上下平臺構成，其中3個支鏈的U副布置方式一致，通過改變另一支鏈U副的空間位置，得到了一種變拓撲結構的并聯機構。與運動平臺相連的U副用Ai(i=1,2,3,4)表示，與固定平臺相連的U副用Bi(i=1,2,3,4)表示。為了便于描述，Ai和Bi還表示動平臺和固定平臺與支鏈的連接點。固定平臺幾何中心O為慣性坐標系原點，其中x軸平行于B1B2，y軸平行于B2B3；運動平臺幾何中心O′為動坐標系原點，初始位置時x′軸平行于x軸，y′軸平行于y軸，利用右手定則確定z軸。A1B1、A2B2和A3B3支鏈的U副轉動軸線平行于x軸和z軸；另外一條支鏈的U副轉動軸線平行于y軸和z軸。機構動平臺邊長為2a和2d，固定平臺邊長為2b和2c。

圖1 變拓撲UPU并聯機構結構簡圖

1.2 機構的結構演繹與自由度分析

原始機構為各支鏈結構相同的4-UPU機構。以B1為原點，各坐標軸方向與固定坐標系各軸方向相同建立螺旋坐標系，則A1B1支鏈運動螺旋為

反螺旋為

θx、θy、θz為支鏈與固定坐標系相應坐標軸的夾角。每個支鏈具有相同的反螺旋，因此機構自由度為5。由于機構只有4個驅動支鏈，此構型下機構不可控。

對機構中某條支鏈的U副進行調整。將A4B4支鏈的U副變為圖1所示，其運動螺旋為

反螺旋為

此時機構動平臺具有4個自由度，2個轉動自由度被限制(繞x軸和y軸轉動)。如果鎖住AiBi支鏈的4個移動副，動平臺自由度為0，機構輸入合理。

2 機構位置關系方程的建立

經分析可知，機構具有空間3個移動和1個繞x軸轉動的自由度，因此機構的動平臺自由度用廣義坐標可表示為X=(x,y,z,α)T。

各支鏈的矢量為

Ii=TxA′i+(x,y,z)T-Bi

(1)

i=1,2,3,4

其中，A′i為動平臺各鉸點在動坐標系下的向量；Bi為固定平臺各鉸點在慣性坐標系下的向量；(x,y,z)為動坐標系原點在固定坐標系下的矢量；Tz為動坐標系到慣性坐標系的旋轉變換矩陣，即

式中，α為動平臺繞z軸轉動的歐拉角。

以各支鏈移動副作為輸入，通過改變支鏈的長度來控制動平臺的位姿，各支鏈長度為

(2)

式中，Ii(1)、Ii(2)、Ii(3)分別為各支鏈矢量的第一行、第二行、第三行元素。

3 運動影響系數的建立

并聯機構的一階、二階影響系數求解方法主要有兩種：封閉向量求導法和旋量法。由于已知機構的位置關系方程，因此采用前者進行求解。

3.1 一階影響系數矩陣

機構的輸入與輸出速度關系滿足：

(3)

當J非奇異時，則

(4)

G=J-1

式中，J為各支鏈輸入速度對動平臺位姿速度的一階影響系數矩陣；G為動平臺位姿速度對各支鏈輸入速度的一階影響系數矩陣，即通常所說的Jacobian矩陣。

3.2 二階影響系數矩陣

機構的輸入和輸出之間存在解析關系，J和G中各元素可表示為

Jij=f(x,y,z,γ)

Gij=f(l1,l2,l3,l4)

i,j=1,2,3,4

根據機構輸入、輸出速度關系方程式(式(3)、式(4))，分別對時間求導得

(5)

(6)

K和H可表示為

式(6)和式(5)為機構加速度正逆解方程。K和H分別為支鏈輸入加速度對動平臺位姿加速度的二階影響系數矩陣和動平臺位姿加速度對各支鏈輸入加速度的二階影響系數矩陣。Ki和Hi可作為第i條支鏈的二階影響系數矩陣。

4 機構性能評價指標分析

機構的運動性能評價指標主要包括速度、加速度、承載力、驅動力和慣性力等。其中，速度、承載力、驅動力等由機構的一階影響系數決定，而加速度和慣性力不僅與一階影響系數有關，還與二階影響系數有關，各性能指標分析如下。

4.1 速度性能指標

(7)

其中,‖G‖‖G-1‖是Jacobian矩陣的條件數，表示矩陣計算對誤差的敏感性，是機構運動精度的度量，記為kG。kG越小，機構的速度偏差越小。

4.2 承載力、驅動力性能指標

機構的承載力是機構動平臺承受的廣義力，驅動力為各支鏈在動平臺位于不同位姿時所承受的軸向力。定義支鏈輸入的驅動力為f，動平臺廣義力為F。由于機構速度映射與力映射之間存在明顯的對偶關系，則存在

F=GTf

因此機構的承載力和驅動力出現擾動，其性能評價與速度性能指標分析類似。

4.3 加速度性能指標

(8)

令

則有

存在

(9)

由于

即

存在

(10)

由式(9)和式(10)可知，加速度的擾動與‖G‖‖G-1‖和‖H‖‖H-‖有關，而‖H‖·‖H-‖為H的條件數，記為kH。kG和kH越小，機構的加速度偏差相對越小。

4.4 慣性力性能指標

慣性力F為質量與加速度的乘積，質量是不變量，不受擾動的影響。根據前述分析，性能指標需同時包含G和H，文獻[10]采用g=‖G‖+‖H‖作為評價指標。為了得到各支鏈擾動對慣性力敏感程度，對機構的慣性力性能研究進行改進，采用如下評價方法:

gi=‖Gi‖+‖Hi‖

(11)

5 機構性能分析結果

圖1所示機構的結構參數選取如下：a=0.23m，b=0.95m，c=0.36m，d=0.22m。根據實際任務空間，機構動平臺中心點運動范圍為x,y∈[-0.2m,0.2m]，為了提高計算效率，分析性能指標時，均取z等于0.9m、1.0m和1.1m三個運動層為研究對象。機構的Jacobian矩陣G∈R4×4，其中前三行組成3×4矩陣，記為GT；最后一行為1×4矩陣，記為GR。GT和GR具有不同的量綱，分別作為速度和力、角速度和力矩的性能評定指標，因此kG的圖譜由兩部分組成，結果如圖2所示。

(a)對應GT的性能指標

(b)對應GR的性能指標圖2 kG性能指標圖譜

GT的條件數性能圖譜空間分布均勻，包含3層連續的曲面，從上到下各層分別對應于z等于1.1m、1.0m和0.9m。當動平臺位于z=0.9～1.1m任務空間內時，GT條件數分布于z=0.9m和z=1.1m性能圖譜構成的曲面之間；不管機構的動平臺位于任務空間的任何位置，GR的條件數均為1。

為了更為細致地評定加速度性能指標，采用“分層”研究的方式，說明機構的加速度性能。根據上述分析可知，加速度性能由兩部分決定，即輸入擾動對M1和M2的影響。M1部分的指標分析如圖2所示，M2部分的指標分析如圖3所示。

(a)A1B1支鏈的二階影響系數性能指標

(b)A2B2支鏈的二階影響系數性能指標

(c)A3B3支鏈的二階影響系數性能指標

(d)A4B4支鏈的二階影響系數性能指標圖3 kHi性能指標圖譜

kHi表示機構的第i條支鏈存在擾動時對M2的影響程度。第一、第四條支鏈對應Hessian矩陣的第一和第四層，從圖3可以看出，這兩條支鏈存在擾動時對動平臺的影響相對較小，而第二、第三條支鏈存在擾動時，動平臺受到的影響相對較大。

對機構慣性力的性能分析依然采用“分層”研究的方法，各支鏈的慣性力性能由g決定，計算結果如圖4所示。

(a)A1B1支鏈的慣性力性能指標

(b)A2B2支鏈的慣性力性能指標

(c)A3B3支鏈的慣性力性能指標

(d)A4B4支鏈的慣性力性能指標圖4 慣性力性能指標圖譜

與加速度性能指標類似，第一、第四條支鏈的慣性力性能較好，其靈敏度和靈巧性好于第二、第三條支鏈。

在任務空間內，上述各性能指標計算結果范圍如表1所示。

當運動平臺和固定平臺結構尺寸b、c和d恒定，a分別取0.2m和0.3m時，機構的GR的條件數不變，GT的條件數變化很小，Hi和gi的條件數隨a的增大而增大；當運動平臺和固定平臺結構尺寸a、b和c恒定，d取0.2m和0.28m時，機構的GR的條件數不變，GT的條件數逐漸增大，而Hi和gi的條件數變化復雜，對應條件數均大于d=0.23m時的計算結果，尤其是H3的條件數發生“跳動”，最大值超過468；當運動平臺和固定平臺結構尺寸a、c和d恒定，b取0.9m和1m時，機構的GR的條件數不變，GT的條件數均大于b=0.95m時的值，同時Hi和gi的條件數也有所增大，其中H3的條件數也出現“跳動”，數值較大；當運動平臺和固定平臺結構尺寸a、b和d恒定，c取0.3m和0.4m時，機構的GR的條件數不變，GT的條件數均大于b=0.95m時的值，同時Hi和gi的條件數也有所增大，其中H3的條件數依然出現“跳動”，數值較大。

表1 性能指標范圍

6 結語

通過改變機構一條五自由度并聯機構支鏈的結構，得到了一種具有3個移動和1個轉動自由度的并聯機構。根據該變拓撲結構機構的位置關系方程，利用求導法得到了機構的正逆Jacobian矩陣和Hessian矩陣。由于機構的性能指標與兩矩陣有直接關系，針對不同的性能指標，得到了各指標與兩矩陣之間的映射關系。根據不同量綱，將Jacobian矩陣分離，分析了機構速度、承載力和驅動力性能，得到了任務空間內一階性能圖譜；利用“分層”研究的策略，得到了機構各支鏈與動平臺之間的加速度性能和慣性力性能，得到了二階性能圖譜。

計算結果表明，按照文中的尺寸參數選取，機構各性能指標在任務空間內變化較小且分布均勻，具有良好的對稱性，運動學和動力學性能較好。如果改變上平臺或下平臺的某個結構參數可能會使機構某些性能嚴重下降，如H3的條件數過大，造成輸入和輸出之間加速度關系失真。上述分析為機構的結構參數確定提供了依據。

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