定數截尾缺失數據下Weibull分布的形狀參數近似估計

田霆，劉次華

（1.華僑大學 數學科學學院，福建 泉州 362021；2.華中科技大學 數學與統計學院，湖北 武漢 430074）

定數截尾缺失數據下Weibull分布的形狀參數近似估計

田霆1，劉次華2

（1.華僑大學 數學科學學院，福建 泉州 362021；2.華中科技大學 數學與統計學院，湖北 武漢 430074）

研究定數截尾壽命試驗數據缺失場合下，Weibull分布中形狀參數的點估計問題.利用次序統計量的方法給出形狀參數的近似估計，并通過大量的Monte－Carlo數值模擬試驗，驗證方法的可行性.

Weibull分布；定數截尾；數據缺失；形狀參數；極小值分布；次序統計量

1 預備知識

在用統計方法處理實際問題時，常會遇到數據缺失問題，如產品壽命試驗中由于試驗設備、觀測手段或有其他方面的困難，造成某些試驗數據丟失或未觀測到等現象.因此，對不完全數據的處理是統計分析的一個重要領域.在可靠性壽命試驗中，Weibull分布是最常用的壽命分布之一，其分布函數為

式（1）中：m為形狀參數，η為刻度參數.

若由于某種原因造成數據丟失，不妨設剩下的數據為

其中：｛r1，r2，…rk｝?｛1，2，…，r｝，則

服從標準極小值分布.

對于試驗數據（3）的統計分析，己有一些文獻作了相關的研究［1-3］.文獻［1］給出了 Weibull分布及極值分布的參數的點估計及區間估計；文獻［2］給出了定數截尾數據缺失場合下指數分布參數的Bayes估計；文獻［3］給出了定時截尾缺失數據下指數分布的統計推斷.文中試圖利用次序統計量的方法［4］給出形狀參數的一種近似點估計，通過大量的Nonte－Carlo模擬試驗說明所給方法的可行性.

2 形狀參數m的一種點估計

Murthy等［4］從n個失效樣本中兩個次序統計量出發，提出了m＊＝1／m的無偏估計.根據次序統計量的選擇準則，在估計量的方差達到最小的條件下，漸近率為70%左右，在Weibull分布的刻度參數未知時，進行了m的假設檢驗.

易知Y的分布與未知參數m無關，其為一樞軸量.

3 Y的近似分布

故由式（6）及引理1的結果可知，Y的近似分布是由k－l個參數不同的指數分布的和的分布.

4 m＊的無偏估計的構造

為了充分利用缺失后信息及以上結果，從數據（3）出發，導出m的估計.對于數據（3），記

5 Monte-Carlo模擬實驗

為確定參數估計的精度，設η＝1.0，利用式（6）對m 的真值m＝1.0，0.5，0.25進行2 000次的Monte－Carlo模擬實驗，部分模擬結果如表1所示.從表1中可以看到：當n固定時，隨著k的增大，精度愈高；而當k很小即缺失數太大時，參數估計誤差偏大，故應盡量避免數據缺失 .總的來說，在缺失數據數目不太大的情況下，參數估計的精度還是令人滿意的.

表1 Monte－Carlo模擬實驗部分結果Tab.1 Part of the Monte－Carlo simulation results

［1］FEI H，KONG F，TANG Y.Estimation for two－parameter Weibull distribution and extreme－value distribution under multiple type-Ⅱ censoring［J］.Comm Statist Theory and Meth，1995，24：2087－2104.

［2］王乃生，王玲玲.定數截尾數據缺失場合下指數分布參數的Bayes估計［J］.應用概率統計，2001，8（3）：229－235.

［3］田霆，劉次華.定時截尾缺失數據下指數分布的統計推斷［J］.華僑大學學報：自然科學版，2006，27（1）：20－23.

［4］MURTHY V K，SWARTZ G B.Estimation of Weibull parameters from two－order statisticals［R］.Ohio：Wright－Patterson Air Force Base，1974.

［5］曹晉華，程侃.可靠性數字引論［M］.北京：科學出版社，1986.

Approximate Estimation for the Shape Parameter of Weibull Distribution under Multiply Type-ⅡCensoring

TIAN Ting1，LIU Ci－hua2
（1.School of Mathematical Sciences，Huaqiao University，Quanzhou 362021，China；2.School of Mathematics and Statistics，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China）

In this paper，we study the point estimation for the shape parameter of Weibull distribution under multiply type-Ⅱcensoring.The approximate point estimation of unknown parameter is obtained by using the method of order statistics.By the Monte－Carlo simulation，the precision for the parameter estimation under a large amount of samples is satisfied.

Weibull distribution；multiply type-Ⅱcensoring；missing date；shape parameter；minimum value distribution；order statistics

陳志賢 英文審校：張金順，黃心中）

O 213.2

A

1000－5013（2012）02－0232－03

2011－09－19

田霆（1972－），男，講師，主要從事產品可靠性的研究.E－mail：tianting1972928＠sohu.com.

福建省自然科學基金資助項目（Z0511027）