一階微分方程學習中的幾個注意問題

摘要 本文分析了求解一階常微分方程時容易產生疑惑的幾個問題，提出了正確處理的方法。

關鍵詞 一階微分方程 通解 積分常數

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

同濟大學版《高等數學》從第五版改到第六版后，常微分方程的內容從最后一章調整到了一元微積分之后，多元微積分之前，內容也有所調整，少了全微分方程的內容。這樣，一階常微分方程的學習內容也從三大類型改為了兩大類型，即可分離變量方程和一階線性方程，這兩類方程的求解方法也是求解齊次方程，貝努里方程，高階可降階微分方程的基本方法，學好這兩類方程的求解，就可以為學好整章書打下堅實的基礎。下面，就求解兩類方程的學習中容易出現的問題做一些分析。

1 求解可分離變量微分方程的注意問題

在求解可分離變量方程中，比較容易引出問題的地方是把變量分離之后做積分時，積分常數是用還是用，兩者都是任意常數，一般認為，如果積分后出現了變量的對數時，常數就用，這樣可以使后續的化簡較為簡單，但實際情況并不如此，我們以文獻[1] 的例題為例。

對于積分后不出現變量的對數的可分離變量方程，常數用即可。

在求解一階線性微分方程 + （） = （）的學習中，由于文獻[1] 是在推導出求解公式后，再用常數變異法去求解緊接的例題，而沒有直接用公式解，這無疑給學生（特別是有些自學能力強的學生）一個錯誤的信息，即只能用常數變異法去求解一階線性微分方程而忽略用推導出的公式這一強大的工具去求解，這對于學習求解一階線性微分方程來說是不完美的，最好的辦法是用常數變異法解完后，再用公式解一次，讓學生體會兩種方法的優劣而選用自己認為合適的一種。

而且，在公式的使用上，有兩個地方需要注意，一是公式里出現的所有不定積分都不帶常數，因為推導公式時所有的積分常數與積分是分開寫的，這才出現常數變異法，如果常數放在積分里面，就無法常數變異了，再一個是凡出現型的積分結果都不帶絕對值，如果帶上絕對值，就會影響到接下來的化簡，我們以例題來說明。

對上面的解答作以下的分析：如果積分的結果用，那么②就應該為[]，積分號里的∣∣與不能約去，必然影響到積分的運算。但仔細觀察，如果>0，結果就是[]，如果<0，結果就是[]，即[，由于是任意常數，-仍為任意常數，還是寫為，這樣不管是正還是負，都能寫成[]，即積分的結果絕對值符號是可以消去的，類似的問題也可以這樣來處理。

上面的解答中，的結果如果是不定積分的計算，結果應是，但在解一階線性微分方程的公式里，就直接寫成，這樣解答過程就簡化了許多。

綜上所述，在解一階微分方程的過程中，無論是分離變量方程還是一階線性方程，當積分的結果出現對數時，不寫絕對值可以使化簡的過程簡單，掌握了這一點，一階微分方程的求解就變得容易了。

參考文獻

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2] 朱來義.微積分中的典型例題分析與習題（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009.