殘差χ2檢驗法在聯邦濾波中的應用

程洪炳 倪世宏 黃國榮 劉華偉

(空軍工程大學工程學院，陜西 西安 710038)

0 引言

隨著導航系統種類的增加以及系統結構的日益復雜化，導航傳感器故障率已成為影響高性能動態系統完好性的一個重要因素［1－2］。建立在組合導航濾波器之上的系統級檢測也因此成為保證系統輸出數據完好性的關鍵［3］。

在聯邦濾波器中，既可以基于子濾波器對每個傳感器單獨進行故障檢測和隔離，也可以基于主濾波器進行整體性能檢測［4－6］。靈活的結構特性使得基于聯邦濾波器的故障檢測技術受到了許多學者的關注［7］。然而，聯邦濾波器結構的特殊性卻使目前較為成熟的殘差檢驗算法存在一定風險。針對這一問題，本文深入分析了殘差χ2檢驗應用聯邦濾波器時存在的問題，并提出了改進算法。

1 殘差故障統計檢驗原理

基于殘差的故障統計檢測在導航系統故障檢測算法中占有絕對優勢。無論是觀測量故障還是狀態量故障，總會通過一定的奇偶關系反映在殘差變化上。基于殘差的故障統計檢驗原理就是通過檢驗殘差的變化，檢驗并隔離故障。

帶故障的離散系統模型如式(1)所示:

式中:X(k)為系統狀態，且 X(k)∈Rn;Φ(k，k－1)為一步狀態轉移陣，且 Φ(k，k－1)∈Rn×n;Γ(k－1)為系統的噪聲陣，且 Γ(k－1)∈Rn×r;H(k)為量測矩陣;w(k)、v(k)為相互獨立的高斯白噪聲序列，且w(k)∈Rr和 v(k)∈Rm;γf為隨機故障向量;f( k，t)f為分段函數。

f(k，tf)的表達式如下:

式中:tf為傳感器故障時刻。無故障時，f( k，tf)=0，卡爾曼濾波能夠給出最小方差意義上的最優估計;反之，卡爾曼濾波變為次優，甚至失效。

基于殘差的導航系統故障檢測一般可描述如下。令r(k)為k時刻通過殘差生成器(最小二乘法或卡爾曼濾波器)得到的殘差序列，分布函數為F( k)，且有:

式中:μ描述了故障方向。故障檢驗算法就是要通過假設檢驗方法，檢驗殘差r(k)的均值由0到μ的變化。根據μ是否已知，檢測通常分為兩類:①若μ已知，稱為簡單故障檢測;②若μ未知，但已知μ∈Θ:{μTPr－1μ=b2}，稱為復合故障檢測。

導航系統故障檢測通常被認為屬于復合故障檢測。因為對于一個多維殘差序列，很難事先確定方向和幅度都已知的μ。但簡單故障檢測算法是復合故障檢測算法的基礎。

2 殘差χ2檢驗算法描述

由于卡爾曼濾波器不受觀測量維數的限制，又不要求量測矩陣H(k)必須列滿秩。因此，多數導航系統內部均采用卡爾曼濾波生成殘差［8］。預測殘差序列又稱新息序列，其表達式為:

根據卡爾曼濾波方程，新息的協方差陣為:

殘差χ2檢驗法實際上是一種基于預測殘差序列的 χ2檢驗法，其中預報值 X^(k，k－1)為:

對r(k)作如下二元假設。

H0:無故障 E{ r(k)}=0，E r(k) rT(){ k}=Pr(k)

H1:有故障E{ r(k)}=μ，E{［r(k)－μ］［r(k)－μ］T}=Pr(k)

故障檢測函數為:

式中:m為量測矩陣Z(k)的維數。

故障判定準則為:

3 殘差χ2檢驗問題分析

將殘差χ2檢驗法應用于聯邦濾波器傳感器故障單獨檢驗，局部估計預報值(k，k－1)一般通過以下兩種方法計算。

①使用局部估計進行預測，即:

②使用全局融合估計進行預測，即:

式中:下標i和g分別表示局部濾波和全局濾波。

4 雙“狀態傳播器”的改進

針對殘差χ2檢驗法對軟故障的不敏感性，提出了基于移動偽正常狀態的殘差χ2檢驗法和基于融合量測預報的故障檢測方法［9－10］。這兩種算法實際上都是基于“狀態傳播器”思想，能有效解決上述問題。為避免將一個已受污染的狀態傳播器作為參考系統，建議采用將雙“狀態傳播器”思想引入殘差χ2檢驗法，使用全局估計對其進行交替重置，具體算法如下。

考慮子濾波器殘差為:

①狀態傳播器的重置

在系統正常工作狀態下，兩個狀態傳播器交替重置。設交替重置時間間隔為Δt，k0為重置時刻。(k)和PS(k)的計算過程如下。式中:上標S、SA、SB分別表示最終狀態輸出、狀態傳播器A輸出、狀態傳播器B輸出;Δt應該保證軟故障能夠積累到被檢測的程度，假設設置合適，則能夠保證重置時刻全局估計沒有受到污染，那就可以很好地解決軟故障跟蹤問題。

如果系統在tf時刻被檢測出故障，則精度會嚴重下降，因此，需要同時重置，即:

式中:j=k－Δt+1。

② 時間間隔Δt的選擇。

Δt的選取原則是不能太小也不能太大。

5 仿真分析

考慮如下三維系統［11］:

設仿真時間為1000s，誤檢率為0.1，查 χ2分布函數表，可得門限TDi=6.251(自由度為3)。假設500～800s之間發生如下形式的軟故障:Z1(k)=Z1( k －1)+0.05(k－500)。直接將殘差χ2檢驗法應用于聯邦卡爾曼濾波器的傳統方法稱為算法一，本文提出改進算法標為算法二，這兩種算法的故障檢測函數及漏檢曲線如圖1和圖2所示。

圖1 故障檢測函數曲線Fig.1 The curves of fault detection function

從圖1可以看出，在故障發生期間，改進算法的故障檢測函數值比傳統算法普遍要高，這在一定程度上克服了傳統算法對軟故障不敏感的缺陷。

圖2 漏檢曲線Fig.2 The curves of leak out of test

從圖2可以看出，改進算法大約從548 s開始漏檢情況很少發生，而傳統算法漏檢頻發的狀況一直持續到656 s左右。這從漏檢風險的角度再次證明改進算法比傳統算法對軟故障檢測的靈敏度更高。

以上兩種算法的具體檢測風險數據如表1所示。

表1 檢測風險數據對比Tab.1 Inter-comparison of the detection risk

6 結束語

從上述研究可以看出，殘差χ2檢驗法在聯邦濾波器的系統級故障檢測應用過程中，局部估計的次優性和自適應信息分配策略將對各子濾波器故障檢測靈敏度產生影響。基于雙“狀態傳播器”的改進算法能夠有效改善局部估計次優性和自適應信息分配策略對故障檢測靈敏度的不一致性，并且仿真結果也驗證了該方法的有效性和正確性。

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