數值分析課程教學探討

　　摘要：根據“數值分析”的課程特點，在教學方法、教學手段和加強數值實驗方面做了有益的探索，尤其是在教學中融入了數學建模的思想，以培養學生開拓創新的能力。
　　關鍵詞：數值分析；數值實驗；數學建模
　　數值分析是一門與計算機使用密切結合的、實用性很強的課程。它內容豐富，涉及數學分析、代數、方程和泛函分析等諸多學科，研究方法深刻，有自身嚴密的科學系統。科學與工程中的數值計算已經成為各門自然科學和工程技術科學的一種重要手段，成為實驗和理論并列的一個不可缺少的環節［1］。所以數值分析既是一個基礎性的，同時也是一個應用性的數學學科，與其他學科的聯系十分緊密。那么在平時的教學中，如何取得良好的教學效果呢？本文從以下幾個方面進行探討。
　　一、數值分析課程的教學特點
　　與其它純數學理論課程相比，數值分析除了具備數學的高度抽象性與嚴密科學性的特點之外，又有應用的廣泛性與實際試驗的高度技術性的特點。具體來說，這門課程具有以下的教學特點：
　　1.知識面跨度大［2］
　　數值分析是數學與應用數學、信息與計算科學和統計學專業的必修課程，它廣泛運用多門數學學科的知識，內容包括數值逼近、數值積分、線性代數方程組的直接解法和迭代方法、非線性方程組的計算方法、矩陣特征值與特征向量的計算、常微分方程數值計算等，涉及數學分析、代數學、微分方程、泛函分析等眾多數學理論。
　　2.有可靠的理論分析［2］
　　能任意逼近并達到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數值穩定性，還要對誤差進行分析。
　　3.注重理論與應用的結合
　　與傳統數學課程強調理論分析和邏輯推導不同，數值分析課程更注重運用這些理論構造適合計算機執行的數值方法，要根據計算機特點提供實際可行的有效算法。數值分析主要研究那些在理論上有解而用手工無法計算、必需借助計算機求解的數學問題。它的許多理論與方法本身并不是數學學科的產物，而是以“計算”為目標發展起來的。
　　二、教學體會
　　針對數值分析課程的特點，筆者認為在教學中應注重以下幾個方面：
　　1.教學方法上注重數值思想的傳授
　　計算方法這門課程最主要闡述的思想就是“近似計算”的思想。在實際的計算過程中，有許多問題的計算量非常龐大，簡單的筆算費時費力，借助計算機可以快速解決這些問題。但由于計算機本身位數的限制，以及其它誤差影響，只能進行近似計算。
　　（1）“誤差分析”思想。由于是近似計算，那么就存在一定的誤差，所以在計算過程中要分析誤差、控制誤差和比較誤差，只有控制好誤差才能找到好的近似值。誤差是衡量近似計算結果好壞的一個標準，例如，在求解線性方程組直接法時，通過誤差分析可以確定方程組是病態的還是良態的，只有良態的方程組才能保證解的準確性。通過分析誤差可以判斷算法的穩定性、收斂性及收斂速度。由此可見誤差分析是非常重要的。
　　（2）逼近和近似思想。函數逼近是數值分析方法中的主要內容之一，許多數值方法都依賴于函數逼近的思想。如，各種插值方法、數值微分和數值積分、微分方程數值解等等。函數逼近中常常采取的各種近似，利用插值函數對數值近似處理，讓學生意識到數值分析課程不是在簡單地做數學練習，而是在訓練通過對原問題的分析，如何利用已有的數學知識和工具去逼近和近似原來問題的解。逼近和近似思想作為一種全新的思維方式，它使學生認識到：不能解析或精確求解問題并不可怕，可怕的是不會和不敢利用已學數學知識去近似、簡化原來的問題，從而獲得原來問題的近似解答。
　　（3）“離散化”思想［6］。把求連續變量問題轉化為求離散變量問題，稱為“離散化”。一個連續的數學問題要實現上機計算，必須先進行離散化。在工程計算中，常常需要求解連續性問題，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很難找到解析解，所以數值求解微分方程是計算方法中的一個重要的內容。數值求解微分方程并不是依靠計算機給出微分方程的解析形式，而是依靠它近似給出微分方程在指定點的函數值。在引人離散化思想對問題離散后，可以采用各種數值方法來求解各點函數的值。通過離散化思想，原來的連續性問題變成了一個離散問題。離散化思想是數值計算的一個基本思想，現有的數值計算，幾乎完全依賴于對問題的離散化解決。離散方法一直是數值分析研究中一個很重要的方面。
　　（4）“迭代”思想［5］。迭代是計算機中重要的概念，也是數值分析方法中的重要的概念。在數學建模過程中，對結果可能性的猜測可以在很大程度上幫助我們在建模方向上進行選擇，使我們少走許多彎路。由于迭代方法大都只有有限的收斂區間，所以如何利用已有的信息對解進行猜測是很重要的一點，這依賴于學生在實踐中能夠綜合運用數學分析理論和各種方法的經驗。許多連續問題在轉化為離散問題后，利用迭代法可以求解離散問題。
　　2.多媒體課件與板書相結合的教學手段［3］
　　使用多媒體教學方法，能增大教學容量，提高教學效率，有利于解決重點和難點問題。多媒體教學可以在一定程度上突破時間和空間的限制，充實直觀內容，能夠較徹底地分解知識技能信息的復雜度，減少信息在大腦中從形象到抽象，再由抽象到形象的加工轉換過程，充分傳達教學意圖，并可以通過計算機的豐富表現手段突出教學重點。如，龍格現象可以用屏幕動態的顯示在哪個區間收斂，使用多媒體教學可以幫助教師在課堂上根據學生的信息反饋，進行現場分析和答疑，以人機對話方式靈活方便地進行啟發式教學。同時，精彩的多媒體課件也能激發學生的興趣，提高學生的主動性。
　　3.加強數值實驗，培養學生解決實際問題的能力
　　上機實驗課是數值分析區別于其他數學課的明顯之處。上機課的目的主要在于培養學生的實踐和編程能力，將課堂上學到的數值分析方法理論應用到具體的實例中，這是一個消化課堂上學習的知識點的過程。學生針對同一個問題可以嘗試不同方法去解決，并且加以比較，以此來驗證各種方法的優缺點。數值分析中的問題僅靠課堂教學、理論推導是很難講明白的。可以安排一定的實驗課，使學生在實際的計算過程中，通過畫圖或列表等比較的方式對課堂的知識加深理解。許多工程技術學科中的問題都需要利用數值分析課程的知識，如果能夠讓學生參與到解決實際問題的實踐中，必將對數值分析課程的教學起到積極的推動作用。
　　4.在教學中融入數學建模的思想
　　應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分折和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。數學建模是聯系數學與實際問題的橋梁，是數學在各個領域廣泛應用的媒介，是數學科學技術轉化的主要途徑，數學建模在科學技術發展中的重要作用越來越受到數學界和工程界的普遍重視，它已成為現代科技工作者必備的重要能力之一。在數學建模過程中，必然要有數學模型的求解，其中很多數學模型的求解要用到數值分析課程中所涉及的算法。比如，2009年全國大學生數學建模競賽A題，其中有一步就要用到曲線擬合，如果上課時學生沒有明白什么是曲線擬合，也不知道擬合可以用哪種方程，那么得到的模型不一定合理，導致事倍功半。所以在教學中融入數學建模的思想是十分必要的。實踐證明，通過對《數值分析》的學習，大大加深了學生對課程內容的理解，也激發了學生學習的積極性和主動性，鼓勵了部分優秀學生組成團隊積極地參加建模競賽［7］，確實提高了學生的開拓、創新能力。
　　三、結 語
　　愛因斯坦有句名言：“興趣是最好的老師。”充分激發學生的學習興趣是優化課堂教學的最根本、最有效的途徑之一。所以，激發學生的學習興趣，營造寬松的課堂氣氛，是提高課堂效率的最佳方法。最后應制定合理的考核辦法，督促學生學習，提高學生學習的積極性。同時，還可以督促學生去看一些參考書。由于數值分析涉及到的知識面很廣，這也使得它的內容靈活多變。多看參考書是學好這門課程的重要一環。
　　參考文獻：
　　［1］ 關治，陸金甫.數值分析基礎［M］.北京：高等教育出版社，1998.
　　［2］ 李慶揚，王能超，易大義.數值分析（第4版）［M］.武漢：華中科技大學出版社，2006.
　　［3］ 宋松和，等.高等數值分析課程教學改革探討［J］.高等教育研究學報，2008，31（4）：66-67.
　　［4］ 趙景軍，吳勃英.關于《數值分析》教學的幾點探討［J］.大學數學，2005，21（3）：28-30.
　　［5］ 王曉鋒，李靜.計算方法課程教學探討［J］.高師理科學刊，2007，27（6）：36.
　　［6］ 孫亮.數值分析方法課程的特點與思想［J］.工科數學，2002，18（1）：84-86.
　　［7］ 董立華.關于《數值分析》課程的教改實踐［J］.德州學院學報，2007，23（6）：99-10