Cause型捕食模型的穩定性與分支分析

郭 爽, 劉 洋, 沙元霞, 于 健

(大慶師范學院 數學科學學院, 黑龍江 大慶 163712)

0 引 言

對多種群生物模型性質的研究目前已有許多結果[1-10]. 種群間的關系隨種群數量的增加而變得更加復雜, 例如3個種群的關系可能是1個食餌2個捕食者、 2個食餌1個捕食者、 彼此競爭或食物鏈關系. 基于此, Freedman等[1]提出了如下一類Gause型食物鏈模型：

(1)

其中:x(t),y(t)和z(t)分別為t時刻食餌、 捕食者和頂層捕食者的數量;g(x)為食餌的內部增長函數;p(x)和q(y)分別為捕食者和頂層捕食者的功能反應增長函數;h,s>0分別是捕食者和頂層捕食者的死亡率;e,m>0分別是食餌和捕食者的轉換率. Ginoux等[2]強調了模型(1)由幾個Hopf分支和一個雙周期分支串聯而產生一個蝸牛型的混沌吸引子； Hastings等[3]討論了當一個合理的參數被選定后, 隨著參數的變化, 系統(1)會經歷穩定的平衡點、 極限環和“茶杯”型吸引子. 但文獻[2-3]都沒有討論相應的時滯模型. 由于食餌總是有一個生長期或懷孕期, 所以將時滯引入模型更具有實際意義.

1 共存平衡點的穩定性與Hopf分支分析

(2)

這里α,β,k,p,h,e,r,s,m都是正參數.

為方便, 把式(2)非量綱化, 可得：

(3)

這里:

其中:

特征值λ滿足如下特征方程：

D(λ,τ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0+b0λe-λτ=0,

(4)

其中:a2=-m11;a1=-m32m23>0;a0=m32m23m11;b0=-m12n21>0.

如果m11<0, 則當τ=0時, 根據Routh-Hurwitz準則, 式(4)的所有特征值都具有負實部, 于是有:

當τ≠0時, 把λ=iω代入式(4), 有：

1) 當ω=0時,D(0,τ)=a0=m23m32m11≠0;

2) 當ω≠0時,D(iω,τ)=(iω)3+a2(iω)2+a1iω+a0+b0iωe-iωτ=0.

分離實虛部, 有

-a2ω2+a0+b0ωsinωτ=0,

(5)

-ω3+a1ω+b0ωcosωτ=0

(6)

成立. 將式(5)和式(6)平方相加, 有

(7)

l3+Al2+Bl+C=0.

(8)

根據文獻[8], 有：

引理2令

1) 如果C<0, 則式(8)至少有一個正根;

2) 如果C≥0,A2-3B<0, 則式(8)沒有正根;

3) 如果C≥0, 則式(8)有正根 ?l1>0和h′(l1)≤0成立.

(9)

1、家庭方面的措施。家長作為孩子的導向標，需要充分認識自身在小學生成長過程中發揮的重要作用，并對學生加強關心、溝通和交流等，才能降低孩子對父母的懼怕感。同時，在設定期望值時，應全面結合小學生的實際情況，合理的分析孩子的成績，才能為小學生營造一個溫馨、健康、積極的家庭環境。同時，家長要與教師、學校保持良好互動，經常詢問小學生的學習情況、在校情況等，才能更好的掌握孩子的學習動態，對于增強小學生的學習動力有著極大作用。另外，家長要及時的鼓勵孩子，通過不同的方法與孩子進行交流，并在條件允許的情況陪伴孩子學習、識字和玩游戲等，可以更好的促進小學生提高學習成績，對于提高孩子的語文綜合能力有著重要影響。

定義

(10)

即±iω0是當τ=τ0時式(4)的純虛特征根. 于是, 有：

2)C≥0,A2-3B<0或C≥0,B>0.

記λ(τ)=α(τ)+β(τ)是方程(4)滿足α(τ0)=0,ω(τ0)=ω0的根, 則有：

1)C<0;

證明： 由引理2知, 式(4)必存在純虛特征根, 由文獻[11]知定理的前半部分成立. 因此只需證明當τ=τ0時, Hopf分支存在的橫截條件成立. 將式(4)關于時滯τ求導, 有

記

Δ=[(a1-3ω2)cosωτ-2a2ωsinωτ+b0]2+[(a1-3ω2)sinωτ+2a2ωcosωτ-b0ωτ]2,

由式(5)和式(6), 有

2 數值模擬

選擇下列一組參數進行數值模擬：

a=0.136,b=0.37,c=0.63,r=0.32,s=0.123,d=0.896,l=0.15.

所給參數滿足定理2的條件. 圖1～圖3分別給出了共存平衡點的波動變化曲線、 平衡點附近的周期波動曲線和大范圍周期波動曲線.

圖1 當τ=4.365 8<τ0=10.621 8時平衡點的波動曲線Fig.1 Fluctuation diagram of (0.943 3,0.500 0,0.287 1) when τ=4.365 8<τ0=10.621 8

圖2 當τ=22.621 8>τ0=10.621 8時平衡點附近的周期波動曲線Fig.2 Fluctuation cycle diagram near the equilibrium when τ=22.621 8>τ0=10.621 8

圖3 當τ=192.621 8, 442.607 8時平衡點附近的周期波動曲線Fig.3 Fluctuation cycle diagram near the equilibrium when τ=192.621 8, 442.607 8

由圖1可見, 本文找到了一個Hopf分支值τ0=10.621 8, 使得當τ<τ0時, 圖1的共存平衡點經過短暫的波動, 最終趨于一個穩定的水平. 由圖2可見, 當τ>τ0時, 系統出現一個穩定的周期解. 由圖3可見, 系統(2)的Hopf分支是全局存在的. 由于大多數種群的數量總在波動中, 故通過研究種群數量的變化規律, 可以為害蟲的預測及防治提供科學依據.

[1] Freedman H I, Waltman P. Mathematical Analysis of Some Three-Species Food-Chain Models [J]. Mathematical Biosciences, 1977, 33(3/4): 257-276.

[2] Ginoux J M, Rossetto B, Jamet J L. Chaos in a Three-Dimensional Volterra-Gause Model of Predator-Prey Type [J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2005, 15(5): 1689-1708.

[3] Hastings A, Powell T. Chaos in Three-Species Food Chain [J]. Ecology, 1991, 72(3): 896-903.

[4] LIU Gui-rong, YAN Wei-ping, YAN Ju-rang. Positive Periodic Solutions for a Class of Neutral Delay Gause-Type Predator-Prey System [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 2009, 71(10): 4438-4447.

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[11] RUAN Shi-gui, WEI Jun-jie. On the Zeros of a Third Degree Exponential Polynomial with Applications to a Delayed Model for the Control of Testosterone Secretion [J]. IMA Journal of Mathematical Applied in Medicine and Biology, 2001, 18(1): 41-52.