復變函數與積分變換課程教學方法探討

　　復變函數與積分變換是高等數學的后續課程，它的許多理論與方法不僅給數學的許多分支提供一種重要的工具，而且在其他自然科學和各種工程領域特別是信號處理及物理學等的研究方面有著廣泛的應用。因此，它是一門重要的基礎課，學習這門課程對學生來說是非常重要的。但在教學過程中，學生常常反應課程難理解，經常與高等數學知識點相混淆，更不了解該課程與專業課有何關系，而且復變函數與積分變換的實際授課時數相對比較少，有限的課時內教師如何在教授課程中滲透復變函數與積分變換理論知識的歷史背景、發展過程，如何把“復變函數與積分變換”與“高等數學”相融合，如何使學生既掌握理論與方法，又了解知識的應用呢？這個難題亟待解決。下面就結合課程教材、大學生的心理特點與學習特點，以及我院學生的實際情況，對復變函數與積分變換課程的教學方法進行如下探討。
　　一、激發學生的學習積極性
　　興趣是最好的老師。只要有了學習的興趣，就有了學習的動力，此時困難也不再成為負擔。要使學生喜愛復變函數與積分變換這門課程，教師從第一節課開始就要抓牢著學生的興奮點。在教學過程中，不僅要清晰地向學生講述該學科的基本知識，而且應該幫助學生建立起該學科與學生自身學科的聯系。讓學生認識到本課程在培養方案和專業課程體系中占有十分重要的地位和作用。同時也要讓學生認識到數學不僅是一種“工具”和“方法”，同時也是一種思維模式，即“數學思維”；不僅是一種知識，更是人的一種素質，即“數學素質”。在課堂上，盡量結合學生的專業，利用復變函數與積分變換所產生的實際背景及其應用，如解析函數在平面向量場問題中的應用，又如信號如語音、音樂、圖像、金融數據等的分析、加工、識別、傳輸和存儲等問題，使得那些常常懷疑學習這些內容又有何用的學生消除疑慮，從而使這部分學生從被動學習轉向主動學習。除與專業結合以外，還可以結合現實介紹課程在其他方面的實際應用，這樣一來，學生就知道了課程在實際中應用確實廣泛，從而極大地提高了學習興趣、積極性和主動性。
　　二、注重理論背景與思想方法
　　數學理論演變的過程是一部讓人很感興趣的數學歷史，因為從中可以再現數學大師們思考問題的方式，可以窺視他們是如何探索真理的，從而啟發學生怎樣去思考問題。基于這一點，學生還是很有必要來學習理論的演變的。但結合學生的實際情況，他們并非是數學專業的學生，所以很多理論的推導證明不需要每一步都明明白白。因而，在課堂教學中，教師對理論的推導證明要把握好度，并不是每個理論的推導都要講解，就具體講解某一個定理的推導時，教師要明確講解的目的是讓學生掌握證明的每個細節，還是讓學生了解證明的思想方法。對于非數學專業的學生而言，我認為大多數時候，理論推導的細節并不是最重要的，重要的是給學生講解證明過程中的想法，多年后，很少有學生還會記得那些理論推導的細節，但想法對于學生來說，會時常浮現在腦海，可以運用在分析專業問題中，也可以運用在日常生活中。因而注重理論背景與思想方法，淡化理論的推導細節不僅符合工科學生側重于應用的特點，而且會在一定程度上降低學生學習該課程的難度，提高學生學習該課程的積極性。并且在教學過程中，只要教師把握好理論推導的度，那么學生并不只是學到了知識，還學到了對他們一生有益的思想方法。這樣一來，不僅節省了一定的課時，而且學生學得更有意義，一舉兩得。
　　三、注重類比
　　類比法是一種創造性的思維方法，在教學中，類比的過程就是培養學生創造性思維的過程。復變函數是高等數學理論的延續和拓展，兩者的區別與聯系貫穿復變函數教學的始終，兩者差異的根本在于極限定義的不同，一元實變函數定義域是一維的，求極限是沿數軸方向的逼近問題，復變函數定義域是二維的，其極限定義的要求比一元實函數要強，是沿平面各個方向（包括各種曲線）的逼近。教學中常常將兩類函數作對比，便于學生加深對實函數的理解，進而更清楚地認識復變函數，解決學生將兩者混淆，甚至認為其晦澀難懂的問題。另外，在積分變換教學中也可以采用類比建構的方法對比傅立葉變換和拉普拉斯變換兩者的區別與相似之處:傅立葉變換是在函數絕對可積的條件下定義的，拉普拉斯變換是在更寬泛的前提下給出的，拉氏變換是傅氏變換的拓展，傅氏變換是拉氏變換的一種特例，但兩種變換的實質都是映射，是把時間域映射到頻率域，逆變換則相反。這樣通過比較異同之處，可使學生對兩種積分變換有更好的理解和掌握。
　　四、注重課程與專業相結合
　　數學雖然有用且重要，但對于學生來說，學的時候未免枯燥，因而教師在教學的過程中可結合學生的專業，對某些章節可進行特色化處理。如以學生為通信工程專業為例，對此專業的學生而言，今后的學習和工作中，積分變換比復變函數有著更多且更為密切的應用。傅氏變換多應用于信號分析，拉氏變換則常見于分析系統。在上課時，首先強調該課程在信息與通信等專業的重要性，介紹傅氏變換相位和頻譜圖之際，簡單地向學生介紹了傅氏變換的一些發展情況，使學生覺得傅氏變換確實有用，很重要，是基礎，并且與自己的信息與通信工程專業特點密切相關。同時，把積分變換部分的內容與學生們所學專業課中需要的知識糅合在一起，切實解決了數學理論與專業課相脫節的問題，使得它們相互補充，相得益彰，對于傅氏變換內容強調它的工程意義。其次，對于單位脈沖函數和單位階跳躍函數等函數，盡量避免在理論上的過多介紹，重點介紹它們的應用和性質，并闡明工程中大部分信號都可以通過它們來進行分解，并且舉出具體的例子。最后，在拉氏變換講授過程中，對專業課和工程中常見的函數的拉氏變換做一些重點介紹，并要求學生熟練掌握拉氏變換的一些性質，為今后的專業課的學習打下良好的基礎。
　　五、注重與學生雙向交流
　　在教學活動中，多注重學生主體的意識，尋找適當的切入點或興奮點，以激發學生學習的主觀能動性，以便較好地實現教學目標。在教學活動中，教師應具有主導性。在強調以學生為主的同時，必須加強教師在教學活動中的主導作用。以教師為主導，學生為主體，教與學的關系是以學為主，教是服務于學，啟發于學，促進于學，只有雙方互動起來，才能搞好教與學。如在介紹解析函數的概念時，教師可稍加引導，啟發學生歸納出函數在一點解析與函數在一點可導的關系，以及函數在區域內解析與函數在區域內可導的關系，進一步加深對柯西—黎曼方程作用的理解。這樣，學生既感受到高等數學與復變函數之間的有機聯系，又能真正理解它們的不同。習題課是教學環節中最重要的一環。習題課是理論教學的必不可少的部分，作為理論教學的必不可少的補充。教師可在平時批改作業及課后與學生交流的過程中了解學生學習中的盲點與難點，精心準備習題課。通過習題課，對相關章節進行總結，進一步升華、凝練所講內容。
　　
　　參考文獻：
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　　［2］張元林.積分變換［M］.北京：高等教育出版社，2003.
　　［3］王忠仁，張靜.復變函數與積分變換［M］.北京：高等教育出版社，2006.