拍頻激勵下的沖擊鉆進機械系統動力學特性研究

茍向鋒 呂小紅

蘭州交通大學，蘭州，730070

0 引言

在機械工程應用領域中經常遇到沖擊振動系統，如 沖 擊 打 樁 機［1］、沖 擊 鉆 進 機［2－3］、夯 土 機［4］等。20世紀80年代以來，國內外學者開始用現代動力系統觀點研究振動系統的動力學特性，研究內容也集中于振動系統的分岔、混沌問題，如研究系統的穩定性與分岔［5－7］、奇異性［8－9］、概周期碰撞運動［10］、倍周期分岔［11］等問題。文獻［12－13］研究了以油作為介質建立的黏彈性模型的鉆進運動。在實際工程應用中，如沖擊鉆探機一般采用高頻率的外部沖擊力來驅動鉆頭鉆進，這種高頻率的外部激勵可以采用壓電式換能器實現。但這種高頻率的外部激勵會使得系統的動力學行為更加復雜，而且系統在振動的同時伴隨有鉆進運動。文獻［14］研究了一類沖擊鉆進機械振動系統的周期運動和分岔規律。該類系統的基本工作機理是滑塊克服干摩擦力向下運動，因此，有限時間內的最佳鉆進量對這類系統的有效工作非常重要。研究結果表明，在低激勵頻率范圍內，系統呈現穩定的周期1單碰撞運動，且在周期1單碰撞運動速度的峰值附近，系統具有最佳鉆進效果。文獻［15］指出，低頻激勵所產生的穩定周期1振動—鉆進運動可以用拍頻激勵的方式來實現。

近年來，沖擊振動系統從實踐角度得到了國內外學者的普遍關注，但同時考慮沖擊振動和鉆進運動的研究還較少。實際上，鉆進運動對系統的振動是有影響的，這就要求建立考慮兩種運動的綜合性模型。本文建立了一類沖擊鉆進機械振動系統的力學模型，并考慮將高頻低幅激勵轉化為低頻高幅響應。這種轉化要求沖擊振動系統能夠產生一種合理的內部作用力，以克服介質的阻力而產生鉆進運動。

1 力學模型與運動微分方程

圖1所示為沖擊鉆進系統的力學模型。2個不考慮質量的薄板組成運動基，其間距U可根據實際要求的激勵模式隨時間發生變化。運動基上板由剛度為K3的線性彈簧和阻尼系數為C3的線性阻尼器連接于質量塊M2，質量塊M2由剛度為K2的線性彈簧和阻尼系數為C2的線性阻尼器連接于質量塊M1（含機架），質量塊M1由剛度為K1的線性彈簧和阻尼系數為C1的線性阻尼器連接于滑塊上，滑塊的質量忽略不計。X1、X2、X3和X4分別表示滑塊、質量塊M1、質量塊M2和運動基下板的位移，V表示運動基下板的速度。當質量塊M2和質量塊M1的位移差X3－X2＝L時，質量塊M2沖擊質量塊M1，假設該碰撞為塑性碰撞。碰撞后，兩者或同步運動直至分離，或立即分離。質量塊M2第i次沖擊質量塊M1以后，彈簧K1被壓縮，對滑塊產生向下的回復力。當作用于滑塊的向下的回復力和阻尼力的合力大于干摩擦力F時，滑塊向下運動，即系統發生鉆進運動。滑塊于本次沖擊后瞬間鉆進的深度為Li（i＝1，2，…，n），整個系統于瞬間向下平移Li。當質量塊M1向下運動的過程結束，開始向上運動時，滑塊受到的彈簧回復力和阻尼力的合力小于干摩擦力F，滑塊靜止。此時滑塊與土壤間的干摩擦力F由滑動摩擦力變為靜摩擦力，滑塊在土壤中不再發生滑移，直到下一次沖擊來臨為止。此刻滑塊已鉆進的深度為L1＋L2＋…＋Li，并且不能回彈，即整個系統向下平移了L1＋L2＋…＋Li。系統的靜平衡位置相對滑塊而言并沒有改變。

圖1 沖擊鉆進系統的力學模型

系統最基本的功能是要能克服阻力（即干摩擦力）并向下移動。當質量塊M2對質量塊M1進行沖擊后，滑塊克服干摩擦力F向下移動。因此必須為運動基下板選擇合適的運動形式才能使整個系統有效地向下移動。在運動基下板上加一個外力對系統的鉆進運動并無益處，這相當于在質量塊M2上直接加了一個外力，意味著實際中的高頻激勵是沒有效果的。這樣，就應該仔細選擇運動基下板的運動形式。本文假定運動基下薄板的速度為一先驗的確定函數V，其具體形式下文討論。

分析質量塊M2和M1在任意相鄰兩次碰撞間的運動過程。以振動體在重力作用下的平衡位置為原點，并設兩質量塊的碰撞時刻為系統運動的初始時刻。如果質量塊M2沖擊M1后，兩者同步運動，則兩者的加速度在此階段是相同的，質量塊M1和M2所受的合力分別為

由F1＝F2／μm得

如果質量塊M2沖擊質量塊M1后兩者非同步運動，質量塊M2和M1的加速度是不相同的。

式（1）和式（2）中，“·”表示對量綱一時間t求導，其中量綱一量為

其中，Ω為頻率，T為時間。

在任意的連續兩次沖擊之間，系統可能存在4種不同性質的運動狀態：

（1）x3－x2＞l，滑塊靜止，質量塊M1和M2非同步運動，此時系統的量綱一運動微分方程可表示為

（2）x3－x2＞l，滑塊鉆進運動，質量塊M1和M2非同步運動，此時系統的量綱一運動微分方程可表示為

（3）x3－x2＝l，滑塊靜止，質量塊 M1和 M2同步運動，此時系統的量綱一運動微分方程可表示為

（4）x3－x2＝l，滑塊鉆進運動，質量塊M1和M2同步運動，此時系統的量綱一運動微分方程可表示為

質量塊M2和M1的沖擊方程為

其中，下標“－”“＋”分別表示碰撞前后。

根據文獻［15］，其高頻激勵u（t）可表示為

其中，a＝AK1／F，A 為幅值，ω 為高頻，而 Δω＝ΔΩ／Ω0為低頻，要求等于固有頻率，即Δω＝1是為了滿足共振條件。

圖2 施加于質量塊M2的力

2 運動基下板速度函數

圖3 質量塊M2的時間歷程圖

選取量綱一參數：l＝0.1，a＝1.0，ζ＝0.005，μm＝0.25，μk2＝0.1，μc2＝0.1，μk3＝0.2，μc3＝0.2，ω＝20。圖1所示系統的時間歷程如圖4所示。由圖4可見，在任意的連續兩次沖擊之間系統存在如下的運動過程：非同步運動→碰撞→同步運動→非同步運動→非同步運動伴隨有鉆進運動→非同步運動。隨著系統鉆進運動，位移值xi（i＝1，2，3，4）的絕對值也會隨之增大。此時，下板的位移x4等于滑塊的位移x1。

圖4 滑塊、質量塊M1和M2的時間歷程圖

現考慮驅動運動基下板所需的能量。當下板固定時，隨著滑塊鉆進量的增大和質量塊M2振動幅值A的增大，作用在運動基上的力的絕對值也增大。保持下板固定不動所需的外加量綱一載荷fext為

現在討論控制下板運動的另一種替代方法。一旦外力fext達到某臨界值fcrit，下板將被釋放。但是，為了防止運動基出現不符合需要的大跳動，外力用一個系數β來減小，而非完全釋放（fext＝0），即

這可以通過下面的算法實現。假定下板的速度等于0，則外加載荷fext為

如果滿足如下條件：

則下板的速度可由式（9）和式（10）決定：

選取量綱一參數：l＝0.1，a＝1.0，ζ＝0.005，μm＝0.25，μk2＝0.1，μc2＝0.1，μk3＝0.2，μc3＝0.2，ω＝20，fcrit＝0.54和β＝0.8?；瑝K、質量塊M1、質量塊M2和運動基下板的時間歷程如圖5所示。由圖5可見，在任意的連續兩次沖擊之間系統存在如下的運動過程：非同步運動→碰撞→同步運動→非同步運動→非同步運動伴隨有鉆進運動→非同步運動。當作用于滑塊的向下的回復力和阻尼力的合力大于干摩擦力F時，滑塊向下運動，即系統發生鉆進運動。下板的運動和滑塊的運動并不一致，當下板靜止時，滑塊在質量塊M1和M2碰撞作用下會發生多次鉆進運動。圖6為系數β分別等于0.8、0.75和0.7時下板的時間歷程圖，由圖6可見，系數β越小，跳動次數越少，而跳動位移越大，但系數β對鉆進效果的影響極小。

圖5 時間歷程圖

圖6 運動基下板的時間歷程圖

3 結語

本文建立了一類沖擊鉆進機械系統的力學模型。為了使得系統能夠發生鉆進運動，且能夠將高頻低幅激勵轉化為低頻高幅響應輸出，選用了一種特殊的拍頻運動激勵。該拍頻運動激勵有兩個主要特征：①低頻調制激勵與振動系統的固有頻率（所期望的低頻）吻合；②激勵是非對稱的，即只用調制波正值部分激勵質量塊M2。結果表明，該激勵能夠產生有效的沖擊力即錘擊效應。圖1所示系統要求提供克服干摩擦力和形成穩定鉆進運動的條件。在無控制的條件下有兩種途徑能夠使得系統向下移動。但是，這些條件下得到的鉆進量都比較小，有待于研究一種控制策略給系統提供額外的能量，以獲得較好的鉆進效果。

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