圓曲線間緩和曲線任意點坐標計算

摘 要:本文主要論述了圓曲線間緩和曲線上任意點坐標的計算方法及實例應用。

關鍵詞:圓曲線 緩和曲線 回旋曲線 坐標計算

中圖分類號:P226文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2012)04(b)-0097-02

1 引言

按直線—緩和曲線—圓曲線—緩和曲線—直線的次序組合而成的線型組合為基本型，此種線型的線路坐標計算已多有論述。而對于高等級公路，特別是高速公路，為保證汽車在轉彎時的安全、穩定、消除曲率突變以及增加線形美觀，在曲線的線型設計上，采用了以緩和曲線為主體的線型結構，如緩和曲線連接兩個同向圓曲線的線型組合形式，這也使得曲線的計算和測設更為復雜，本文就此類緩和曲線任意點坐標計算進行了推導。

2 緩和曲線的基本特征

按基本型的線型組合，緩和曲線嵌入直線與圓曲線間后，其緩和曲線的曲率半徑由無窮大(與直線連接處)逐漸變化至圓曲線半徑R(與圓曲線連接處)。緩和曲線上任一點的曲率半徑Rt與該點至曲線起點曲線長lt成反比，即:Rt=C/lt(C為常數，為曲線半徑變化率)。當lt等于所采用的緩和曲線長度l0時，曲率半徑Rt等于R，故C=R×l0，對于曲線上任意一點則有Rt×lt=R×l0。如圖1所示，建立以直緩點ZH為原點，過ZH點的緩和曲線的切線為X軸的直角坐標系。文獻[1]中推導了緩和曲線任意點坐標及緩和曲線角計算公式，見公式(1)、(2):

(1)

(2)

(3)

當曲線左旋時，x為正、y為負;曲線右旋時，x、y均為正。

3 兩圓曲線間的緩和曲線坐標計算

由直線—緩和曲線(H1)—圓曲線(R1)—緩和曲線(H)—圓曲線(R2)—緩和曲線(H2)—直線構成的平面曲線，其中由圓曲線(R1)—緩和曲線(H)—圓曲線(R2)構成的平面曲線坐標計算為一般文獻中未涉及此問題。連接兩圓曲線的緩和曲線仍是回旋曲線，曲線半徑變化率為:

C=lR1R2×R1R2/(R1-R2)

其中:lR1R2為連接兩圓曲線的緩和曲線長度;

R1、R2為相鄰圓曲線半徑，且R1>R2。

此類連接兩圓曲線的緩和曲線沒有起點(即直緩點ZH)，其只為緩和曲線中半徑由R1變為R2段。因此，計算此段緩和曲線的坐標的首要問題是，找出緩和曲線起點，虛擬地恢復基本型線型組合即由直線—緩和曲線—圓曲線構成的平面曲線，再用公式(1)、(2)計算出緩和曲線任意點坐標。又知緩和曲線的曲率半徑由無窮大逐漸變到圓曲線半徑R，由于R1>R2，則知緩和曲線的起點應在圓曲線半徑大的一端(即圓曲線R1端)，此時圓曲線半徑R=R2。這樣虛擬的恢復緩和曲線起點為ZH(直緩點)，并構成基本型曲線，如圖2所示。由C=lR1R2×R1R2/(R1-R2)及C=l0×R2計算出緩和曲線實際總長l0(HY至ZH點)。因此，YH點至ZH點的曲線長:l1=l0-lR1R2，由l0、l1及公式(1)、(2)可計算出HY、YH點坐標的獨立坐標。

設P(xi，yi)為緩和曲線上任意一點，則其至YH點曲線長為li，則至ZH點曲線長為(li+l1)，由公式(1)、(2)、(3)推導出連接兩圓曲線的緩和曲線任意點坐標及緩和曲線角計算公式為:

(4)

(5)

(6)

根據獨立坐標與大地坐標換算關系，由坐標轉換公式⑺、⑻計算出緩和曲線上任意點P(xi，yi)的大地坐標(Xp，YP)。

Xp=X0＋xicosα－yisinα (7)

Yp=Y0＋xisinα＋yicosα (8)

當已知此段緩和曲線上任意一點P(xi，yi)坐標時，可依據公式(9)、(10)求出緩和曲線起點(虛擬點)的坐標(X0，Y0)。

X0=Xp－xicosα＋yisinα (9)

Y0=Yp－xisinα－yicosα (10)

注:當曲線左旋時，x為正、y為負;曲線右旋時，x、y均為正。

4 工程實例

湖北省十漫高速公路花園隧道為一條分離式隧道，隧道左線起訖里程為ZK91+705～ZK92+130，全長425m;右線起訖里程為YK91+705.227～YK92+133.426，全長428.199m，由于在選線時要與另一長隧道相連及地形所限，隧道左、右線均位于兩圓曲線間的緩和曲線上，其右線一段平面曲線設計數據(見表1)，緩和曲線長lR1R2=151.385，R1=2600m，R2=1640m，求緩和曲線虛擬起點(ZH)的坐標和曲線上任意一點Y3K91+900[P(Xi、Yi)]點的坐標。

因R1>R2，緩和曲線起點在圓曲線R1端，此時圓曲線半徑R=R2。恢復以ZH點為原點的直角坐標系，如圖3所示。

4.1 緩和曲線虛擬起點(ZH)的坐標求解

由C=lR1R2×R1×R2/(R1-R2)=151.385×2600×1640/(2600-1640)=672401.7，得緩和曲線實際總長(YH至ZH):l0=C/R2=672401.7/1640=410m，則l1=l0–lR1R2=258.616m。因曲線為左旋，x為正、y為負，由l0、l1和公式(4)、(5)、(6)計算出YH點的獨立坐標:

xYH=258.552、xYH=-4.287、β=2°50′58.3″

依據YH點的獨立坐標、緩和曲線角β、公式(9)、(10)計算出ZH點的大地坐標和獨立坐標與大地坐標夾角α為:

XZH=3668391.204，YZH=37495695.535，α=2°50′58.3″+312°38′25.9″=315°29′24.2″

4.2 緩和曲線任意一點Y3K91+900點的坐標求解

l0=C/R2=672401.7/1640=410m，則l1=l0–lR1R2=258.615m，li=900-820.546=79.454m。因曲線為左旋，x為正、y為負，由l0、l1和公式(4)、(5)計算出所求點的獨立坐標為:

xi=337.826、yi=-9.572

通過所求點的獨立坐標、ZH點的大地坐標、α、公式(7)、(8)計算出Y3K91+900點的大地坐標:

Xp=3668625.407、Yp=37495451.882

5 結語

位于兩圓曲線間的緩和曲線仍是回旋曲線，通過恢復緩和曲線起點(直緩點ZH)使這種曲線的組合變為基本型曲線組合即:直線—緩和曲線—圓曲線的平面曲線，再利用基本公式⑴、⑵計算緩和曲線任意點坐標，再根據坐標轉換而求得大地坐標。使得使用編程便攜式計算器計算更為方便。但在計算時需注意曲線的旋轉方向和緩和曲線所連接圓曲線的起終點里程。

參考文獻

[1]交通工程測量學.成都.西南交通大學出版社.

[2]盧印剛.公路緩和復曲線(卵型曲線)特性的研究及其應用.礦山測量.

[3]曲線測設廣義公式及其應用.北京.中國鐵道出版社.