例說分類討論思想在數學新教材習題中的滲透

　　摘 要： 新課程實施的背景下，高中數學對學生的考查，不僅僅局限于“雙基”的考查，而更重視對學生的數學思想方法的考查.數學思想方法是指導正確解題的核心，是解題的靈魂，只有掌握了數學思想，才能真正理解數學知識的內涵.而分類討論思想方法是高中數學中最基本的思想方法，在新教材中各處都有相應的滲透和體現，稍加引申就能加深對思想方法的理解與深化.
　　關鍵詞： 新課程 分類討論思想 數學新教材習題 滲透
　　
　　新課程實施的背景下，高中數學對學生的考查，不僅僅局限于“雙基”的考查，而更重視對學生的數學思想方法的考查.數學思想是指人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題，通常混稱為“數學思想方法”.常見的數學四大思想方法為：函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合.數學思想是學生必須具備的基本數學素養.數學思想是解題的靈魂，指導正確解題的核心，只有掌握了數學思想，才能真正理解數學知識的內涵.
　　分類討論思想方法是高中數學中最基本的思想方法，它根據所研究的問題的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，按不同情況分類，然后逐一研究解決.其本質為“化整為零，積零為整”；原則為標準相同，不重不漏.其步驟是：①明確對象的全體，②確定分類標準，③科學分類，④逐類討論，⑤歸納小結，⑥得出結論.其好處為分類討論思想可以提高全面考慮問題的能力，形成周密嚴謹的數學素養，對形成理性思維、發展智力具有基礎性作用.隨著新課改的實施，在新教材中各處都有相應的滲透和體現，稍加引申就能加深對分類討論思想方法的理解與深化.本文以人教版課程實驗教科書（A）必修一為例，初探分類討論思想在新課程實施中的滲透.
　　例一：（12頁，B組3題）
　　設集合A={x|（x-3）（x-a）=0，a∈R}，B={x|（x-4）（x-1）=0}，求A∪B，A∩B.
　　分析：集合A中的條件a∈R，就已經告訴我們A中的元素與a的取值有關，分析問題時候注意此條件，就不難發現要對a的取值進行討論.
　　解：（1）當a=3時，A={3}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B=?覫.
　　（2）當a=4時，A={3，4}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B={4}.
　　（3）當a=1時，A={3，1}，B={4，1}，A∪B={1，3，4}，A∩B={1}.
　　（4）當a≠1，3，4時，A={3，a}，B={4，1}，A∪B={1，3，4，a}，A∩B=?覫.
　　備注：在講解過程中，注意為什么需要分類討論及分類討論的原則.如果不對a進行討論，在進行集合的交并運算的時候，就不符合集合中元素的互異性.同時也加深我們對集合中元素的性質的理解.
　　變式：（44頁，A組4題）
　　A={x|x=1}，B={x|ax=1}，若B?哿A，求a的值.
　　解：（1）當a=0時，B=?覫，符合B?哿A.
　　（2）當a≠0時，B={}，A={-1，1}，
　　∵B?哿A，
　　∴=-1或者=1，
　　∴a=-1或1.
　　綜上所述：a=0，-1，1.
　　例二：（44頁，A組9題）
　　已知函數f（x）=4x-kx-8在［5，20］上具有單調性，求實數k的取值范圍.
　　分析：函數f（x）在［5，20］上具有單調性，但是單調性不明確，有增減兩種可能，進而需要進行分類討論.
　　解：函數f（x）=4x-kx-8的對稱軸為x=.
　　（1）當函數f（x）=4x-kx-8在［5，20］為單調遞增時，
　　有≤5，解得k≤40.
　　（2）當函數f（x）=4x-kx-8在［5，20］為單調遞減時，
　　有≥20，解得k≥160.
　　綜上所述，實數k的取值范圍是k≤40或k≥160.
　　備注：通過這道題向我們滲透了單調性中求參數取值范圍的問題，仔細分析，充分利用這道題，我們可以進一步引申出有關二次函數中的相關問題.
　　變式：1.已知函數f（x）=4x-kx-8在［5，20］上具不具有單調性，求實數k的取值范圍.（也可以利用補集的方法）
　　2.求函數f（x）=4x-kx-8在［5，20］上的最小值（最小值，最值）.
　　3.求函數f（x）=4x-8x-8在［a，a+1］上的最小值（最大值，最值）.
　　4.函數f（x）=4x-kx-8在區間［5，20］上的最大值為2，求k的值.
　　以上只是一些比較簡單的變式，還可以有其他的變式.但是我們通過這些簡單的題對分類討論思想加深了理解，同時也學到了關于一元二次函數有關參數范圍問題的解題方法.
　　例三：（60頁，B組第一題和75頁，B組第2題）
　　（1）求不等式a＞a（a＞0，且a≠1）中的x的取值范圍.
　　（2）若log＜1（a＞0，且a≠1），求實數a的取值范圍.
　　分析：以上兩題考察的是指對數函數的單調性，底數都不確定，所以需要對底數做討論.
　　解：（1）1°當a＞1時，有2x-7＞4x-1，解得x＜-3;
　　2°當0＜a＜1時，有2x-7＜4x-1，解得x＞-3.
　　綜上所述，當a＞1時x的取值范圍是x＜-3;當0＜a＜1時，x的取值范圍是x＞-3.
　　（2）1°當a＞1時，log＜1恒成立;
　　2°當0＜a＜1時，log＜1=loga，∴0＜a＜.
　　所以實數a的取值范圍是{a|0＜a＜或a＞1}.
　　分析：在指對數函數的教學中，一直要滲透底數對函數的性質的影響，養成良好的分類討論的習慣.
　　變式：已知x滿足a+a≤a+a（a＞0，a≠1），函數y=log·log（ax）的值域為［-，0］，求a的值.
　　解：由a+a≤a+a（a＞0，a≠1）?圯（a-a）（a-a）≤0?圯x∈［2，4］
　　由y＝log·log（ax）?圯y=（logx+）-
　　∵y∈［-，0］?圯-≤（logx+）-≤0?圯-2≤logx≤-1，
　　∴2≤x≤4
　　①當a＞1時，logx為單調增函數，
　　log2≤logx≤log4，log2=-2且log4=-1，無解.
　　②當0＜a＜1時，logx為單調減函數，log2≥logx≥log4，
　　∴log2=-2且log4=-1?圯a=.
　　數學教學不應僅僅是單純的知識傳授，而應在講知識內容的同時注意對其中的數學思方法加以提煉總結，所以，我們可以在基礎知識的教學過程中實時地滲透數學思想方法，揭示提煉思想方法，深化和總結思想方法，使之能逐步被學生掌握并對他們發揮指導作用.在新教材中處處都有分類討論思想方法的滲透，同時其他的思想方法也處處都有滲透，只要我們細心留意，就能更好地服務于教學.