一類帶附加裝置的特殊剛體的穩(wěn)定性分析

梁建莉

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

一類帶附加裝置的特殊剛體的穩(wěn)定性分析

梁建莉

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

研究一類帶有附加裝置的特殊剛體的穩(wěn)定性，通過(guò)尋找合適的Poisson結(jié)構(gòu)及Hamilton函數(shù)，將剛體的運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為廣義Hamilton系統(tǒng).運(yùn)用能量Casimir函數(shù)法分析得知，這類剛體的運(yùn)動(dòng)在一定條件下是穩(wěn)定的.

特殊剛體；穩(wěn)定性；Poisson結(jié)構(gòu)；Hamilton函數(shù)；能量Casimir函數(shù)法

1 預(yù)備知識(shí)

在研究幾何空間中剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，可用剛體相對(duì)于固定在質(zhì)心上的直角坐標(biāo)的3個(gè)角動(dòng)量作為動(dòng)態(tài)變量［1］，其相空間為P＝｛m＝（m1，m2，m3）｜mi為角動(dòng)量.在這個(gè)相空間上，自由剛體的運(yùn)動(dòng)由Euler方程描述為

其中：λi是主慣性矩，λi＞0.

文獻(xiàn)［2］應(yīng)用能量Casimir函數(shù)法和譜分析法，證明在自由剛體運(yùn)動(dòng)中繞長(zhǎng)軸和短軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的，繞中軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是不穩(wěn)定的.對(duì)于帶附加裝置的特殊剛體，其運(yùn)動(dòng)方程為

本文通過(guò)尋找合適的Poisson結(jié)構(gòu)及Hamilton函數(shù)，運(yùn)用能量Casimir函數(shù)法［2-3］得到如下定理.

定理1 a）若主慣性矩λ3＞max｛λ1，λ2｝，則當(dāng)角動(dòng)量為

時(shí)，帶附加裝置的剛體運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的；

b）若主慣性矩λ3＜min｛λ1，λ2｝時(shí)，則當(dāng)角動(dòng)量為

時(shí)，帶附加裝置的剛體運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的.

2 基本定義和引理

定義1［4］常微分方程

稱為廣義 Hamilton系統(tǒng) .如果存在 Hamilton函數(shù) H（x）及n階反對(duì)稱矩陣J（x）＝［Ji，j（x）］n×n，使得方程可以寫(xiě)成

并且J（x）滿足Jacobi恒等式

式（3）中：矩陣J（x）稱為廣義Hamilton系統(tǒng)的Poisson結(jié)構(gòu).

定義2［4］如果函數(shù)C（x）滿足方程

則函數(shù)C（x）稱為Poisson結(jié)構(gòu)J（x）的Casimir函數(shù).

通過(guò)直接計(jì)算可知，若C（x）是J（x）的一個(gè)Casimir函數(shù)，那么對(duì)于任意的一元可微函數(shù)Φ（z），復(fù)合函數(shù)Φ［C（x）］也是J（x）的Casimir函數(shù).

定義3［4］微分方程（2）在奇點(diǎn)x0是形式穩(wěn)定的，如果存在方程組（2）的一個(gè)滿足下列條件的守恒量H（x）：

1）DH（x0）＝0；

2）D2H（x0）是正定或負(fù)定的.

其中：DH（x0）是 H（x）在x0點(diǎn)的梯度；D2H（x0）是 H（x）在x0點(diǎn)的 Hessian矩陣.

定義4［4］設(shè)x（t）是微分方程（2）的任一解.微分方程（2）的奇點(diǎn)x0稱為是Liapunov穩(wěn)定（或非線性穩(wěn)定）的，如果對(duì)于任意ε＞0，存在δ＞0，當(dāng)｜x（0）－x0｜＜δ時(shí)，對(duì)于一切t＞0，有｜x（t）－x0｜＜δ；如果還有x（t）＝x0，則稱x0是漸近穩(wěn)定的.

對(duì)于有限維系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，形式穩(wěn)定與Liapunov穩(wěn)定是等價(jià)的，而對(duì)于無(wú)窮維空間則不是如此.

引理1［2］Hamilton函數(shù)和Casimir函數(shù)都是廣義Hamilton系統(tǒng)的守恒量.

引理2［2］Hamilton函數(shù)加上任何Casimir函數(shù)仍可作為原系統(tǒng)的Hamilton函數(shù).

引理3［2］即Lagrange－Dirichlet引理 .設(shè)x0是 Hamilton系統(tǒng)

能量Casimir函數(shù)法是引理3的推廣.

對(duì)于證明經(jīng)典Hamilton系統(tǒng)的奇點(diǎn)穩(wěn)定性問(wèn)題，一個(gè)有效的辦法就是利用引理3.即尋找系統(tǒng)的一個(gè)守恒量，使其在奇點(diǎn)處具有局部極大或極小值，在經(jīng)典Hamilton力學(xué)中，這個(gè)守恒量通常取Hamilton函數(shù).在廣義Hamilton系統(tǒng)中，其Hamilton函數(shù)在奇點(diǎn)處不一定取到極大或極小值.

由引理2可知，Hamilton函數(shù)加上任何Casimir函數(shù)仍為原系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)，因此要尋找守恒量C（x），用H（x）＋C（x）替代H（x）成為系統(tǒng)新的守恒量，使其在奇點(diǎn)處可以取到極大或極小值.

能量Casimir函數(shù)法有如下3個(gè)主要步驟：

1）構(gòu)造適當(dāng)?shù)腜oisson結(jié)構(gòu)及Hamilton函數(shù)H（x），使系統(tǒng)成為廣義Hamilton系統(tǒng)；

2）求Casimir函數(shù)C（x），對(duì)系統(tǒng)的奇點(diǎn)x0有D（H＋C）（x0）＝0；

3）驗(yàn)證D2（H＋C）（x0）＝0的定性.

3 定理的證明

3.1 Poisson結(jié)構(gòu)及Hamilton函數(shù)

首先，取反對(duì)稱矩陣為

由此可以驗(yàn)證J（m）滿足Jacobi恒等式（3）.

其次，取哈密頓函數(shù)為

則剛體的運(yùn)動(dòng)方程（1）可以寫(xiě)為

即系統(tǒng)（1）是一個(gè)廣義Hamilton系統(tǒng)，且J（m）為此系統(tǒng)的Poisson結(jié)構(gòu).

3.2 Casimir函數(shù)

設(shè)Casimir函數(shù)為C（m），由J（m）·▽C（m）＝0，得到偏微分方程組為

利用偏微分方程原理［5］，通過(guò)計(jì)算可知，m21＋m22＋（m3＋1）2為J（m）的Casimir函數(shù)，若Φ（z）為一個(gè)一元可微函數(shù)，則C（m）＝Φ（m21＋m22＋（m3＋1）2）也是J（m）的Casimir函數(shù)，所以系統(tǒng)（1）的另一個(gè)哈密頓函數(shù)為

其梯度為

考慮系統(tǒng)的奇點(diǎn)m0＝（0，0，m3），即m3軸上的點(diǎn)均為系統(tǒng)的奇點(diǎn).

令DHc（m0）＝0，則

即所選取的Casimir函數(shù)C（m）要滿足式（5）.

3.3 驗(yàn)證D2 Hc（m0）的定性

令

由此可得，在奇點(diǎn)m0處，Xi，j（m0）＝0，i≠j，所以得到矩陣為

若D2Hc（m0）正定，則其所有順序主子式為正，從而Xi，i（m0）＞0（i＝1，2，3），即

因此，只要取一元可微函數(shù)為

則Φ（z）滿足式（5），（6）的第3式.

由式（6）的前兩式可得，若主慣性矩λ3＞max｛λ1，λ2｝，則當(dāng)角動(dòng)量

時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的.

同理，若D2Hc（m0）負(fù)定，則Xi，i（m0）＜0（i＝1，2，3）.此時(shí)，只要取一元可微函數(shù)為

通過(guò)計(jì)算可知，若主慣性矩λ3＜min｛λ1，λ2｝，當(dāng)角動(dòng)量為

時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)是穩(wěn)定的.定理得證.

［1］李繼彬，趙曉華，劉正榮.廣義哈密頓系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

［2］高普云.非線性動(dòng)力學(xué)：分叉、混沌與孤立子［M］.長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，2005.

［3］王照林，匡金爐.利用能量Casimir方法研究充液對(duì)稱剛體的非線性穩(wěn)定性［J］.力學(xué)與實(shí)踐，1993，15（2）：34－37.

［4］趙曉華，黃克累 .廣義 Hamilton系統(tǒng)與高維微分動(dòng)力系統(tǒng)的定性研究［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1994，17（2）：182－191.

［5］管志誠(chéng)，李俊杰.常微分方程與偏微分方程［M］.浙江：浙江大學(xué)出版社，2001.

Stability of a Special Rigid Body with Additional Devices

LIANG Jian－li
（School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China）

In this paper，we study the stability of a special kind of rigid body with additional devices.The rigid body′s motion equations is transform into a generalized Hamilton system by means of a suitabl Poisson structure and Hamiltonian function.Through these analysis，we found that the motion of such rigid body with additional devices，under certain conditions，is stable.

special rigid body；stability；Poisson structure；Hamilton function；energy Casimir function

陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

O 175.21；O 317

A

1000－5013（2012）02－0225－04

2011－06－17

梁建莉（1979－），女，講師，主要從事哈密頓動(dòng)力系統(tǒng)的研究.E－mail：liangjl＠hqu.edu.cn.

國(guó)務(wù)院僑辦科研基金資助項(xiàng)目（08QZR10）