高職數學教學引入數學建模思想

摘 要 數學建模是為改變傳統高職高等數學教學中存在的內容陳舊和理論脫離實際的缺陷而產生起來的課程，它著重于學生能力和素質的培養、知識的應用和創新。在高等數學教學中引進數學模型，滲透數學建模的思想與方法，不僅能大大激發學生學習數學的興趣，提高他們學習數學和應用數學的能力，而且能夠提升教師的教學水平，豐富現有的教學方法，拓寬課堂教學的內涵，有效提高高等數學的教學質量。

關鍵詞 數學建模；高等數學；教學方法

中圖分類號：G712 文獻標識碼：B 文章編號：1671-489X(2012)09-0055-02

高等數學是高職理、工、經濟、管理等專業的一門必不可少的基礎課程，為其他專業課程的學習以及將來的技術工作奠定必要的數學基礎。然而各類高職院校學生高等數學的學習情況卻不容樂觀，多數學生反映高等數學太難，數學課枯燥，成績不理想，有些學生甚至跟不上教學進度。要想改變這種狀況，高職院校必須對高等數學教學的傳統思想觀念和教學方法加以改革，教師不僅要教會學生一些數學概念和定理，更要教會他們如何運用手中的數學武器去解決實際問題。數學建模就是將現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋和指導現實問題。數學建模對于提高學生運用數學和計算機技術解決實際問題的能力，培養創新能力與實踐能力，培養團結合作精神，全面提高學生的素質具有非常積極的意義。

1 在高等數學教學中滲透數學建模思想的必要性

在高等數學教學中，幫助學生去發現問題、分析問題并想辦法利用所學數學知識解決問題非常重要。在傳統的高等數學教學中，學生基本處于被動接受狀態，很少參與教學過程。教師在教學過程中常常把教學的目標確定在使學生掌握數學理論知識的層面上。通常的教學方法是：教師引入相關概念，證明相應定理，推導常用公式，列舉典型例題，要求學生記住公式，學會套用公式，在做題中掌握解題方法與技巧。當然，在高等數學教學中這些必不可少，但這只是問題的一個方面。目前，高等數學的題目都有答案，而將來面對的問題大多預先不知道答案，這就要讓學生了解如何用數學去解決日常生活中或其他學科中出現的實際問題，提高用數學方法處理實際問題的能力。

在高等數學課程教學中積極滲透、有機融合數學建模的思想方法，積極引導、幫助學生理解數學精神實質，掌握數學思想方法，增強運用數學的意識，提高數學能力，對培養學生的數學素養，全面提升教育教學質量有著積極的實際意義。

2 在教學內容中滲透數學建模思想和方法的探究

事實上，高等數學中很多概念的引入都采用了數學建模的思想與方法，比如，從研究變速直線運動的瞬時速度與曲線切線的斜率出發引入導數的概念，從研究曲邊梯形的面積出發引入定積分概念，從研究空間物體的質量出發引入三重積分概念等。教師在講課過程中要適時、適當、有意識地加以引導，考慮到學生實際的數學基礎，在授課前應有針對性地結合現行教材的各個章節，搜集相關內容的實例，盡可能將高等數學運用于實際生活。講授內容時適當介紹相關的一些簡單模型，不僅能豐富大學數學的課堂內容，而且能很好地活躍課堂氣氛，調動學生的學習積極性。以下就在高等數學實際教學中應用數學建模思想的實例加以說明。

2.1 微分方程

微分方程數學模型是解決實際問題的有力工具，在了解并掌握了常見的常微分方程的建立與求解后引入人口模型：人口增長問題是當今世界最受關注的問題之一。著名的馬爾薩斯模型是可分離變量的微分方程，很容易求解，其解說明人口將以指數函數的速度增長。該模型檢驗過去效果較好，但預測將來問題很大，因為它包含明顯的不合理因素。這源于模型假設：人口增長率僅與人口出生率和死亡率有關且為常數。這一假設使模型得以簡化，但也隱含了人口的無限制增長。Logistic模型也是可分離變量的微分方程，該模型考慮了人口數量發展到一定水平后，會產生許多影響人口的新問題，如食物短缺、居住和交通擁擠等。此外，隨著人口密度的增加，傳染病增多，死亡率將上升，所有這些都會導致人口增長率的降低。根據統計規律，對馬爾薩斯模型作了改進。作為中長期預測，Logistic模型要比馬爾薩斯模型更為合理。

另外，微分方程模型還有很多，例如與生活密切相關的交通問題模型、傳染病模型等。

2.2 零點定理

閉區間上連續函數的性質理論性較強，嚴格的證明在一般的高等數學教材中均略去。零點定理是其中易于理解的一個，該定理有很好的幾何直觀。但其應用在教學中也僅限于研究方程的根的問題。方桌問題：四條腿長度相等的方桌放在不平的地面上，四條腿能否同時著地？這個問題是日常生活中遇到的實際問題，在一定的假設條件下，該問題可抽象為數學問題。通過構造輔助函數，利用零點定理便可得問題答案是肯定的。教學中還可提出若桌子是長方形的，是否結論還成立？利用這個模型，學生不僅了解了數學建模的過程，很好地掌握了閉區間上連續函數的性質，而且提高了學習高等數學的積極性。

此外，與生活實際相關的拉橡皮筋問題、巧切蛋糕問題、登山中的上山下山問題都可歸結為零點定理來建立數學模型。這些模型的建立，對于學生消化理解零點定理甚至介值定理都有很大的益處。

2.3 極值與最值問題

最值問題是實際生活中經常碰到的問題，用導數解決實際生活中的最值問題是高等數學的重要內容，學好導數，重視導數應用是學好高等數學基礎。在講完導數應用的理論內容后，引入光學中的折射定理：光在由一種介質進入另一種介質時，在界面處會發生折射現象。折射現象造成的結果是所謂的“最短時間”效應，即光線會走最短的路徑。經過一定的條件設定，這樣最短時間效應對應的優化問題為求傳播時間的最小值問題，經計算可得光學中著名的折射定理。該定理是學生在高中物理中學習過的重要定理，通過建立數學模型，并利用導數問題加以解決，加深學生對折射定理的認識，并進一步理解導數應用問題。

另外，運輸問題、森林救火費用最小問題、最佳捕魚方案問題等都是生活中的實際問題，這些問題模型的建立、解決都能加深學生對導數應用的理解。

2.4 幾何概率

現實世界中充滿不確定性，研究的對象往往受到諸多隨機因素的影響，因此，建立的數學模型涉及的變量是隨機變量，甚至變量間的關系也非確定的函數關系，這類模型稱為隨機模型。幾何概率模型就是涉及“等可能性”的概率問題。著名的蒲豐問題便是幾何概率的一個早期例子：平面上畫著一些平行線，它們之間的距離均為定值；向此平面投一長度小于平行線間距離的針，試求此針與任一平行線相交的概率。值得注意的是，通過對此問題建立概率模型，可以看到它與某個人們感興趣的量——圓周率有關，然后設計適當的隨機試驗，并通過試驗的結果來確定這個量。隨著計算機的發展，按照蒲豐問題的思路建立起一類新的方法，稱為蒙特卡羅方法，并取得廣泛應用。約會問題也是幾何概型問題，即：兩人相約7點到8點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時就可離去，試求兩人能會面的概率。

合理安排理論教學，恰當引入數學建模的思想和方法，主動引導學生運用所學數學知識去分析和解決實際問題，就能充分調動學生學習高等數學的積極性，讓學生發揮學習的主觀能動性，感受學習高等數學的樂趣。

3 在數學建模活動中提升學生的數學綜合素質

數學建模活動主要包含數學建模課程、數學建模培訓與競賽等。參加過數學建模活動的學生基本能通過采集、整理和分析數據與信息，找出量和量之間的關系，針對問題合理地假設將其轉化為一個數學問題，建立數學模型，利用計算機對所建模型求解，最后對結果進行分析處理、檢驗和評價，從而解決問題，最終完成一篇論文或報告。數學建模活動著重培養學生下面幾項能力：應用數學方法和思想進行綜合分析推理的能力（創造力、想象力、聯想力和洞察力）、數學語言與生活語言的互譯能力、查閱文獻資料并消化和應用的能力、使用計算機及相應數學軟件的能力、論文的撰寫能力和表達能力、團隊合作的能力。

開展數學建模活動是滲透數學建模思想的最重要的形式，它既可以體現課內課外知識的結合，又可以滿足普及建模知識與提高建模能力結合的原則，為培養學生綜合運用數學知識分析和解決實際問題的能力提供了實踐平臺，有效地提升了學生的數學綜合素質。