關于數列通項公式問題探討

摘要：求通項是高考中經常出現的形式，但是這方面的題目形式多變，技巧性較強，導致這一內容成為學生學習數列問題的難點。本文對一些常見的遞推數列求通項的方法進行歸納總結，以希望對廣大中學生朋友們突破這一難點提供一定的幫助。

關鍵詞：數列；通項公式；方法；

中圖分類號：G623.5

一、觀察法

例1：根據數列的前4項，寫出它的一個通項公式：

（1）9，99，999，9999，...

（2）1，1/2，1/4，1/8，...

解：（1）變形為：101- 1，102- 1，103- 1，104- 1，......

∴通項公式為：10n- 1

（2）變形為：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，......，

∴通項公式為：1/2n- 1

觀察法就是要抓住各項的特點，與常見的數列形式相聯系進行變形，探索出各項的變化規律，從而找出各項與項數n的關系，寫出通項公式。

二、定義法

例2：已知數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數列，若函數f（x）=（x- 1）2，且a1=f（d- 1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q- 1），求數列{an}和{bn}的通項公式；

解：（1）∵a1=f（d- 1）=（d- 2）2，a3=f（d+1）=d2，

∴a3- a1=d2-（d- 2）2=2d，

∴d=2，

∴an=a1+（n- 1）d=2（n- 1）；

又b1=f（q+1）=q2，b3=f（q- 1）=（q- 2）2，

由q∈R，且q≠1，得q=- 2，∴bn=b·qn- 1=4·（- 2）n-1 當已知數列為等差或等比數列時，只需求得首項及公差或公比，可直接利用等差或等比數列的通項公式的定義寫出該數列的通項公式。

三、疊加法

例3：已知數列6，9，14，21，30，...求此數列的一個通項。

解：已知a2- a1=3，a3- a2=5，...，an- an- 1=2n- 1，...

各式相加得：an- a1=3+5+...+（2n- 1）=n2- 1

∴an=n2+5

對于可表述成為an- an- 1=f（n）的形式的數列，即可通過疊加的方法消去a2至an- 1項，從而利用的已知求出。

四、疊乘法

例4：設數列 {an}是首項為1的正項數列，且滿足（n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式。

解：∵ （n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，可分解為[（n+1）an+1- nan]（an+1+an）=0

又∵ {an}是首項為1的正項數列，

∴an+1+an≠0，

∴ （n+1）an+1- nan=0，

由 此 得 出 ：a1=2a2，2a2=3a3，...，（n- 1）a（n-1）=nan，這n- 1個式子，將其相乘得：a1=nan，又∵a1=1，∴an=1/n，∵n=1也成立，∴an=1/n（n∈N*）。

對于相鄰的兩項有確定的比例關系的遞推式，可以通過疊乘法消去和，從而利用的已知求出此類數列的通項公式。

五、取倒數法

例5：已知數列{an}，a1=-1， n∈N*，求an =？

解：把原式變形得 an+1- an+1·an= an

兩邊同除以 anan+1得1/an=1/an+1 +1

∴{1/an} 是首項為 -1，d=-1 的等差數列

故an=-1/n

有些關于通項的遞推關系式變形后含有 anan+1項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以 anan+1后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出 an。

六、利用公式 an=Sn-Sn-1（n ≥ 2） 求通項

例 6：已知各項均為正數的數列 {an} 的前 n 項和為 Sn滿足 S1> 1 且 6Sn=（an+1）（ an+2） n ∈ N*，求 {an}的通項公式。

解：由 a1=S1= 解得 a1=1 或 a1=2，

由已知a1=S1> 1，因此 a1=2

又由 an+1= Sn+1-Sn= 1/6 （an+1 +1）（an+1 +2）-1/6 （an +1）（an +2）得（an+1+an）（ an-1-an-3） =0

∵ an> 0 ∴ an-1-an=3從而 {an} 是首項為 2，公差為 3 的等差數列，

故 {an} 的通項為 an=2+3（n-1）=3n-1。

有 些 數 列 給 出 {an} 的 前 n 項 和 Sn與 an的 關 系 式Sn=f（an），利用該式寫出 Sn+1=f（an+1），兩式做差，再利用 an+1=Sn+1-Sn導出 an+1與 an的遞推式，從而求出 an。

七、構造等比數列法

例 7：已知數列 {an} 滿足 a1=1，an+1=2an+1 （n ∈ N*），求數列 {an} 的通項公式。

解：構造新數列 {an+p}，其中 p 為常數，使之成為公比是 an的系數 2 的等比數列，即 an+1+p =2（an+p） 整理得：an+1=2an+p， an+1= 2an+1 ∴ p=1 即 {an+1} 是首項為 a1+1=2，q=2 的等比數列∴ an+1=2·2n-1

∴an=2n-1。

原數列 {an} 既不等差，也不等比。若把 {an} 中每一項添上一個數或一個式子構成新數列，使之等比，從而求出 an。該法適用于遞推式形如 an+1=ban+c 或 an+1= ban+f（n）an+1= 或an+1=ban+cn其中 b、c 為不相等的常數，f（n） 為一次式。

總之，數列是初等數學向高等數學過度的橋梁，而求數列的通項公式又是學好數列知識的關鍵，它具有很強的技巧性。但是由于同學們在剛剛接觸數列知識時，對求數列的通項公式沒有系統的方法，常常感覺無從下手，需要教師和學生共同努力，共同思考，不斷的完善求數列通項公式的方法和技巧，開拓思維，創新學習，逐步樹立學好數學的信心，提高自身的數學素養，并能融會貫通的運用到其他的知識學習中去。

參考文獻：

[1]Cheng Baojuan .Fractional recursive progression item formula of the solution of [J].Education Forum，2012，（31）