航天器微振動穩態時域響應分析方法

鄒元杰 王澤宇 張志娟 葛東明

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

1 引言

航天器結構的在軌微振動響應分析對于光學載荷成像質量評估、振動控制措施應用等都是非常重要的［1-4］。這類分析原則上屬于結構動力學的范疇，因此，經典的動力學分析理論和方法都適用。然而，航天器在軌的動力學分析有其自身的特殊性：航天器處于自由-自由狀態，與發射段的邊界條件差異很大；系統基頻較低（小于1 Hz）；激勵頻率可以達到幾百赫茲，有限元模型的精細程度超過星箭耦合分析模型。這些特點使得常規的時程積分數值算法在進行時域響應分析時很不方便。具體說來，存在以下兩個問題。

（1）由于航天器結構處于自由-自由狀態，其動響應必然包含剛體模態和彈性模態兩部分的影響。其中，剛體部分的響應由于沒有阻尼作用，受載荷作用時會產生整體姿態“漂移”，呈發散狀態。在航天器實際在軌工作時，并不會出現這種姿態發散，主要是因為航天器有姿態控制系統的作用，始終維持姿態在小范圍內振蕩。如果動力學模型中未引入控制系統的閉環作用，進行開環計算，必然出現姿態“漂移”［5-6］。這個問題可以通過在動力學模型中引入控制系統來消除，也可以人為施加一個低頻阻尼器，把剛體模態近似看成一個低頻的彈性模態，賦予其振蕩特性，自然就不會無限發散。然而，第一種處理方式使動力學模型更為復雜，增加了控制的反饋作用，計算量大大增加；第二種方式中低頻阻尼器的頻率和阻尼選取在很大程度上取決于分析人員的工程經驗，只能作為一種近似處理。

（2）彈性模態的位移由兩部分組成，其中一部分是伴隨自由振動項，其振動頻率為彈性模態的阻尼自由振動頻率，隨著時間的增長呈指數衰減；另一部分是強迫振動項，其振動頻率與外載荷頻率相同。航天器長期在軌工作時，其響應應該為后一部分。然而采用時程積分進行數值計算時，伴隨自由振動項會參與到總響應中。伴隨自由振動項的衰減快慢取決于模態阻尼和模態頻率的大小。對于航天器微振動響應來說，因為系統的頻率（通常取決于大型柔性附件的頻率）很低、在軌振動阻尼較小，其衰減時間尤其長。舉例來說，假定第j階彈性模態的阻尼比ξj＝0．003，系統自由-自由狀態基頻ωj為0．1Hz，若要使伴隨自由振動項振幅衰減為初始時刻的5%，令e-ξjωjt＝0．05，可得所需計算時長t＝1589s（約26 min）。對于時域響應的數值計算來說，通常的計算時長為秒級，26 min的計算時間是難以接受的。

本文提出了基于復頻理論的時域響應分析方法，可以不引入控制系統而消除剛體姿態“漂移”，并且不需要長時間的計算就能直接得到穩態時域響應結果。

2 微振動穩態時域響應分析理論

結構系統的動力學時域方程為［7］

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為質量矩陣；F為外載荷向量；x為節點位移向量，t為時間。

利用模態疊加法進行解耦處理，設

式中：Φ和q分別為模態振型集和模態主坐標向量；Φr和Φe分別為剛體和彈性體模態振型集，其中n為彈性模態階數；qr和qe分別為剛體和彈性體模態主坐標向量，其 中

將式（2）代入式（1），考慮到模態的正交性，且剛體模態剛度陣和阻尼陣為0，可得

再采用質量歸一，將式（3）和式（4）的方程解耦后得到

航天器微振動最主要的干擾源為動量輪等活動部件的不平衡力，這類載荷F（t）近似呈正弦波（或余弦波）疊加的形式［3-4］。這樣，式（5）和式（6）可以分別表達成以下形式：

在初始條件qr（0）＝qr（0）＝0，qe（0）＝qe（0）＝0，以及小阻尼假設條件下，式（7）和式（8）的位移解可以分別表達為以下形式：

式中：第j階彈性模態阻尼自由振動頻率分別為第j階彈性體模態在頻率處的瞬態位移響應幅值、以及與激勵的相位差，分別為第j階彈性體模態在頻率ωm處的穩態位移響應幅值、與激勵的相位差。當然，式（9）、（10）的結果只能通過時域數值計算得到，且激勵頻率上限越高，需要的計算時間步長越短，花費的總時間越多。

將式（7）、（8）改寫成復頻域形式：

對于任意的離散頻率點ω＝ωm，有

代入式（11）、（12），求解可以得到頻域內的模態位移

為了得到穩態的系統時域動力學響應，進而用于成像質量評估，還需要在上述頻域計算完成后，獲得時域響應結果。這需要首先提取對應各激振頻率的響應幅值和相位，而后采用復響應的實部形式表達時域響應，最后將各頻率成分進行代數累加。轉換后的時域響應為

比較式（16）、（17）與式（9）、（10）可以看出：由復頻理論獲得的時域響應結果式（16）、（17），正是我們預期獲得的對應（9）、（10）兩式除去剛體“漂移”和伴隨自由振動衰減項后的結果。

上述頻域計算只在p個離散的頻點上計算，需要花費的時間比時域計算來說小得多，且計算精度很高，不受時域計算步長、不同時程積分算法的影響。因此，本文的方法較時程積分算法有較大的優勢。

3 工程應用實例

本節將上述分析理論應用于某航天器（構型示意圖及坐標系見圖1），計算其在控制力矩陀螺不平衡力（矩）作用下的微振動響應。在分析時，首先應用通用有限元分析軟件PATRAN／NASTRAN 建立了航天器有限元模型，并進行了頻響分析，而后利用Matlab軟件編程實現了頻域到穩態時域響應的轉換。

圖1 航天器在軌構型的示意圖Fig．1 Schematic of spacecraft on-orbit configuration

3．1 系統自由模態分析

為了在計算響應時利用模態疊加法，首先要進行航天器系統在軌自由模態分析。表1給出了9階模態的分析結果。前6階模態為系統的剛體模態；7～9階為太陽翼的彎曲模態。圖2～圖4為彈性模態的振型圖。

表1 系統模態的振型Table 1 Mode shapes of on-orbit spacecraft

圖2 太陽翼一階對稱外彎（繞X 軸）Fig．2 First symmetrical bending mode（X-axis）

圖3 太陽翼一階反對稱外彎（繞X 軸）Fig．3 First anti-symmetrical bending mode（X-axis）

圖4 太陽翼一階對稱內彎（繞Z 軸）Fig．4 First symmetrical bending mode（Z-axis）

3．2 系統穩態響應分析

計算航天器在控制力矩陀螺不平衡力（矩）作用下相機安裝界面的角位移和加速度響應，并統計了積分時間內最大角位移（峰峰值）、角位移均方根值和加速度均方根值。給定的不平衡力矩由一系列諧波構成，各諧波頻率與幅值如表2所示。

表2 不平衡力（矩）幅值Table 2 Disturbance force／moment amplitude

分別針對剛體模型、彈性體模型和“剛體＋彈性體”模型的微振動響應進行了計算。計算中選取0～300Hz內的約900階模態，模態阻尼比取為0．01。

1）剛體模型分析結果

將航天器視為剛體（與式（11）對應），分析其穩態響應，得到相機安裝面和擾動源處的位移和加速度。相機安裝面角位移的時域曲線、頻域曲線（由時域曲線經快速傅里葉變換（FFT）得到）分別見圖5和圖6。50ms積分時間內角位移峰峰值見表3。

圖5 剛體模型的轉角位移時域曲線Fig．5 Time-domain rotation displacements with rigid-body model

圖6 剛體模型的轉角位移頻域曲線Fig．6 Frequency-domain rotation displacements with rigid-body model

表3 50ms積分時間內的最大角位移峰峰值（剛體模型）Table 3 Maximum displacements in 50ms integration time with rigid-body model （″）

從圖5可以看出，本文所計算的剛體時域響應并無“漂移”現象，即沒有出現響應振幅隨時間無限增大（如后文中的圖9所示）的現象，從根本上解決了常規時程積分算法出現的位移發散問題。從圖6可以看出，頻譜中較大的響應集中在擾動源的6個激振頻率。

2）彈性體模型分析結果

將航天器視為彈性體（與式（12）對應），得出相機安裝面和擾動源處的位移和加速度。相機安裝面角位移的時域曲線、頻域曲線，分別見圖7、圖8。50ms積分時間內角位移峰峰值見表4。

圖7 彈性體模型的轉角位移時域曲線Fig．7 Time-domain rotation displacements with flexible-body model

圖8 彈性體模型的轉角位移頻域曲線Fig．8 Frequency-domain rotation displacements with flexible-body model

表4 50ms積分時間內最大角位移峰峰值（彈性體模型）Table 4 Maximum displacements in 50ms integration time with flexible-body model （″）

從圖7可以看出，本文所計算的彈性體時域響應已經消除了瞬態效應（即伴隨自由振動項）的影響，從時域計算一開始就達到了穩態，而不需要長時間的穩定過程。

對比表4和表3的角位移峰峰值可以看出，對于該航天器在本文給定的擾動源下的微振動響應來說，彈性體模型的角位移比剛體模型高兩個量級以上，即在航天器微振動響應時，彈性模態的影響較剛體模態大得多，因此，結構柔性的影響在微振動分析中必須考慮。

3）“剛體＋彈性體”模型的分析結果

同時考慮剛體及彈性體的作用，分析穩態響應。由于該模型的計算結果實質是彈性體模型和剛體模型線性疊加，因此其相應的位移響應曲線與彈性體模型較為接近。此外，計算了加速度響應，統計后的加速度均方根值見表5。加速度響應計算結果表明，從擾動源安裝位置到相機安裝界面，加速度響應呈下降趨勢，說明結構系統對外擾動有一定的衰減作用。

表5 加速度均方根值Table 5 RMS of Acceleration gn

3．3 與傳統時程積分法的對比

首先，對比了本文的方法與傳統時程積分方法的時域曲線。圖9為采用傳統時程積分方法計算的相機界面轉角位移。對比圖9與圖5、圖7 可以發現，采用傳統時程積分方法計算，轉角位移時域曲線是在一條直線（本文稱為剛體“漂移”）上疊加若干個余弦波，總位移是無限增加的，而本文的方法卻直接獲得穩態時域響應。

然后，對比了本文的方法與傳統時程積分方法的頻譜曲線，選取相機界面RY角位移量作為分析對象。圖10給出了頻譜曲線的對比結果。從圖10可以看出，兩種方法在激振頻率處的響應幅值較為接近，但低頻段（一階共振頻率以下）的頻譜差別很大。這主要是由于傳統時程積分法中剛體“漂移”響應的影響，以及非共振頻率處彈性模態響應在5s的計算時間內不能完全衰減的結果。

圖9 傳統時程積分法計算的相機安裝界面角位移Fig．9 Rotation displacements for satellite camera calculated with traditional time-integration method

圖10 相機界面角位移（RY）的頻譜Fig．10 Frequency spectrum of RYfor the camera

最后，計算了積分時間內的相機界面角位移響應的峰峰值，對比了本文的方法與傳統時程積分方法的計算結果。

表6給出兩種方法的角位移峰峰值對比情況。從表中數據可以看出，當積分時間較長時（如50ms），傳統時程積分方法統計出的角位移峰峰值比本文的方法大，如前者RZ峰峰值約為本文方法的2 倍。過于保守的角位移峰峰值估計，必然對光學載荷成像質量評估和設計帶來不利影響。此外，隨著積分時間的減小，兩者的差別也在減小。

表6 積分時間內的最大角位移峰峰值Table 6 Maximum displacements in the integration time

4 結論

本文通過航天器微振動穩態時域響應分析理論和工程應用研究，得到以下結論：

（1）提出的基于復頻理論的航天器微振動穩態時域響應分析方法，同傳統的時程積分方法比較，對于諧波形式干擾源作用下的航天器微振動時域響應計算，可以完全消除剛體“漂移”和彈性體瞬態效應的影響，直接獲得穩態時域響應，應用也非常簡便。

（2）航天器微振動響應包含剛體運動和彈性變形兩部分的影響，其中彈性體變形引起的響應占主要成分。

（3）相機安裝界面處的加速度響應小于擾動源安裝位置的加速度，說明結構對擾動的傳遞起到了一定的衰減作用。

（4）對于較長的積分時間，傳統時程積分法可能給出較為保守的角位移峰峰值，這給光學載荷成像質量評估和設計帶來不利影響。隨著積分時間的減小，傳統時程積分法計算的響應峰峰值與本文方法的差別有減小的趨勢。

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