房地產投資決策的期權博弈分析

摘 要：近年來隨著房地產行業競爭的日益加劇，基于房地產企業核心競爭力的戰略投資越來越引起房地產企業的重視。在一些資產雄厚的企業中，一家房地產公司可以同時對幾個項目進行投資，這就需要企業充分考慮內部資金的合理分配，項目的投資順序等系列投資決策問題，以使企業獲得的綜合效益最大。引用期權博弈理論對房地產企業內部的項目投資決策進行研究，在深入剖析房地產開發項目所具有的期權特性的基礎上，建立房地產企業內部雙項目投資期權博弈模型。此外，我們還將利用變分法對模型的最優解進行討論，從而為房地產企業內部多項目投資提供最優化策略建議。

關鍵詞：房地產投資；戰略投資；期權博弈；變分法；最優策略

中圖分類號：F127 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2012）35-0060-04

1 問題提出

近年來房地產項目投資決策已經成為眾多房地產開發商所關注的熱點。目前，我國房地產投資在評估新的項目的時候，主要有兩類投資決策方法。第一類是傳統的投資方法，目前使用比較廣泛。它主要是采用傳統的貼現現金流法來評估整個項目的價值，但因為這種方法是一種比較靜態而且剛性的評價方法，忽略了未來收益的不確定性和項目實施過程中的管理彈性價值，以及投資時機的選擇，因此，在許多情況下，缺少對投資項目價值的客觀真實評價，從而導致決策的失誤，錯過合適的投資機會。第二類是1991年Smets[1]提出的期權博弈理論投資方法，在1993年，Smit和Ankum[2]建立了第一個離散型的期權博弈模型。此這種方法將Hayes和Abernathy[3]，Hayes和Garvin[4]， Stewart Myers[5]提出的實物期權理論與博弈論結合起來，他們通過把期權定價結合到各種博弈模型中，確立了間斷時間期權博弈的標準分析模式。Williams（1993）[6]和Grenadier（1996） [7]是最早結合實物期權和博弈論來分析房地產開發實際問題的論文。Williams（1993）開發了一種投資時機的均衡模型，該模型考慮了開發商期權執行對已開發和未開發房地產新供給的內生影響。Grenadier首次將期權博弈模型應用到房地產市場中，考察了投資期權的策略執行問題。期權博弈評價的基本思想是在項目價值可行性判別這一目標下，全面考慮影響項目價值的因素，確定出不確定性環境中的項目價值函數、基于主體策略互動的項目均衡價值組合，并最終判別項目可行性的條件和最優化的組合。這種方法的一個優點就是正視了投資項目中存在的不確定性，并將管理彈性價值和戰略價值也作為影響投資的因素加以考慮，因而更加科學。

房地產投資是整個房地產發展的重要動力和引擎。由于房地產業具有投資資金大，開發周期長，不確定性大等特點，而期權博弈理論正是為適應這種類型的項目投資而迅速發展起來的，它綜合考慮了市場的不確定性，不完全信息，競爭者的反應等因素，并根據這些因素設置相應的變量，建立一個包含有博弈論思想的模型，為投資決策者提供了更加科學的理論基礎。然而，房地產企業除了面臨與競爭對手之間的項目決策，他們更多的會面臨對企業內部多個項目進行投資的問題。當企業資金充足時，需要考慮各項目的投資額，從而實現最小的投入獲得最大的收益；當企業資金不足時，多個項目便不能同時投入市場，需要求出各個項目投入市場的最佳時間，制定有限資金的合理分配方案，以使企業獲利最大。

另外，我們知道房地產項目投資決策問題總體上屬于系統控制和動態優化問題，對于此類問題我們常用動態規劃的方法進行研究。動態規劃方法是解決多階段決策以及一大類線性、非線性規劃問題的有效方法，對于某些離散性的控制問題，它是有效的方法，但對于連續型的控制問題，動態規劃方法使用起來并不方便。而房地產開發項目資金安排的控制則恰屬于系統控制中的連續型控制問題，解決這種連續型的最優控制問題的可行方法之一是變分法，它是解決一大類泛函極值的有效方法。變分法是研究泛函極值的一種方法，在力學、物理學、光學、經濟學、信息論與自動控制論等諸多方面有廣泛應用。泛函是指一個因變量，其值取決于一個或多個函數，這一個或多個函數是泛函的“自變量”，而泛函就是這些函數的“函數”，這些“自變量”往往是一元或多元函數。變分問題就是求泛函極值問題，它有很多種，但最后的求解都可以歸結為解歐拉方程的邊值問題。極值原理的應用又使變分法在此類最優控制問題上的研究更具有可行性。

對于房地產開發項目的資金分配問題，陳偉和于福海[8]曾應用變分法將生產性和營銷性的資金投入比例問題轉化成相應的數學模型，并求出最優解，從而得到使開發商獲得最大收益的決策方案。本文引入期權博弈理論來研究房地產企業多項目戰略投資最佳時間組合和不同項目資金分配的問題，建立相應的數學模型，再利用變分法求解，從而為房地產企業項目投資提供最優策略建議。

2 模型描述

在期權博弈理論的投資戰略中，假設房地產投資的風險是中性的，使用無風險貼現率，企業的逆需求函數為：

P（t）=Y（t）D（NA，NB）

這里Y（t）是符合幾何布朗運動（取值永遠不小于）的隨機需求沖擊因子（反映著市場需求的隨機變化性）。

dY（t）=αY（t）dt+δY（t）dz

上式中：α——飄移項；

δ——資產價格的變動率；

dz——維納增量；

如果經營成本為0，則P（t）可被解釋為利潤流。根據期權博弈理論，在相應的時間點是否進行投資，還存在著一個投資臨界值，當Y小于投資臨界值YF時，說明市場需求狀況不佳，企業不進行投資；當Y大于YF時，企業會進行投資。

下面我們將以房地產企業對兩個項目投資為例，多個項目的投資可以類比實施 。假設一家房地產公司在同一時間拍下兩個項目A和B。根據期權博弈公式可知D（NA，NB）是確定的市場需求參數，它取決于公司對兩個項目的投資情況NK，其中k∈{A，B}：當NK=1時，對K 進行投資，當NK=0時，對K 不進行投資，即D（NA，NB）的可能值為：

（1）D（0，0）表示項目A和項目B均不投資；

（2）D（1，0）表示項目A先進行投資并成為領導者，項目B暫不投資并成為跟隨者；

（3）D（0，1）表示項目B先進行投資并成為領導者，項目A暫不投資并成為跟隨者；

（4）D（1，1）表示項目A和項目B同時進行投資。

對于第（1）種情況， 我們擬設定成品房收益率高于地皮增值收益率，且企業沒有出現資金鏈斷裂等極端狀態，則（1）種情況發生的可能性很小，基本符合當前房地產市場的項目投資開發的實際。此外，2012年6月1日國土資源部第53號令規定：土地未動土開發滿一年，按照土地出讓或者劃撥價款的20%征繳土地閑置費；土地未動土開發滿兩年，無償收回國有建設用地使用權。這就更加減少了房地產企業土地招牌掛成功后的土地閑置率。

對于第（2）和第（3）種情況，我們可以把它們看成是同一種方案：在企業資金有限的情況下，兩個項目針對自己所要投入市場的情況，分先后順序進入各自的市場。這就需要企業先對市場進行考察，并求出兩個項目進入各自市場的最佳時間，先進入市場的稱為領導者，另一個稱為跟隨者。下面將對以上兩種情況進行分析。

D（1，0）表示此時的A為領導者，B為跟隨者。此種情況下，可以看成起初項目將公司的資金壟斷，只用來滿足對自己的投資，當投資到一定時期時，由于對樓盤的營銷活動等因素，會有業主前來購房，這樣就會有一定的資金回流，未來收益又將作用于企業投資戰略決策，即將公司內現存的部分資金投入到對項目B的建設中，接下來是項目A和項目B以不同的進度同時進行開發。項目A處于壟斷階段時，其利潤流為YD（1，0），當在t=t1處時，利潤跌至YD（1，1）。在此問題中，我們重在解決跟隨者進行項目投資的時間，從而實現兩個項目的總收益最大化。

對于第（4）種情況，需要我們同時對兩個項目進行投資。這就需要我們確定每個項目的投資額分配，該投資額的確定，與兩個項目總效用的折現率控制。

3 模型建立與最優解討論

基于期權博弈對上述房地產企業內部雙項目投資的四種情況深入分析，我們將分D（1，0）（或D（0，1））和D（1，1）兩類建立房地產企業對內部項目投資的期權博弈模型，同時，我們還利用變分法對模型的最優解進行討論。

（1）D（1，0）（或D（0，1））投資模型

利用資產組合復制方法，確定領導者的壟斷價值為M（Y），則領導者的價值L（Y）可以表示為：

L（Y）=M（Y）-I （I為投資沉沒成本）

其中M（Y）滿足以下貝爾曼偏微分方程[9-10]：

該方程的解是由一個齊次解

，加上方程的一個特解，其中β1和β2是特征方程的兩個根。其中：

根據上述貝爾曼偏微分方程，初始條件：M（0）=0，價值匹配條件：M（Y）=V（YF）-I，平滑粘貼條件：MY（YF）=VY（YF），求解得：

因此，當Y

當YYF時，

領導者進行投資的最佳時間為：

D（0，1）表示此時的為領導者，A為跟隨者。項目B處于壟斷階段時，其利潤流為YD（0，1），當在t=t1處時，利潤跌至YD（1，1）。利用資產組合復制方法，確定跟隨者的項目期權價值F（Y）滿足貝爾曼偏微分方程：

求得跟隨者的項目價值為：

其中，

投資閾值：

因此，跟隨者的價值可以表示為：

當Y

當YYF時

跟隨者進行投資的最佳時間為：。

接下來討論資金的分配問題：首先，開發商手中有固定資金l（t），設先開發的項目設為i（i=1，2），且兩項目的產品是相同的。對第二個項目進行投資的時刻設為Tj（j=F，L）。現在將資金的一部分li（t）安排到項目i的投資中，在此期間會用這部分資金對項目i進行工程建設和項目營銷，通過開展各種營銷活動，提高樓盤的知名度及銷售業績，加快資金周轉及投入資金的回收，假設Tj時刻回收回來的資金為Ic（t），然后將開發商起初剩余的資金l（t）-li（t）和lc（t）都安排到第二個項目的投資中，后面將用ω（t）代替ω（t）=l（t）-li（t）+lc（t） 。設第一個項目的工程完成量函數為c1（t）=f（li（t）），工程完成量的效用為u（c1）。效用[11]是西方經濟學中的概念，類似于商品或服務的使用價值，是商品或服務為消費者帶來的某種滿足，在本文中，效用可理解為項目的資金投入為房地產商帶來的直接利益。設第二個項目完成量函數為c2（t）=g（ω（t）），工程完成量的效用為u （cB）。開發商在t時間段內創造或回收價值的速度[8]為

V（c1，c2）=u（c1（t））+u（c2（t））

將t時間段項目創造的總價值換算為獲準預售時刻的現值，則為

e-rtV（c1，c2），0

r為折現率。則在[0，T]內，開發商獲得的全部效用折現后就是

綜上，可得到如下的數學模型：

設拉格朗日乘子為，則拉格朗日函數為

歐拉方程是：

解方程得：

（2）D（1，1）投資模型

針對第（4）種情況：假設在t時間段內，開發商共有資金l（t），其中lA（t）安排到項目A，lB（t）安排到項目B。設項目A的完成量函數為

cA（t）=f（lA（t））

項目完成量的效用為u（cA）。由于兩個項目是由同一家公司投資的，所以在對外宣傳上會有相互影響，因此不妨設項目的完成量與項目的完成量成正比，即af（lA（t）），則項目B的完成量函數為cB（t）=af（lA（t）），項目完成量的效用為u（cB），開發商在t時間段內創造或回收價值的速度為

V（cA，cB）=u（cA（t））+u（cB（t））

將t時間段項目創造的總價值換算為獲準預售時刻的現值，則為

e-rtV（cA，cB），0

r為折現率。則在[0，T]內，開發商獲得的全部效用折現后就是

綜上，可得到如下的數學模型：

設拉格朗日乘子為，

則拉格朗日函數為

歐拉方程是：

解方程得：

.

在實際應用中，將相關數據分別代入以上兩個歐拉方程的最終解并進行比較，便可得出哪一種決策方案是在給定的條件下最優的。

4 結論

本文基于期權博弈理論及變分法原理，分析了企業內部同時拿下兩塊地皮后，如何在有限的資金條件下，引用期權博弈理論做出合理的投資決策，應用變分法將決策轉換成相應的數學模型，最后得到使房地產商獲得最大收益的最優解。此種分析方法也可適用于多個項目，因此，其觀點結論對于當前房地產開發商投資實踐活動具有一定的理論指導和實際意義。