平面簡諧波勢能的簡易分析方法

汪新文 唐世清 許成科 陸世專 王文煒

(衡陽師范學院 物理與電子信息科學系，湖南 衡陽 421008)

平面簡諧波勢能的簡易分析方法

汪新文 唐世清 許成科 陸世專 王文煒

(衡陽師范學院 物理與電子信息科學系，湖南 衡陽 421008)

平面簡諧波是理工科專業《大學物理》課程中的重要內容。勢能的分析和推導是平面簡諧波教學中的難點。本文利用彈性波的傳播機理和特征，提出一種簡易的分析和推導平面簡諧波勢能密度函數的方法。此方法可以避開學生陌生和難以理解的一些物理量和概念，因此其可使教學過程大為簡化，并便于學生掌握和深刻理解相關內容。

平面簡諧波；勢能函數；分析方法

1 引言

近些年來，由于各種原因，大學課程門類不斷增加，大學生學習負擔也不斷加重。因此，各門傳統課程（包括專業課和公共課）的課時數大幅減少。作為理工科學生必修的一門公共課，《大學物理》的課時也不例外地被大幅削減。而另一方面，地方二本院校的學生的物理和數學基礎呈下滑趨勢。在這種背景下，《大學物理》課程在教學內容和教學方式方法等方面都必須進行改革。教師在教學過程中應更加注重對學生物理思維的培養、把復雜問題盡量簡單化，在備課時應積極探索相關定理、定律及其數學表示的盡可能簡易的分析和推導方法，才可能達到既節約課時又提高教學質量和效果的目的。

平面簡諧波是《大學物理》課程中的重要內容。為了揭示機械波是振動狀態和能量傳播的本質，需要分析和討論介質中各質元和一定體積內的機械能及其隨時間的變化情況。動能關于時間的函數可以直接從波動方程導出，所以比較簡單。勢能是由介質內各體積元的形變而產生的，其大小與形變的程度有關，分析起來要復雜些。幾乎所有的教材和文獻[1-5]都是利用胡克定律來推導勢能密度函數。這種方法涉及到應力、彈性模量、切變模量等概念以及它們之間的關系，然而這些內容超出了教學大綱，教材中也都沒有相關詳細介紹。鑒于此，多數教材中都把勢能函數的推導過程放在附錄中或列為選講內容。由于課時的限制，教師在教學過程中通常直接給出勢能公式，這樣嚴重影響學生對機械波的能量傳播的深刻理解。

本文充分利用彈性波的傳播機理和特征，以及諧振子與平面簡諧波之間的關系，提出一種簡易的分析和推導平面簡諧波勢能密度函數的方法。由于此方法沒有涉及到應力、彈性模量、切變模量等學生陌生和難以理解的“新”概念和物理量，其不僅可使課堂教學過程變得流暢，更便于學生掌握和深刻理解傳播機械波的媒質中各部分體積元的能量的變化規律。

2 平面簡諧波的勢能分析

機械波是機械振動在連續介質中的傳播，即是振動狀態和能量的傳播，當機械波在介質中傳播時，體積元（作機械振動）的機械能是不守恒的。然而，由波動的周期性可知：體積元的機械能在一個周期內的平均值應該是不變的。如果取各向同性介質中的單位體積為質元，并把其視為質點，則其在一個周期內的平均機械能在形式上應該與相應的諧振子系統的平均機械能相類似。

下面，我們把上述思想運用到平面彈性簡諧波的能量分析中，并非常簡單地導出平面簡諧波的勢能密度（單位體積內的勢能）。設平面簡諧波的波動方程為

式中 A為振源及各質元的振幅，ω為波的圓頻率，k 為波矢，x是與一條波線（傳播方向）重合的坐標軸，0φ是坐標原點處質元的振動初相位。此平面簡諧波的動能密度（單位體積內的動能）為

式中ρ為介質的密度。由 (2) 式可得一個周期T內的平均動能密度

由 (3) 和 (4) 式可得此平面簡諧波在一個周期內的平均勢能密度

很顯然，平面簡諧波在一個周期內的平均勢能密度與平均動能密度相等。

現在分析任意時刻的勢能密度εp。由 (5) 式可得εp必須滿足如下條件：

由彈性波的傳播機理可知：體積元的勢能和動能應同時變大、同時變小；在平衡位置時同時達到最大值，在位移絕對值最大位置時同時達到最小值。這里以在繩上傳播的橫波為例來證實上述的結論。如圖1所示，橫波在繩上傳播時，

圖1：橫波在繩上傳播的示意圖

平衡位置Q處體積元的速度最大因而動能最大，此時Q處體積元的相對形變也最大，因此彈性勢能也為最大；在振動位移最大的 P處體積元，其振動速度為零，動能等于零，而此處體積元的相對形變量為最小值其彈性勢能亦為零；更一般地，體積元的動能變大或變小時，勢能也相應地變大或變小，反之亦然。根據上述分析可得：平面簡諧波的勢能密度與動能密度同相。因此，

而由 (6) 的條件可得n=2，且有

此結果正是正確的勢能密度函數，其與動能密度函數完全相同。根據勢能密度函數就可以分析平面簡諧波在單位體積內的勢能隨時間的變化情況。

3 總 結

本文根據諧振子與平面簡諧波之間的關系，并把媒質中單位體積元視為質點，利用類比的方法得到了平面簡諧波在一個周期內的平均能量密度，進而得到了平均勢能密度。然后利用彈性波的傳播機理和特征，即媒質中體積元的動能與勢能同相，導出了平面簡諧波的勢能密度函數。此思路和方法沒有借助胡克定律，從而沒有涉及到應力、彈性模量、切變模量等學生陌生和難以理解的物理量。因此，本文中的方法不僅可以節約課堂時間，又可使課堂教學過程變得流暢，更便于學生掌握和深刻理解相關內容。

[1]匡樂滿,等.大學物理:第二冊[M].北京:北京郵電大學出版社,2007.

[2]陳曙光,等.大學物理學:上冊[M].長沙: 湖南大學出版社,2006.

[3]趙近芳,等.大學物理學:上冊[M].北京: 北京郵電大學出版社,2011.

[4]葉帆.關于連續介質中橫波的能量探討[J].大學物理,2008,27(9):19-21.

[5]郭芳英,閆夷平,李愛玲.用橫波推導簡諧波的能量[J].物理與工程,2003, 12(2): 16-17.

Simple method for analyzing the potential energy of a simple harmonic plane-wave

WANG Xin-wen, TANG Shi-qing, XU Cheng-ke, Lu Shi-zhuan, Wang Wen-wei
(Department of Physics and Electronic Information Science, Hengyang Normal University, Hengyang 421008, China)

Simple harmonic plane-wave is an important content of《College Physics》course which is a required course for the students of science and engineering specialties. It may be not easy for students to deeply understand the potential energy during the study of the simple harmonic plane-wave. This paper proposes a very simple method of analyzing and deriving the potential energy,by using the transmission mechanism and characteristics of the elastic wave. This method does not involve the physical quantities that are unfamiliar to students, and thus can simplify the teaching process and benefit the students in understanding the related contents.

simple harmonic plane-wave; potential energy; analyzing method

O4-3

A

1673-2219（2012）08-0022-02

2012－05－20

衡陽師范學院教改項目(編號：jy201101)、教育部第一類特色專業(物理學)、湖南省“光電課程組”教學團隊、湖南省“十二五”重點建設學科資助。

汪新文 (1980－)，男，湖南衡陽人，衡陽師范學院物理與電子信息科學系副教授，博士，主要從事量子光學與量子信息科學以及《大學物理》等課程的教學改革研究。

（責任編校：何俊華）