一個軟鏈問題的受力情況分析

任海林 譚偉石 徐 浦

（1南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094）

（2南京理工大學理學院，江蘇 南京 210094）

一個軟鏈問題的受力情況分析

任海林1譚偉石2徐 浦2

（1南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094）

（2南京理工大學理學院，江蘇 南京 210094）

對軟鏈在桌面滑落的問題進行了詳盡的受力情況分析，研究結(jié)果表明不能忽略桌角處軟鏈內(nèi)部的張力變化.

軟鏈問題；受力情況分析；摩擦因數(shù)

1 問題的提出

在一些大學物理教材和習題指導書中［1，2］，通常安排了一道關(guān)于軟鏈的習題：如圖1（a）所示，一質(zhì)量均勻分布的鏈條，總長度為L，線密度為λ，與水平桌面的摩擦因數(shù)為μ，其中有長度為a的部分垂在桌面外，松手后使它由靜止在重力作用下下落.求軟鏈下垂長度為x時軟鏈的速度大小.

圖1

通常利用牛頓第二定律來求解這道題.建立如圖1（b）所示的坐標系.將軟鏈分成桌面部分和下垂部分，對這兩個部分進行受力情況的分析，列出牛頓第二定律方程.設(shè)x為某時刻軟鏈下垂在桌面外的長度，分別列出豎直方向和水平方向的牛頓第二定律方程：

這時我們默認在任意時刻總有T1＝T2，將以上兩式相加，我們得到

從而得到軟鏈下垂部分長度為x時軟鏈的速度大小為

以上是通常的解法.但是，在實際情況下，桌角處軟鏈內(nèi)的張力T1＝T2的條件成立嗎？我們先來仔細分析桌角處軟鏈的受力情況，然后再來回答這個問題.

2 桌角處軟鏈的受力情況分析

假設(shè)有一段長為L的質(zhì)量線密度為λ（λ為常量）的不可伸長的軟鏈，把桌角看成一個半徑為R的1/4圓弧，桌子表面摩擦因數(shù)為μ1，桌角處的摩擦因數(shù)為μ2.在某一時刻，軟鏈下落速度大小為v（這也是軟鏈在水平桌面滑行的速度大小），軟鏈各處的加速度值為a.已通過桌角的部分長為x，且此時軟鏈與桌子仍完全接觸.

首先在桌角處建立坐標系，如圖2所示，規(guī)定θ為分析的軟鏈微元與豎直方向的夾角，T2為水平桌面上的部分軟鏈在θ＝0處受到的力，T1為垂在桌面外的部分軟鏈在處受到的力.由此時的受力分析我們可以得出

圖2 桌角處的坐標系示意圖

然后我們再對θ處dθ段軟鏈進行受力分析，如圖3所示，我們可以得到軟鏈微元的運動方向（τ方向）和垂直運動方向（n方向）的兩個分量方程

圖3 θ處dθ段軟鏈受力分析

我們將式（8）和式（9）化簡可以得出

由式（10），式（11），式（12）可以得出dT 的表達式

由式（14），可以知道T應(yīng)該具有如下形式

此時T的表達式中有一個積分常數(shù)C.當θ＝0時，T值等于T2；當時，T值等于T1.即

現(xiàn)在我們求積分常數(shù)C及加速度a的表達式.將式（18）和式（19）代入式（6）和式（7）得

根據(jù)線性代數(shù)的知識可以得出

由此可以看出加速度值a和積分常數(shù)C均與摩擦因數(shù)μ1和μ2、軟鏈速度v、軟鏈下垂長度x有關(guān)，而且我們能夠根據(jù)式（20）和式（21）求出任意時刻，桌角處任意位置軟鏈內(nèi)的張力大小.

當質(zhì)量線密度為λ的軟鏈繞過半徑為R的桌角時，由式（18）和式（19）給出，圖2所示的T1和T2的差值為

顯然，這個差值是不等于零的.換一句話說，在本文開頭列出來的關(guān)于這個軟鏈問題的通常解法中，認為在桌角處軟鏈內(nèi)的張力T1＝T2是不合理的.

那么，在什么情況下可以認為T1＝T2呢？從式（22）可以看出，ΔT為零的條件是μ2＝0，R＝0，也就是桌角的摩擦因數(shù)為零，而且桌角為理想的直角（也就是半徑R趨向于零）.只有在這兩個條件同時滿足的情況下，本文開頭列出的通常解法才是正確的.否則，必須考慮到桌角處軟鏈內(nèi)張力的變化.

3 結(jié)論

對軟鏈在水平桌面滑落的問題進行了詳盡的受力情況分析，研究結(jié)果表明，只有當桌角的摩擦因數(shù)為零，而且桌角為理想的直角時，桌面上的軟鏈受到的水平張力和豎直下垂的軟鏈受到的豎直張力在數(shù)值上才是相等的，否則，必須考慮桌角處軟鏈內(nèi)部張力的變化.

［1］ 鄧開明等.大學物理（上）［M］.北京：機械工業(yè)出版社，2005

［2］ 沈慧君，王虎珠.大學物理學習題討論課指導（第2版）［M］.北京：清華大學出版社，2006

FORCE ANALYSIS ON A SLIDING SOFT CHAIN ALONG THE TABLE

Ren Hailin1Tan Weishi2Xu Pu2
（1School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，Jiangsu 210094）
（2College of Science，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing，Jiangsu 210094）

A detailed force analysis is performed on a sliding soft chain along the table.Results indicate that changes of tension force in the chain around table corner cannot be ignored unless the friction coefficient of table is zero and the corner of table is an ideal right angle.

soft chain；force analysis；friction coefficient

2011－07－11）