線性代數(shù)主線式教學探究

摘要 本文從大學生的認知特征和線性代數(shù)自身的特點出發(fā)，結(jié)合教學實踐探討了啟發(fā)式教學，介紹了針對線性代數(shù)的主線式教學思路，同時論述了在線性代數(shù)教學過程中培養(yǎng)學生的科學計算能力和實際應(yīng)用能力的重要性。

關(guān)鍵詞 認知特征 啟發(fā)式教學 主線式教學思路

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

0 引言

線性代數(shù)是大學生進入大學后接觸到的第一門代數(shù)課程，它為討論矩陣計算、代數(shù)特征值等問題奠定基礎(chǔ)，也為計算機應(yīng)用、數(shù)字信號處理、網(wǎng)絡(luò)開發(fā)等等工程領(lǐng)域的研發(fā)工作提供有力的工具，但是如何在有限的教學時間內(nèi)（一般30～50學時），讓學生理解并掌握行列式、矩陣、向量（組）及其數(shù)值計算并對線性空間有基本的認識，培養(yǎng)他們的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、以及數(shù)學建模能力和數(shù)值計算能力并非易事。因此，需要對學生的特點和課程本身的特殊性有足夠的認識，在此基礎(chǔ)上進行有機的整合，才能快速而高效地完成教學工作。

1 大學生的認知特征

從教育心理已經(jīng)得知，人的學習能力是具有年齡特征的。比如粗略地講，人從6歲到14歲左右是記憶的最佳期，這時的記憶力常常表現(xiàn)為善于死記，過目不忘，這種能力在15歲以后逐漸衰退。15歲以后的記憶越來越依賴于理解性記憶。18～19歲的大學生正處在由死記硬背的記憶向理解性記憶的過渡中，有學習熱情但學過之后如不加深理解記憶則遺忘較快，如果這時不能正確處理好二者的關(guān)系，將會嚴重影響以后的學習，甚至會對學生造成心理傷害，進而給社會和學生的家庭帶來不可彌補的損失。

線性代數(shù)課程一般在大一下學期開設(shè)，此時學生剛適應(yīng)大學生活，正處在由中學生的學習習慣向大學生的學習習慣轉(zhuǎn)變。在教學的過程中應(yīng)重點指導(dǎo)學生怎樣理解所學習的知識，在理解的過程中進行記憶，從而減弱時常遺忘帶來的困惑。這一階段經(jīng)常有學生會問學習線性代數(shù)有什么用處？有的老師回答：“現(xiàn)在把基礎(chǔ)打好，將來自然有用”。或者說：“既然各個大學都在開設(shè)這門課程，說明它的用處肯定很大”。這樣就錯失了一次讓學生理解線性代數(shù)的機會，我們完全可以利用方方面面的例子來給學生說明這個問題。比如在測量及其數(shù)據(jù)的處理中會用到矩陣方面的一些簡單例子，可以介紹給測繪專業(yè)的學生；再比如微軟新開發(fā)的Bing搜索引擎就用到了大量的轉(zhuǎn)移矩陣，這可以介紹給計算機等相關(guān)專業(yè)的學生……我們要采用各種方式、方法增加學生對線性代數(shù)的了解，激發(fā)他們的求知欲望。

2 線性代數(shù)課程的特點及授課策略

縱觀線性代數(shù)的各類教輔書籍以及歷年考研輔導(dǎo)資料，無不提及：線性代數(shù)概念多、定理多、符號多、運算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯，知識前后聯(lián)系緊密，對于抽象性與邏輯性的要求高。事實也是如此，但這能為我們學習線性代數(shù)不可逾越的障礙嗎？當然不是！我們一直堅持以學生“理解”為最基本的原則，為此，在采用啟發(fā)式教學方法授課的過程中密切關(guān)注學生的學習狀況，不斷改進教學設(shè)計，提出了“一個問題，三把工具，多種用途”的主線式課堂教學思路。

線性代數(shù)是學生進入大學后接觸到的第一門代數(shù)課程。由學生自己提出問題的可能性不大，因此在開堂第一節(jié)，我們明確提出線性代數(shù)課程的主要任務(wù)是研究如何解線性方程組。對于線性方程組大家都已經(jīng)很熟悉了，那么對于解線性方程組，我們還有哪些問題沒有解決呢？經(jīng)過思考、回顧發(fā)現(xiàn)：第一種是當方程中未知數(shù)個數(shù)較多時，我們不易求解；第二種是當方程中未知數(shù)個數(shù)和方程個數(shù)不相等時，解不易表示。要解決這些問題顯然無法直接入手，因此，從我們最熟悉的二元一次方程組開始進行討論，從而引出二階行列式的概念，進而介紹三階行列式，直至n階行列式。利用Cramer法則，可以解一部分線性方程組，但學生會感覺用行列式計算并不簡單，這時，我們適時地給他們介紹相應(yīng)的數(shù)學軟件，如Matlab等來降低計算復(fù)雜度，消除學生對數(shù)學知識的畏懼感，提高學生的實際動手能力，激發(fā)學生的學習興趣。通過對Cramer法則的討論，學生會發(fā)現(xiàn)Cramer法則用于解線性方程組實際上是有很大的局限性，怎么辦呢？這時學生可以自己提出問題了。

為了解決這個問題，給學生介紹一種新的工具：矩陣。帶著些許疑惑，對矩陣的基本運算進行討論，當清楚了矩陣乘法和線性方程組之間的關(guān)系后，學生的心中隱隱感到了一絲光亮，當學習了逆矩陣之后，學生恍然大悟，原來如此。但緊接著就會發(fā)現(xiàn)，這只是一個表面現(xiàn)象，事實上，它只能解決和用行列式時同樣的問題，做了原地踏步。重新開始吧，回到消元法，我們發(fā)現(xiàn)線性方程組的初等變換和增廣矩陣的行初等變換之間存在著對應(yīng)關(guān)系，由此找到了利用增廣矩陣的行初等變換解一般線性方程組的方法。在這一過程中我們注意向?qū)W生滲透：由消元法開始最后又回到消元法的整個研究過程并不是簡單的回歸原點，而是產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，這就是辨證法中關(guān)于“事物的發(fā)展是螺旋上升，波浪式前進”的基本觀點。到此，仿佛關(guān)于解線性方程組的問題都得到了完美的解決，是不是這樣呢？可以提示學生，從解的角度來考慮。出于對線性方程組解的結(jié)構(gòu)的研究，又引入了第三種工具：向量（組）。進而討論向量組的線性相關(guān)性，線性空間，以及將它應(yīng)用于討論二次型。

通過解線性方程組這樣一個問題，我們把行列式、矩陣、向量（組）三種工具介紹給學生，最后介紹它們在其它領(lǐng)域中的廣泛用途，既為進一步學習矩陣理論等理論課程奠定基礎(chǔ)，也為其它專業(yè)課程的學習鋪平了道路。

3 線性代數(shù)與實踐相結(jié)合增強教學效果

我們以解線性方程組為依托，將行列式、矩陣、向量（組）、特征值、特征向量、初等變換、線性空間、線性變換以及相似矩陣和二次型等概念有機地聯(lián)系起來，有利于學生從理論上進行理解性記憶，有助于培養(yǎng)學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力，而有意識地把數(shù)學軟件引入線性代數(shù)教學，使之與線性代數(shù)的有關(guān)理論、方法相結(jié)合，可以增強線性代數(shù)的教學效果，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力和數(shù)值計算能力。我們除了在課堂上講授Matlab的一般知識之外，還開設(shè)了《工程數(shù)學》在計算機上的實現(xiàn)（Matlab版），通過切身體會，學生對線性代數(shù)中一些比較抽象的內(nèi)容有了更加深入的理解；通過在不同領(lǐng)域的應(yīng)用，學生對線性代數(shù)的重要性認識更加清楚，增強了學習動力；通過Matlab應(yīng)用降低了計算的復(fù)雜度，增強了學生的信心。總之，通過實踐學生對理論的理解更加深入，實際應(yīng)用能力得到了顯著提高。

基金項目：河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃項目（編號：082300410240）；信息工程大學理學院第四批教學建設(shè)立項項目（編號：LY12JG039）

參考文獻

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