基于α穩定分布的地震反演方法

岳碧波，彭真明，張啟衡

1電子科技大學光電信息學院，成都 610054 2中國科學院光電技術研究所，成都 610209

基于α穩定分布的地震反演方法

岳碧波1，彭真明1，張啟衡2

1電子科技大學光電信息學院，成都 610054 2中國科學院光電技術研究所，成都 610209

本文介紹了α穩定分布的統計特征，并對比分析了實際地震信號與α穩定分布的動態樣本方差特征，提出地震信號服從非高斯α穩定分布的假設．在此基礎上，利用地震記錄估計誤差的p階統計量作為代價函數，提出了基于非高斯α穩定分布的最小p范數地震反演方法．將該方法應用到單道反射系數理論模型及實際疊前彈性阻抗反演實例中，均取得了良好的反演效果．實際反演結果驗證了本文提出的地震信號服從非高斯α穩定分布假設的合理性，以及最小p范數地震反演方法的可行性和有效性．

α穩定分布，非高斯，反演，p范數

1 引 言

地震反演是地球物理勘探中的核心內容之一，其目的是根據地表觀測信號推測地球內部與信號有關的物理狀態．經過近三十年的發展，地震反演方法的研究已經得到了很大的進步，尤其是近些年出現了許多優秀的非線性反演方法，例如，模擬退火反演方法、神經網絡反演方法以及粒子群反演方法［1］等．這些方法都是假定地震信號是服從高斯分布的，但是事實上地震信號并非服從高斯分布，例如Walden［2］研究反射系數的幅度分布特點，提出反射系數序列是非高斯分布的．對于非高斯反演方法，彭真明等［3］提出了粒子濾波的AVO反演方法，同時指出該反演方法可以用于非高斯地震反演中；Liu等［4］研究了非高斯性最大化的預測反演方法．但是這些方法都沒有指出地震數據的具體統計分布．陳建江［5］將Cauchy分布作為反射系數的先驗分布，研究了AVO三參數反演方法．反射系數是否服從Cauchy一般很難確定，Godfrey［6］認為廣義高斯分布在某種情形下比Cauchy更符合反射系數的分布特征．因此，對于地震信號究竟服從何種統計分布，仍然是值得當前學術界探討的話題．

α穩定分布是一種滿足廣義中心極限定理的穩定分布，與高斯分布相比，該分布有較厚拖尾，符合地震信號的實際分布特征．另外，該分布在參數取特定值時會退化為高斯（Gaussian）分布、柯西（Gauchy）分布以及列維（Lévy）分布等特殊分布形式．因此，α穩定分布是一種比高斯分布適用性更廣的隨機概率分布．目前基于α穩定分布的信號處理方法已經在通信信號去噪［7］、圖像處理［8］、目標檢測［9］等領域得到了廣泛的關注和深入的研究．

本文將非高斯α穩定分布作為地震數據的統計分布，并提出一種基于非高斯α穩定分布的最小p范數地震反演方法．本文第2部分論述α穩定分布的基本統計特性，并探討了利用數據的動態樣本方差判定數據是否是服從高斯分布的方法，以及基于非高斯α穩定分布信號的分數低階矩處理方法；第3部分分析實際地震數據的動態樣本方差特征，相比于高斯分布，這些地震數據的動態樣本方差曲線更接近于非高斯α穩定分布數據的動態樣本方差曲線；第4部分以疊前彈性阻抗反演為例，提出了基于非高斯α穩定分布的阻抗反演方法；第5部分將最小p范數地震反演方法應用到實際疊前彈性阻抗反演中．反演結果表明本文提出的地震信號服從非高斯α穩定分布的假設是合理的，同時也表明了最小p范數地震反演方法的有效性和可行性．

2 α穩定分布理論

α穩定分布是一種比高斯分布適用性更廣的統計分布，高斯分布只是α穩定分布的一個特例．該分布是從廣義中心極限定理發展而來的一類極限分布，這類分布沒有封閉的概率密度函數表達式，其統計特性通常由特征函數來描述．對于一個服從α穩定分布的隨機變量X，其特征函數的表達式為

式中

其中α、β、γ和μ是α穩定分布的四個分布參數．α（0＜α≤2）為α穩定分布的特征指數，該參數的大小決定了α穩定分布的拖尾厚度，其取值越小，分布的拖尾越厚；β（－1≤β≤1）為對稱參數，決定分布的傾斜度，當β＝0時，α穩定分布的概率密度函數是關于u對稱的；γ（γ＞0）表示分布的分散程度；μ（－∞＜μ＜∞）對應于分布的位置參數．

2．1 α穩定分布的三個特例

α穩定分布的統計特性由參數（α，β，γ，μ）決定，當參數取特定值，α穩定分布可退化為以下的三種特例形式：

（1）當α＝2，β＝0和γ＝σ2／2時，α穩定分布退化為高斯分布，此時的隨機變量X～N（μ，σ2）；

（2）當α＝1，β＝0和γ＝σ時，α穩定分布退化為柯西分布；

（3）當α＝1／2和β＝1時，α穩定分布退化為列維分布，概率密度函數在區間x∈（μ，＋∞）上收斂．

2．2 非高斯α穩定分布的判定

服從非高斯α分布隨機數據與服從高斯分布隨機數據最大的不同之處在于，前者具有更強的脈沖特性，即概率密度函數具有厚拖尾現象．由于脈沖特性的存在，服從非高斯α穩定分布的數據的二階矩不收斂，也沒有有限的二階以上的高階矩，而高斯分布有穩定的二階矩以及有限的高階矩．因此，判定獲得的觀測數據是否服從非高斯α穩定分布，一個簡單有效的辦法就是考察觀測數據的樣本方差是否收斂．如果一組數據的樣本方差不收斂，則該組數據一定不是高斯分布數據．

設觀測數據X1，X2，…，XN為同分布隨機序列，對每一個1≤n≤N，前n個觀測數據的動態樣本方差為［10］

其中

為了驗證高斯分布數據與非高斯α穩定分布數據的動態樣本方差的不同，以及參數α對非高斯α穩定分布脈沖特征的影響，本文產生了三組隨機數據，其中第一組為高斯分布隨機數據，第二組為參數為（1．6，0，1，0）的α穩定分布隨機數據，第三組為參數為（1．4，0，1，0）的α穩定分布隨機數據，分別如圖1a、圖2a和圖3a所示，三組隨機數據長度均為2×104．圖1b、圖2b和圖3b分別為圖1a、圖2a和圖3a中對應隨機數據的動態樣本方差．

圖1 高斯分布隨機數據（a）及其動態樣本方差（b）Fig．1 （a）Gaussian random data and（b）its dynamic sample variance

圖2 參數為（1．6，0，1，0）的α穩定分布隨機數據（a）及其動態樣本方差（b）Fig．2 （a）α－stable distribution random data for（1．6，0，1，0）and（b）its dynamic sample variance

圖3 參數為（1．4，0，1，0）的α穩定分布隨機數據（a）及其動態樣本方差（b）Fig．3 （a）α－stable distribution random data for（1．4，0，1，0）and（b）its dynamic sample variance

對比圖1a、圖2a和圖3a可見，隨著α穩定分布的參數α取值的減小，隨機數據的脈沖特性加強．其中圖1a中的服從高斯分布（α＝2時的α穩定分布）的隨機數據起伏很穩定，脈沖性很弱，數據的動態樣本方差隨著樣本點數的增加很快地收斂于一個穩定值，如圖1b所示；圖2a中特征參數減小為α＝1．6，產生的隨機數據的脈沖特性相對于圖1a中的高斯隨機數據明顯增強，該組隨機數據對應的動態樣本方差曲線如圖2b所示，由圖可見，隨著樣本點數的增加隨機數據的動態樣本方差呈臺階狀遞增，而不趨于一個穩定值；在圖3a中，取特征參數α＝1．4，脈沖特性變得更明顯，脈沖點的能量更強，其動態樣本方差如圖3b所示，數據對應的動態樣本方差急劇跳躍到很大值．

2．3 非高斯α穩定分布信號處理

在對信號進行處理的時候，通常認為數據是服從高斯分布的．對于服從高斯分布的數據，采用基于二階矩的算法就可以對數據進行處理．但是對于服從非高斯α穩定分布的數據，由于其沒有有限的二階矩以及二階以上的高階矩，因此，對非高斯的α穩定分布數據，只能在低于二階的分數低階矩下處理，通常稱為p（0＜p＜α≤2）階矩．一維α穩定分布隨機變量X的p階矩為

其中，

對于非高斯α穩定分布隨機變量X，假設它的分散系數為γ，當1≤α≤2時，它張成的空間為Banach空間．將隨機變量X的范數定義為

3 地震數據的非高斯分布分析

對于服從不同分布的信號，在處理時采用的手段是有很大差別的，因此對數據分布的正確判斷很重要．在本文前面已經介紹了非高斯α穩定分布與高斯分布數據的脈沖特性，服從非高斯α穩定分布的數據的動態樣本方差是不收斂的．根據數據的動態樣本方差的特征，我們可以大致判斷要處理的數據是服從高斯分布還是服從非高斯α穩定分布的．

本文選取川東北地區某區塊X6測井處的地震數據作為例子分析實際地震數據的統計分布情況．圖4所示為該區塊入射角度為3°時X6井旁道地震記錄以及對應的動態樣本方差，該角度地震記錄的有效數據段為500ms到3640ms，采樣時間為2 ms．圖5為該區塊X6井處的測井數據（包括縱波速度、橫波速度、密度）以及相對應的阻抗、反射系數，數據對應的深度范圍為3971．75～5548．25m，采樣間隔為0．25m．再對這組測井數據分別計算動態樣本方差，如圖6所示．其中圖6a中實線為縱波阻抗對應的動態樣本方差，點劃線為橫波阻抗對應的動態樣本方差；圖6b為密度的動態樣本方差；圖6c為測井阻抗對應的動態樣本方差；圖6d為測井反射系數對應的動態樣本方差．

由圖4中所示井旁道地震記錄對應的動態樣本方差曲線可見，地震數據的動態樣本方差隨著數據樣本點數的增加并沒有趨于穩定，而是呈階梯狀上升．并且，由圖6中的各組曲線可以看出，縱、橫波速度對應的動態樣本方差也是呈階梯狀上升的，雖然密度對應的動態樣本方差曲線最后處于相對穩定的狀態，但是由密度以及縱、橫波速度獲得的阻抗和反射系數所對應的動態樣本方差都呈現階梯狀上升，并不趨于一個穩定值．將圖4和圖6分別與圖1b、圖2b和圖3b相比，可見實際的地震數據的動態樣本方差曲線的變化趨勢更加接近于非高斯α穩定分布數據的動態樣本方差，而與高斯分布數據的動態樣本方差差異很大．因此，將實際的地震數據的分布假設為非高斯α穩定分布比假設其為高斯分布更為合理．

圖4 入射角度為3°時的井旁道地震記錄（a）及其動態樣本方差（b）Fig．4 （a）Seismic trace and（b）its dynamic sample variance with incidence angle of 3°

4 疊前地震反演過程

4．1 彈性阻抗反演原理

疊前反演是以Zoeppritz方程為基礎的，在Zoeppritz方程的基礎上，人們又提出了很多的近似方程，其中Shuey［11］近似方程使用最為廣泛．

基本彈性阻抗的表達式為

式中，α為縱波速度，β為橫波速度，ρ為密度，θ為縱波入射角，參數K＝［（βi／αi）2－（βi＋1／αi＋1）2］／2代表縱橫波速度比的平均值．

當入射角θ很小時，有sin2θ≈tan2θ，于是基本彈性阻抗表達式（11）可以表示為

在式（12）中，令a＝1＋sin2θ，b＝－8 Ksin2θ，c＝1－4 Ksin2θ，則式（12）可以更簡單地表示為

應該區分病理性黃疸和母乳性黃疸。病理性的主要是新生兒溶血（黃疸在出生24小時內出現尤其要注意）、肝炎和腸梗阻等。母乳性黃疸不要緊，可以吃點益生菌（金雙歧或培菲康）。中藥用茵梔黃口服液或顆粒劑，藥店沒有出售，可以請醫生開。

4．2 非高斯α穩定分布下的EI反演

對于服從非高斯α穩定分布的數據，只能在分數低階矩下處理［12－16］，國內有的學者將其稱為p范數方法［17］．由式（10）可知，在對服從α穩定分布的信號進行估計時，如果估計信號~S與真實信號S之間的距離dα（~S－S）達到最小，即認為此時的估計信號~S最優．因此，對于滿足非高斯α穩定分布的地震記錄，只要地震記錄的估計與實際的地震記錄的距離dα－S）達到最小，即估計誤差的p階統計量最小時，地震記錄對應的彈性阻抗就是最優的．

令入射角度為θ時某道的地震記錄為S（θ），反射系數為R（θ），對應的子波為W（θ），則

其中，符號＊代表褶積運算，~S（θ）為實際的地震記錄S（θ）的估計值．

式（14）用矩陣的形式表示為

圖6 X6井處測井數據對應的動態樣本方差Fig．6 Dynamic sample variance of log data of well X6

矩陣中的W（i）為子波W（θ）的第i個采樣值，其中1≤i≤m，m為子波總的采樣點數．

令地震記錄采樣后的向量為S＝［s（1），s（2），…，s（M）］T，真實地震記錄與其估計之間的誤差向量為

以式（17）所示的估計誤差的p（1＜p＜α≤2）階統計量建立代價函數．定義代價函數為

當代價函數J在誤差的p統計量下取得最小值時，所對應的反射系數即為最優解．這樣，反演問題轉化成了求解式（18）的最小值的數學問題．代價函數是關于反射系數的函數，對代價函數求梯度，可得

式（19）中e（n）表示誤差向量e的第n個元素，wn為子波矩陣W的第n行．

根據最速下降Δ算法，可得關于反射系數的遞推式

其中，μ＞0，為自動調整步長．利用迭代的方法很容易得到反演結果．該算法稱為最小p范數反演方法．

設定初始模型反射系數為R0，最大誤差為e（e＞0），最大迭代次數Itera．利用迭代的方法實現最小p范數反演方法的步驟為

步驟1，初始化，R（0）＝R0；

步驟4，由式（20）更新反演結果，若迭代次數n＋1＝Itera，轉步驟5，否則轉步驟2；

步驟5，輸出反射系數R（n）．

在迭代過程中，自動調整步長μ的選取對最后的反演結果將產生影響，μ取值小可以減小穩態失調量，提高算法的精度，但是會影響算法的收斂速度；μ取值大可以提高算法的收斂速度，但是會影響算法的精度．因此，自動調整步長μ的取值應視應用環境而定．地震反演屬于非實時信號處理，在算法的速度要求不高的情況下，設置μ為小值將有利于反演結果精度的提高．

5 反演實例與分析

5．1 理論模型反演

將本文研究的基于非高斯α穩定分布假設的反演方法應用到實際的地震資料中，地震數據來自川東北地區某區塊，數據已經過疊前時間偏移和動校正（NMO）處理，地震數據的采樣率為2ms．利用該區X6井目的層段的測井數據計算反射系數如圖7a所示，數據對應的地震剖面時間為1800～2300ms；圖7b為以中心頻率為45Hz，長度為100ms的雷克子波，子波的最大振幅已根據測井的阻抗值幅度做了校正；圖7c為圖7a中的反射系數與圖7b中所示的子波卷積得到的合成地震記錄．

圖7 理論模型及合成地震記錄Fig．7 Reflectivity and wavelet model and synthetic seismogram

為了驗證最小p范數反演方法的可行性，將最小p范數反演方法獲得的反演結果與基于高斯分布二階矩的最速下降算法反演結果比較．本文利用圖7中所示的數據做理論的試算，從圖7c所示的合成地震記錄和圖7b所示的雷克子波出發，分別用上述的兩種反演方法各獲得一組反演結果．反演結果如圖8b所示，其中紅色實線REF1為利用最小p范數反演方法，即利用式（20）反演出的反射系數序列，藍色的點劃線REF2為利用基于高斯分布二階矩的最速下降算法反演出的反射系數．兩種方法中，自動調整步長均為μ＝0．82，基于最小p范數反演方法中取誤差范數為p＝1．92．圖8a為實際的測井處的反射系數，與圖7a中所示的是同一個數據；圖8c為實際的反射系數與反演出的反射系數的誤差序列，其中的紅色實線ERR1為實際的反射系數與REF1的誤差，藍色的點劃線ERR2為實際的反射系數與REF2的誤差．從圖8a和圖8b看出，反演出的反射系數與實際的反射系數在波形的趨勢上吻合度非常高；而且圖8c中的誤差曲線表明了，除少數點外，絕大部分誤差都小于0．02．另外，圖8c中誤差曲線ERR1在反射系數峰值處（例如，2200ms附近）的起伏明顯低于ERR2．這是因為反射系數是服從非高斯α穩定分布的，在峰值處處在脈沖現象，在這種情況下，基于非高斯α穩定分布的最小p范數反演方法的性能優于基于高斯分布的二階矩方法．

圖8 原始反射系數（a）、反演結果（b）及其誤差（c）Fig．8 （a）Original reflectivity，（b）inversion results and（c）estimation errors

圖9 地震記錄比較Fig．9 Comparison between original synthetic and synthetics calculated from inverted results

再將兩種方法反演得到的反射系數（如圖8b所示）分別與雷克子波（如圖7b所示）卷積，得到地震記錄估計．將該地震記錄的估計與圖7c中的原始地震記錄在同一圖中顯示，如圖9所示．其中圖9a中的實線Seis1為原始的地震記錄，點劃線為圖8b中REF1與子波卷積得到的地震記錄估計，劃線ERR為原始地震記錄與地震記錄估計的誤差曲線；圖9b中的實線Seis1為原始的地震記錄，點劃線為圖8b中REF 2與子波卷積得到的地震記錄估計，劃線ERR為原始地震記錄與地震記錄估計的誤差曲線．由圖9a可見，曲線Seis1與曲線Seis2吻合度非常高，誤差曲線Err起伏很小．同時，比較圖9a中的曲線Seis2與圖9b中的曲線Seis2，不難發現，圖9a中的Seis2曲線在地震記錄的大峰值處（如，2180ms和2275ms處）與原始的地震記錄的吻合度明顯要高于圖9b中Seis2與原始地震記錄的吻合度．從圖8和圖9這兩組圖可以得出結論，基于α穩定分布的最小p范數反演方法是可行的．

5．2 疊前彈性阻抗反演

通過以上的理論模型反演，驗證了基于α穩定分布的最小p范數反演方法的可行性．本文再將該反演方法應用到整個區塊的疊前彈性阻抗反演中．選取誤差范數為p＝1．92，自動調整步長μ＝0．82，分別反演得到3°、9°和15°三個入射角下過X6井的某測線的疊前彈性阻抗剖面，如圖10a、圖10c和圖10e所示．將圖中紅色橢圓標記處放大，如圖右上角所示，阻抗呈現低值（藍色）．因此，可初步判斷標記區域為儲層位置，這與測井解釋該區域層為含氣、水層的結果是吻合的．

圖10 多角度彈性阻抗反演結果Fig．10 Maps of multi－angle elastic impedance obtained by the least p－norm inversion algorithm

彭真明等［18］研究了流體信息與不同角度彈性阻抗的關系，得出結論，隨著入射角度的增加，含氣儲層阻抗值會減小．隨著圖10a、圖10c和圖10e中對應入射角度逐漸增加，在預測的儲層處（紅色橢圓標記處）阻抗值隨入射角度增加而減小，變化規律與彭真明等人得到的結論吻合．

圖10b、圖10d和圖10f分別為圖10a、圖10c和圖10e標記處附近的阻抗波形圖．波形圖顯示的CDP范圍為310～350，時間范圍為1900～2240ms，紅色曲線為測井處阻抗．由這三組波形圖可見，反演結果與實際測井數據吻合度非常高．充分說明了本文研究的基于α穩定分布的最小p范數反演方法在地震反演中的有效性．

6 結 論

α穩定分布是一種比高斯分布適用性更廣的概率分布．本文通過對地震信號的動態樣本方差分析表明，地震數據的分布更接近于非高斯的α穩定分布，而不是傳統的高斯分布．由于非高斯α穩定分布的二階統計量不存在，若仍按照傳統的高斯分布假設下的地震反演方法，選取地震記錄估計誤差的二階矩作為代價函數，反演結果不是最優的．因此，在對非高斯的α穩定分布的地震信號反演時必須取地震記錄估計誤差的p（1＜p＜α）階統計量作為代價函數．

通過對川東北地區某區塊X6井反射系數的對比反演，驗證了本文提出的反演方法的可行性．最后將該反演方法應用到該區塊多角度疊前彈性阻抗反演中，取得了很好的效果．這一成功的應用不僅表明了實際的地震信號是服從非高斯α穩定分布的，而且證實了利用非高斯α穩定分布的方法進行地震反演的有效性．

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Seismic inversion method withα－stable distribution

YUE Bi－Bo1，PENG Zhen－Ming1，ZHANG Qi－Heng2

1 School of Opto－Electronic Information，University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu610054，China
2 Institute of Optics and Electronics，Chinese Academy of Sciences，Chengdu610209，China

This paper briefly introduced the statistic characteristics ofα－stable distribution，analyzed the dynamic sample variance ofα－stable distribution and seismic signals comparatively，and proposed that seismic signals followα－stable distribution．Based on this，the cost function was built with the p－order statistics of seismic data estimated error．The least p－norm seismic inversion algorithm was proposed and applied to single－channel reflectivity inversion and real prestack elastic impedance inversion．Both of the applications obtained good results，which demonstrated that the seismic signals follow non－Gaussianα－stable distribution and the least pnorm seismic inversion algorithm was efficient and feasible．

α－stable distribution，non－Gaussian，Inversion，p－norm

P631收修定稿2011－03－01，2012－03－19收修定稿

國家自然科學基金（40874066，40839905）、國家科技重大專項（2008ZX05019－006）及中央高校基本科研業務費專項資金（ZYGX2011YB021）資助．

岳碧波，男，1984年生，博士研究生，主要從事信號與信息處理、疊前地震反演與儲層預測研究工作．E－mail：yue＿bibo＠163．com

岳碧波，彭真明，張啟衡．基于α穩定分布的地震反演方法．地球物理學報，2012，55（4）：1307－1317，

10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．026．

Yue B B，Peng Z M，Zhang Q H．Seismic inversion method withα－stable distribution．Chinese J．Geophys．（in Chinese），2012，55（4）：1307－1317，doi：10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．026．

10．6038／j．issn．0001－5733．2012．04．026

（本文編輯 何 燕）