殘差χ2檢驗(yàn)法在聯(lián)邦濾波中的應(yīng)用

程洪炳 倪世宏 黃國(guó)榮 劉華偉

(空軍工程大學(xué)工程學(xué)院，陜西 西安 710038)

0 引言

隨著導(dǎo)航系統(tǒng)種類(lèi)的增加以及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的日益復(fù)雜化，導(dǎo)航傳感器故障率已成為影響高性能動(dòng)態(tài)系統(tǒng)完好性的一個(gè)重要因素［1－2］。建立在組合導(dǎo)航濾波器之上的系統(tǒng)級(jí)檢測(cè)也因此成為保證系統(tǒng)輸出數(shù)據(jù)完好性的關(guān)鍵［3］。

在聯(lián)邦濾波器中，既可以基于子濾波器對(duì)每個(gè)傳感器單獨(dú)進(jìn)行故障檢測(cè)和隔離，也可以基于主濾波器進(jìn)行整體性能檢測(cè)［4－6］。靈活的結(jié)構(gòu)特性使得基于聯(lián)邦濾波器的故障檢測(cè)技術(shù)受到了許多學(xué)者的關(guān)注［7］。然而，聯(lián)邦濾波器結(jié)構(gòu)的特殊性卻使目前較為成熟的殘差檢驗(yàn)算法存在一定風(fēng)險(xiǎn)。針對(duì)這一問(wèn)題，本文深入分析了殘差χ2檢驗(yàn)應(yīng)用聯(lián)邦濾波器時(shí)存在的問(wèn)題，并提出了改進(jìn)算法。

1 殘差故障統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)原理

基于殘差的故障統(tǒng)計(jì)檢測(cè)在導(dǎo)航系統(tǒng)故障檢測(cè)算法中占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。無(wú)論是觀測(cè)量故障還是狀態(tài)量故障，總會(huì)通過(guò)一定的奇偶關(guān)系反映在殘差變化上。基于殘差的故障統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)原理就是通過(guò)檢驗(yàn)殘差的變化，檢驗(yàn)并隔離故障。

帶故障的離散系統(tǒng)模型如式(1)所示:

式中:X(k)為系統(tǒng)狀態(tài)，且 X(k)∈Rn;Φ(k，k－1)為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣，且 Φ(k，k－1)∈Rn×n;Γ(k－1)為系統(tǒng)的噪聲陣，且 Γ(k－1)∈Rn×r;H(k)為量測(cè)矩陣;w(k)、v(k)為相互獨(dú)立的高斯白噪聲序列，且w(k)∈Rr和 v(k)∈Rm;γf為隨機(jī)故障向量;f( k，t)f為分段函數(shù)。

f(k，tf)的表達(dá)式如下:

式中:tf為傳感器故障時(shí)刻。無(wú)故障時(shí)，f( k，tf)=0，卡爾曼濾波能夠給出最小方差意義上的最優(yōu)估計(jì);反之，卡爾曼濾波變?yōu)榇蝺?yōu)，甚至失效。

基于殘差的導(dǎo)航系統(tǒng)故障檢測(cè)一般可描述如下。令r(k)為k時(shí)刻通過(guò)殘差生成器(最小二乘法或卡爾曼濾波器)得到的殘差序列，分布函數(shù)為F( k)，且有:

式中:μ描述了故障方向。故障檢驗(yàn)算法就是要通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)方法，檢驗(yàn)殘差r(k)的均值由0到μ的變化。根據(jù)μ是否已知，檢測(cè)通常分為兩類(lèi):①若μ已知，稱(chēng)為簡(jiǎn)單故障檢測(cè);②若μ未知，但已知μ∈Θ:{μTPr－1μ=b2}，稱(chēng)為復(fù)合故障檢測(cè)。

導(dǎo)航系統(tǒng)故障檢測(cè)通常被認(rèn)為屬于復(fù)合故障檢測(cè)。因?yàn)閷?duì)于一個(gè)多維殘差序列，很難事先確定方向和幅度都已知的μ。但簡(jiǎn)單故障檢測(cè)算法是復(fù)合故障檢測(cè)算法的基礎(chǔ)。

2 殘差χ2檢驗(yàn)算法描述

由于卡爾曼濾波器不受觀測(cè)量維數(shù)的限制，又不要求量測(cè)矩陣H(k)必須列滿秩。因此，多數(shù)導(dǎo)航系統(tǒng)內(nèi)部均采用卡爾曼濾波生成殘差［8］。預(yù)測(cè)殘差序列又稱(chēng)新息序列，其表達(dá)式為:

根據(jù)卡爾曼濾波方程，新息的協(xié)方差陣為:

殘差χ2檢驗(yàn)法實(shí)際上是一種基于預(yù)測(cè)殘差序列的 χ2檢驗(yàn)法，其中預(yù)報(bào)值 X^(k，k－1)為:

對(duì)r(k)作如下二元假設(shè)。

H0:無(wú)故障 E{ r(k)}=0，E r(k) rT(){ k}=Pr(k)

H1:有故障E{ r(k)}=μ，E{［r(k)－μ］［r(k)－μ］T}=Pr(k)

故障檢測(cè)函數(shù)為:

式中:m為量測(cè)矩陣Z(k)的維數(shù)。

故障判定準(zhǔn)則為:

3 殘差χ2檢驗(yàn)問(wèn)題分析

將殘差χ2檢驗(yàn)法應(yīng)用于聯(lián)邦濾波器傳感器故障單獨(dú)檢驗(yàn)，局部估計(jì)預(yù)報(bào)值(k，k－1)一般通過(guò)以下兩種方法計(jì)算。

①使用局部估計(jì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即:

②使用全局融合估計(jì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，即:

式中:下標(biāo)i和g分別表示局部濾波和全局濾波。

4 雙“狀態(tài)傳播器”的改進(jìn)

針對(duì)殘差χ2檢驗(yàn)法對(duì)軟故障的不敏感性，提出了基于移動(dòng)偽正常狀態(tài)的殘差χ2檢驗(yàn)法和基于融合量測(cè)預(yù)報(bào)的故障檢測(cè)方法［9－10］。這兩種算法實(shí)際上都是基于“狀態(tài)傳播器”思想，能有效解決上述問(wèn)題。為避免將一個(gè)已受污染的狀態(tài)傳播器作為參考系統(tǒng)，建議采用將雙“狀態(tài)傳播器”思想引入殘差χ2檢驗(yàn)法，使用全局估計(jì)對(duì)其進(jìn)行交替重置，具體算法如下。

考慮子濾波器殘差為:

①狀態(tài)傳播器的重置

在系統(tǒng)正常工作狀態(tài)下，兩個(gè)狀態(tài)傳播器交替重置。設(shè)交替重置時(shí)間間隔為Δt，k0為重置時(shí)刻。(k)和PS(k)的計(jì)算過(guò)程如下。式中:上標(biāo)S、SA、SB分別表示最終狀態(tài)輸出、狀態(tài)傳播器A輸出、狀態(tài)傳播器B輸出;Δt應(yīng)該保證軟故障能夠積累到被檢測(cè)的程度，假設(shè)設(shè)置合適，則能夠保證重置時(shí)刻全局估計(jì)沒(méi)有受到污染，那就可以很好地解決軟故障跟蹤問(wèn)題。

如果系統(tǒng)在tf時(shí)刻被檢測(cè)出故障，則精度會(huì)嚴(yán)重下降，因此，需要同時(shí)重置，即:

式中:j=k－Δt+1。

② 時(shí)間間隔Δt的選擇。

Δt的選取原則是不能太小也不能太大。

5 仿真分析

考慮如下三維系統(tǒng)［11］:

設(shè)仿真時(shí)間為1000s，誤檢率為0.1，查 χ2分布函數(shù)表，可得門(mén)限TDi=6.251(自由度為3)。假設(shè)500～800s之間發(fā)生如下形式的軟故障:Z1(k)=Z1( k －1)+0.05(k－500)。直接將殘差χ2檢驗(yàn)法應(yīng)用于聯(lián)邦卡爾曼濾波器的傳統(tǒng)方法稱(chēng)為算法一，本文提出改進(jìn)算法標(biāo)為算法二，這兩種算法的故障檢測(cè)函數(shù)及漏檢曲線如圖1和圖2所示。

圖1 故障檢測(cè)函數(shù)曲線Fig.1 The curves of fault detection function

從圖1可以看出，在故障發(fā)生期間，改進(jìn)算法的故障檢測(cè)函數(shù)值比傳統(tǒng)算法普遍要高，這在一定程度上克服了傳統(tǒng)算法對(duì)軟故障不敏感的缺陷。

圖2 漏檢曲線Fig.2 The curves of leak out of test

從圖2可以看出，改進(jìn)算法大約從548 s開(kāi)始漏檢情況很少發(fā)生，而傳統(tǒng)算法漏檢頻發(fā)的狀況一直持續(xù)到656 s左右。這從漏檢風(fēng)險(xiǎn)的角度再次證明改進(jìn)算法比傳統(tǒng)算法對(duì)軟故障檢測(cè)的靈敏度更高。

以上兩種算法的具體檢測(cè)風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 檢測(cè)風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.1 Inter-comparison of the detection risk

6 結(jié)束語(yǔ)

從上述研究可以看出，殘差χ2檢驗(yàn)法在聯(lián)邦濾波器的系統(tǒng)級(jí)故障檢測(cè)應(yīng)用過(guò)程中，局部估計(jì)的次優(yōu)性和自適應(yīng)信息分配策略將對(duì)各子濾波器故障檢測(cè)靈敏度產(chǎn)生影響?；陔p“狀態(tài)傳播器”的改進(jìn)算法能夠有效改善局部估計(jì)次優(yōu)性和自適應(yīng)信息分配策略對(duì)故障檢測(cè)靈敏度的不一致性，并且仿真結(jié)果也驗(yàn)證了該方法的有效性和正確性。

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