《電磁學》中靜電類問題的可視化仿真實驗設計

趙小龍 王玉平 鮑麗紅

（天水師范學院物信學院，甘肅 天水 741001）

《電磁學》中靜電類問題的可視化仿真實驗設計

趙小龍 王玉平 鮑麗紅

（天水師范學院物信學院，甘肅 天水 741001）

《電磁學》中基本概念、基本規律理論性強、場圖復雜.針對離散點電荷系在空間產生的場分布、靜電場中導體的靜電感應現象、靜電場中電介質的極化現象等典型靜電類電磁問題，利用Matlab中的偏微分方程工具箱（PDEtool）、數學物理方程進行可視化仿真實驗設計.仿真結果中電場線、等勢線的分布很好地體現出典型電磁現象及相關物理性質，有助于信息技術條件下的教學方法改革.

電磁學；靜電類問題；偏微分方程；可視化仿真

1 引言

《電磁學》［1］是物理類、電子信息類專業的基礎課程，課程講授應該使學生全面系統地掌握電磁運動的基本現象、基本概念和基本規律，使其具有一定分析和解決電磁學問題的能力.由于課程理論性強、概念抽象、推導繁多、場圖復雜，要求學生具有較強的抽象思維能力和空間想象力.目前，理論講授的現狀是多數學生對基本概念掌握較好，而針對物理問題運用數學方法求解問題的能力偏弱.而配套的《電磁學實驗》［2］中除靜電場的描繪、霍爾效應等外，多數實驗仍是電路基礎、電工學中的基礎電學實驗.可視化仿真實驗設計能夠形象地、動態地展示電磁理論的基本原理、模擬出電磁場中的物理量，同時能以圖形化的方式顯示其分布及其計算結果，得到富有感染力的三維圖形及計算結果，有助于增強學生的學習興趣、鞏固和掌握所學理論，改善教學效果［3～5］.

2 靜電場

靜電場是電磁學教科書中最基礎、最重要的章節，內容涉及庫侖定律、電場強度、電勢、靜電場中的導體和電介質、唯一性定理、邊界條件、電場能量等，其關于靜電場中的物理量、靜電場性質的表述在結構上與穩恒磁場的內容遙相呼應.因此，準確、清晰地掌握靜電場的知識點對整個教材教學目的的實現具有重要作用.

靜電場內容首先從基本的電現象出發，通過兩個點電荷相互作用滿足的基本實驗定律——庫侖定律，引出了電場的概念及描述電場的物理量——電場強度.為進一步揭示場的性質，通過電通量和電場力做功得到高斯定理和保守力場的結論，同時定義了描述場的另外一個物理量——電勢.通過對處在靜電場中的導體和電介質引出靜電感應和介質極化，更是將靜電問題一般化.唯一性定理和邊界條件保證了對于任意的靜電類問題都可以通過泊松方程進行求解.整個過程都是通過微積分以及微分方程的形式對問題一一進行分析、求解，并從解中探尋場的性質與特征.因此，數值分析求解方法應該是貫穿整個章節內容的基本手段.

2.1 疊加原理

疊加原理是教材中針對點電荷系、連續帶電體等靜電問題最基本的解決方法.無論是對電場強度矢量E，還是電勢U，都可由點電荷在空間的E、U分布和疊加原理求解點電荷系、連續帶電體在空間的場分布特征.具體計算公式如下

2.2 泊松方程

利用靜電場中高斯定理的微分形式及關系式E＝－ΔU，則可得到泊松方程

式中，ρ為電荷分布體密度；ε是介質介電常數.泊松方程是一個二階偏微分方程，其解需根據邊界條件來確定.靜電場中導體及介質的邊界條件分別如下

導體邊界：U（r）｜S＝ψ｜S

介質邊界：U1（r）｜S＝U2（r）｜S

3 算例設計與仿真

帶電體的靜電場分布、靜電場中介質的極化現象、靜電場中導體的靜電感應現象是靜電場的重點內容，也是難點內容.本文以兩點電荷構成的點電荷系——電偶極子、靜電場中的介質球、靜電場中的導體圓柱為研究對象，分別對場圖的描繪進行可視化設計.

對于離散的點電荷系，疊加原理的應用可通過Matlab的編程指令及Streamline、Arrows等繪圖命令畫出電場線、等勢線來表現靜電場的物理圖像，實現矢量場的可視化，這對比較和正確理解問題的結果是很重要的.而對于連續的帶電體，泊松方程的應用主要是利用Matlab中求解二階偏微分方程的有力工具——偏微分方程工具箱（PDEtool）.針對具有確定邊界條件的靜電類泊松方程，PDEtool能使用彩圖、高度圖、矢量場圖等形式將結果可視化，讓枯燥的公式伴以生動的圖像，讓深奧的內容有了鮮明的物理圖像.

例1計算電偶極子的電場強度.

解如圖1所示，利用疊加原理式（1）、式（2）計算離散點電荷系產生的電場強度和電勢，電偶極子產生的電勢為

圖1 電偶極子

若場點距離遠大于間距l，則可認為er＋∥er，er－∥er，那么解得

其中，p是電偶極子的電偶極矩.已知E＝－U，求得電偶極子的電場強度為

圖2 電偶極子的電場線和等勢線

例2設半徑為a，介電常數為ε的介質球放在無限大的真空中，受到均勻電場E0的作用，如圖3所示.試求介質球內外的電場強度.

圖3 靜電場中的介質球

解取球坐標系，令E0＝E0ez.顯然，介質球內外的電勢分布滿足ρ＝0時的泊松方程（3）和介質邊界的邊界條件（5）.利用分離變量法求解的過程詳見文獻［6］，此處不再贅述.介質球內、外電勢分別為

根據E＝－U，求得介質球內的電場為

圖4是利用PDEtool工具箱解得的介質球內外電場線和等勢線分布圖.從圖中可以看出：介質球內靜電場仍然為均勻電場，而且球內場強明顯低于球外場強；介質球外較遠區域靜電場保持初始場的分布，而介質球表面附近區域場分布變化顯著、等勢線彎曲受介質表面極化現象影響顯著.

圖4 介質球內外的電場線和等勢線

例3設一根無限長的導體圓柱位于均勻靜電場中，電場強度方向垂直于導體圓柱.試求導體圓柱外的電場強度.

解選取圓柱坐標系，令E0＝E0ex.當導體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內的電場強度為零、圓柱為等勢體，圓柱表面電場強度切向分量為零，且柱外的電勢分布函數與z無關.導體圓柱外的電勢分布滿足泊松方程（3）和導體邊界的邊界條件（4），圓柱外電勢分布函數為

圖5 靜電場中的導體圓柱

圓柱外電場強度為

導體圓柱內外電場線、等勢線分布如圖6所示.從圖6中可以看出：導體圓柱內無電場線分布，即電場強度為零；導體表面有部分電場線穿入，這可以幫助學生很好地理解電磁波在導體表面的趨膚效應和穿透深度的概念；導體圓柱外較遠區域靜電場保持初始場的分布，而導體圓柱上下表面附近區域場分布顯著較強、等勢線彎曲受導體表面靜電感應現象影響顯著.導體圓柱內外電場線、等勢線的偽彩色分布圖可以很好地幫助學生理解并掌握靜電感應現象和靜電平衡時靜電場的性質和特點.

圖6 導體圓柱內外的電場線和等勢線

4 結論

《電磁學》課程中物理概念抽象、理論性強、場圖復雜，借助于Matlab的可視化程序設計指令和PDEtool偏微分方程工具箱以及物理物理方程中的相關理論知識，靜電類可視化仿真實驗設計不僅有利于學生掌握理論知識、培養學生運用新技術、新方法的能力，而且有助于學生完成課程設計、畢業設計等教學任務.在整個實驗設計過程中不僅能讓學生知道結果，更要學會方法，讓學生探索性地解決專業知識學習過程中所遇到的問題，以實現工程應用能力和創新能力的培養，對學生適應社會需求、提高自身的能力和素質具有重要的現實意義.

［1］ 趙凱華.電磁學［M］.2版.北京：高等教育出版社，2002

［2］ 楊述武.普通物理實驗（二、電磁學部分）［M］.3版.北京：高等教育出版社，2000

［3］ 彭芳麟.數學物理方程的Matlab解法與可視化［M］.北京：清華大學出版社，2004：11

［4］ 熊萬杰.Matlab用于大學物理教學［J］.物理通報，2004，（2）：16～19

［5］ 陳執平.本科電磁場教學中引入ANSYS的嘗試［J］.大學物理，2010，29（7）：32～35，54

［6］ 楊儒貴.電磁場與電磁波［M］.北京：高等教育出版社，2007

VISUAL SIMULATION DESIGN ON ELECTROSTATIC PROBLEM IN ELECTROMAGNETISM

Zhao Xiaolong Wang Yuping Bao Lihong
（Institute of Materials，Tianshui Normal University，Tianshui，Gansu 741001）

Basic concepts and principles in Electromagnetism have abstract reasoning and complicated field－map.Typical electrostatic electromagnetic problems such as the electric field distribution of discrete point－charge group in the space，electrostatic induction phenomenon of conductor in electrostatic field，and polarization phenomenon of dielectric in electrostatic field，can be visually simulated by PDEtool in Matlab and Mathematical physics equations.The simulation results show that the electric field lines and equipotential lines describe well the electromagnetic phenomena and physical properties.The simulation design is beneficial to teaching reform by information technology.

electromagnetism；electrostatic problems；partial differential equation；visual simulation

2011－06－08）

項目資助國家自然科學基金（61002008），甘肅省教育廳項目（1008B－11），天水師范學院“青藍”人才工程.

趙小龍（1976年出生），男，甘肅天水人，博士，副教授，電子學會高級會員.主要研究方向為電磁理論研究及教學.