河道非恒定流水面線計算研究

□褚青來（河南省河口村水庫工程建設管理局）

1.問題的提出

在工程實踐中，常常要對河道、水庫或渠道等的水流進行計算，以掌握其水面線和流量數據，從而為工程設計、洪水預報、水庫調度、潰壩洪水演進計算等提供科學依據。對一些簡單的工程，可以利用恒定均勻流計算，稍復雜的工程可以利用恒定非均勻計算，但對大型的重要工程僅靠這些計算往往不能反映實際情況，無法滿足工程需要。為解決這一問題，往往要利用理論嚴謹、計算精度較高的非恒定流原理。

2.河道非恒定流水面線計算的基本方程

河道非恒定流水面線計算的基本方程是由水流的連續(xù)方程和運動方程組成的方程組，在假定無旁側入流的情況下，用水位變量z和流量變量Q表示的圣維南方程組如下：

該方程組是非恒定流計算的基本方程組。由于方程組屬于一階擬線性雙曲型偏微分方程，在一般情況下，無法求出其普遍的解析解，只能針對具體的明槽非恒定流問題，使用近似的計算方法求解。

3.基本方程組的解法

根據圣維南方程組的特征，結合非恒定流理論的實際應用，目前基本方程組的解法大致可分為3種：

一是特征線法。這一方法是根據偏微分方程理論，先將基本方程組變換為特征線的常微分方程組，然后對常微分方程進行離散化，再結合水流的初始條件和邊界條件求解。該方法物理概念明確，數學分析嚴謹，計算結果精度較高，在實際計算中，其計算公式簡單，容易編程。

二是直接差分法。此法是將基本方程組直接離散化，進而聯(lián)解得到一組代數方程，依據離散化時采用的數值格式不同，又可將直接差分法分為顯式差分法和隱式差分法。顯式差分法計算簡單，但限制條件較多；隱式差分法計算過程較為復雜，且僅適應緩慢水流，不適應急變流。

三是瞬時流態(tài)法，簡稱瞬態(tài)法。此法將運動方程中的所有慣性項忽略，從而使方程組簡化為一階非線性拋物型方程組，然后對簡化方程離散化，再結合初始條件和邊界條件進行近似計算。瞬態(tài)法應用較早，也是成熟有效的計算方法，但由于對基本方程組過于簡化，計算精度往往不能滿足實際需要。

經過上述分析，作者推薦采用特征線法求解。

4.特征線法基本方程組

特征線法的基本思想，是根據基本方程組的特點，引進一條特征線，經過推導求出特征線方程，即：

式（1）為正（順水流方向）負（逆水流方向）兩條特征方程，并經過處理得：

式（2）也為兩個方程，式（1）、（2）是特征線法的四個基本常微分方程。求解這四個基本方程有很多方法，作者經過分析研究，認為庫郎格式求解相對簡單，計算時不需要迭代，又有一定的計算精度。

庫郎格式的求解方法，首先建立矩形網格（圖1），并引入積分中值定理，即：

圖1 矩形網格圖

并考慮網格特點，對L點和R點進行線性內插得到L、R點的計算公式，即：

根據求得的 ZL、QL、ZR和 QR，進而可求得 ZP和 QP，即：

或

以上式中：

Z、Q分別代表水位和流量；

t為時間，△t為計算時段長；

s為順水流方向的距離；

△s為斷面間距或流段長；

D、M、E為已知網格節(jié)點;

P為求解網格節(jié)點；

L、R分別代表上、下游網格之間過渡計算點；

A為過水斷面面積，B為水面寬度；

g為重力加速度，一般取9.8m/s2。

式中：B、A、Q、R、n、i分別代表 M節(jié)點水面寬度、面積、流量、水力半徑和糙率、底坡。

(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式是特征線法的庫郎格式的基本方程組。該解法是利用已知的D、M、E網格節(jié)點水力要素直接計算出網格內點P點的水力要素。對于P點位于上下游邊界時，則要分別情況，利用上述公式計算（詳細情況在下面敘述）。

5.特征線解法的方法步驟

5.1 收集各過水斷面資料

斷面資料包括糙率、底坡坡降和斷面幾何資料。

對于糙率n，可參照有關水利設計手冊選取，為保證計算精度，各斷面應分別取n值，如果各斷面相近也可采用統(tǒng)一的n值。

對于坡降，各斷面應分別計算，且要把握總體坡降趨勢。

對于斷面幾何資料，如果斷面規(guī)則，比如為矩形或梯形，可直接建立高程z和面積、濕周x、水力半徑R、水面寬度B之間的關系，如果不規(guī)則，如天然河道，則要根據實測資料或地形圖，建立數據關系，具體求解時進行內插計算，也可將各斷面的數據關系處理成關系曲線，采用近似的計算公式，以便編程。

5.2 確定計算時段、斷面間距

對于計算時段和流段，要依據庫郎約束條件確定，即要滿足關系，△s不可過大，否則影響計算精度，一般應取500m左右，特殊情況可適當放寬，但不宜超過3000m。

5.3 確定計算的初始條件

初始條件為計算起始各斷面的水位和流量。非恒定流理論的前提是起始時刻各斷面有一定的水深，不能是干的河道或渠道。確定起始條件時，視具體情況，可用恒定均勻流或恒定非均勻流計算各斷面的水位和流量，也可根據實測資料確定水位和流量。

5.4 確定上游（入流斷面）、下游（出流斷面）邊界條件

對上游邊界條件，如果已知水位（比如從水庫中引水）ZP，可直接利用式（5）、（6）和（8）計算流量 QP；如果已知流量過程線（已知 QP），將式（8）變化為：

再結合式（5）、（6）計算 ZP。

對下游邊界條件，如果已知水位（如下游連接大型水庫、湖泊，水位穩(wěn)定）ZP，可利用式(9)計算流量QP；如果已知流量（如電站引水）QP，將式(9)變換為：

再結合式（3）、（4）計算ZP。如果下游邊界為水位～流量關系即Q=f（z），如水閘，則要先利用式（3）、（4），計算出ZL、QL，然后利用式(9)和QP=f（zP）關系組成兩元方程組，因一般情況無法直接解出zP、QP，要通過試算求解。

5.5 編程計算

進行非恒定流計算時，由于工作量大，要用計算機編程求解。作者結合具體的工程實例，依據非恒定流特征線法的庫郎格式原理，用VB成功編制了計算程序，如有需要可同作者聯(lián)系。