一道高考解三角形題的簡析

　　2011年山東高考數學（理科）試題第17題：在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知=.（1）求的值；（2）若cosB=，b=2，求△ABC的面積S.
　　本題在知識上主要考查解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式及三角的恒等變形，在方法上主要考查轉化與化歸的思想，在能力上主要考查學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力.
　　一、第一問解題思路分析及解法
　　思路一：由已知條件和正弦定理進行邊化角，轉化為三角函數的變形和化簡問題解決.
　　解法1：由正弦定理，可設===k，（k＞0），則==，∴=.即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB，化簡得sin（A+B）=2sin（B+C）.又A+B+C=π，∴sinC=2sinA，即=2.
　　思路二：由已知條件和余弦定理進行角化邊，轉化為邊的關系式化簡，再應用正弦定理即可解決問題.
　　解法2：由=，得（cosA-2cosC）b=（2c-a）cosB.由余弦定理，得（-2·）b=（2c-a），化簡得c=2a.由正弦定理，得=，∴==2.
　　思路三:把已知條件化積（cosA-2cosC）b=（2c-a）cosB，整理為bcosA+acosB=2（bcosA+ccosB），再由△ABC的射影公式c=bcosA+acosB和a=bcosC+ccosB，轉化為邊的關系式，最后應用正弦定理即可解決問題.
　　解法3：由=，得（cosA-2cosC）b=（2c-a）cosB.整理，得bcosC+acosB=2（bcosC+ccosB）.又△ABC的射影公式c=bcosA+acosB和a=bcosC+ccosB，得c=2a.又正弦定理=，∴==2.
　　思路四：由已知條件和正弦定理進行邊化角，轉化為（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB，再利用A+B+C=π把B消去，最后進行三角函數的變形和化簡.
　　解法4：由正弦定理==，得=，∵=，∴=，即（cosA-2cosC）sinB=（2sinC-sinA）cosB.又A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C），cosB=-cos（A+C）.∴（cosA-2cosC）（sinAcosC+cosAsinC）=（2sinC-sinA）（-cosAcosC+sinAsinC）.化簡，得sinC=2sinA，即=2.
　　二、第二問解題思路分析及解法
　　思路一：由已知條件和余弦定理，求出a與c的值，再由同角三角函數的關系求出sinB，代入三角形的面積公式S=acsinB即可.
　　解法1：由=2，得c=2a.由余弦定理b=a+c-2accosB，cosB=，b=2，∴a+4a-a=4，即a=1，c=2.又cosBq0Ffx5pISf4D9hiQWPiAXSN5YQCo9jCm+7zIoVa2CpI==，0＜B＜π，∴sinB==.∴S=acsinB=·1·2·=.
　　思路二：由已知條件和射影公式，求出a與c的值，代入求三角形面積的海倫公式即可.
　　解法2：在△ABC中，射影公式a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=bcosA+acosB.由=2，得c=2a.
　　又cosB=，b=2，∴a=2cosC+a，2=acosC+2acosA，2a=2cosA+a.消cosA，cosC，得a=1，c=2.
　　又p=（a+b+c）=，∴S==.
　　思路三：由射影公式、正弦定理和同角三角函數關系，求出a與c的值，代入三角形的面積公式即可.
　　解法3：由=2，得c=2a.又cosB=，b=2和△ABC的射影公式c=bcosA+acosB，得2a=a+2cosA，即cosA=a.由正弦定理=，得sinA=a.又sinA+cosA=1，∴a+a=1，即a=1，c=2.又c邊上的高h=asinB=，∴S=ch=·2·=.
　　思路四：由正、余弦定理得sinB=sinA+sinC-2sinAsinCcosB，再結合cosB=和sinC=2sinA，求出sinA、sinC、a，進而確定三角形的面積.
　　解法4：由正、余弦定理，得sinB=sinA+sinC-2sinAsinCcosB，又sinC=2sinA和cosB=，∴sinB=4sinA，即sinA=，sinC=.又正弦定理=和b=2，得a=1.∴S=absinC=·1·2·=.
　　綜上所述，本題是把三角函數中同角三角函數關系、兩角和的正弦公式、誘導公式和解三角形中的正余弦定理、三角形的面積公式綜合起來命題，融入了化歸與轉化、方程的思想.本題雖然是解答題的第一道大題，但思維容量大、解題方法靈活，既可以用正、余弦定理和三角形面積公式通性同法來解，又可以用射影公式和求三角形面積的海倫公式特殊方法分析，考查學生綜合應用知識和方法分析解決問題的能力，是一個難度適中的好題.