微分從屬與幾何函數理論的研究微分從屬與幾何函數理論的研究

【摘要】近年來，關于幾何函數的研究工作取得了較大的進展，作為復分析中的一個重要分支結構，幾何函數的研究工作主要集中在函數的幾何性質等方面，這也是將幾何與理論分析相互結合的一個數學領域.與此同時，微分不等式的理論研究也不斷的進步，本文就對微分從屬與幾何函數理論的相關研究進行探討.

【關鍵詞】微分從屬；微分不等式；幾何函數；函數理論

在最近的學術研究中發現，代數幾何與函數理論在構建非線性可積系統中存在著一定的內在聯系，為此人們對于幾何函數理論的興趣也不斷的增強，眾所周知的弦理論的雛形就是通過幾何函數中的相關理論進行計算而獲得的.近年來，用譜分析處理線性和非線性邊界值的問題也得到了較大的進展，因此其在幾何函數理論的研究方面，尤其是在微分方程的研究方面起到了重要的作用.幾何函數理論是一門歷史久遠的學科，在現代數學、物理等科學中都有著較為廣泛的應用，對微分從屬與幾何函數的相關理論進行研究，能夠更加有利于幾何函數理論的應用.

一、幾何函數理論綜述

復變函數理論是數學理論中的一個重要分支，有著較為悠久的歷史，并且在各種學術研究工作中發揮了重要的作用.在19世紀初期，柯西(Cauchy)、維爾斯特拉斯(Weierstrass)、黎曼(Riemann)等人在函數領域內的研究工作為復變函數理論的發展提供了豐富的理論基礎，也從另一個側面對復變函數中的幾何性質進行了充分的體現，并且指出，在針對共形不變量進行研究時，對于復雜區域的共形映照的性質進行分析和比較，只要對其中簡單的區域進行研究，就能夠獲得準確的結果.這一研究結果也促進了人們對幾何函數的研究，促成了幾何函數理論的產生.幾何函數理論是經典分析與現代分析理論中的一個重要研究方向，有著豐富的研究成果，并且隨著理論的發展研究工作不斷的深入.幾何函數作為復分析中的一個重要領域，當前在國內和國際上都獲得了一定的重視，各國的學者和機構也不斷地加強對該領域的研究.在國內研究機構主要有中國科技大學、華南師范大學、西北大學等.在國際上，日本、加拿大、美國等國也有著相當大的一批學者從事該領域研究工作.國內在該領域最早的工作當屬陳建功、龔升和夏道行等人所做的開創性的工作.當然，我們也應當清楚地認識到，我國國內針對幾何函數理論的研究還需不斷加強，以期獲得更多國際先進水平的成果，為我國數學領域理論研究工作的進展提供更為豐富的經驗.

二、微分從屬與幾何函數

微分從屬，是一種與微分不等式和微分方程聯系緊密的從屬關系.在上世紀70年末80年代初，是微分從屬理論研究的關鍵時期，在這一時期微分從屬理論得到了廣泛的應用，尤其是在幾何函數領域中，成為了幾何函數研究工作的一種重要工具，同時其作為一種工具，也為幾何函數的研究提供了更為方便的研究方法.眾所周知，在函數理論的研究領域中，微分不等式有著十分重要的地位，很多重要的理論與定理的形成，都與微分理論有著密切的關系.大多情況下，在針對幾何函數中的某些特征進行確定時，都需要依靠微分不等式來進行，通過最簡單的例子則可以看出其重要性.比如，通過f′(x)＞0一式，能夠得到f′(x)所呈現出的是遞增的性質.又如函數f(0)=1，可以通過f′(x)+f(x)≤1得到f(x)≤1的結論.在這個過程中需要注意的是，與幾何函數不同的復變函數中，也存在著一些相似的理論，但是二者是存在一定差別的.比如在NoshiroWarschawski定理中，存在著這樣一種算法，函數f(z)在單位圓盤U內解析且R(f′(z))＞0，則f(z)在圓盤U內單葉.從中也可以看出，在函數理論中的一些關于微分不等式的理論并不能完全適用于復變函數，因此，如何更加深入地研究復變函數理論中的微分不等式的性質也成為了當前學者們研究的重點問題.其中較為著名的則是Miller和Mocanu，他們將研究的重點放在微分不等式的性質研究方面，并且從屬方法應用到復變函數中，從而為微分從屬理論以及幾何函數的研究工作奠定了更為豐富的理論基礎.最后，接組允許函數，獲得了如下的蘊涵關系公式：

近年來，隨著微分從屬理論研究工作的不斷開展，也產生了各種不同的理論研究結果，其也逐漸成為了現代幾何函數理論研究工作中必不可少的一項依據.比如Miller通過對微分從屬理論的研究工作，從中獲得了關于超幾何函數的單葉性問題的相關理論.同時，對于微分從屬與超幾何函數的從屬關系也進行了大量的研究，把微分從屬以及其與超幾何函數的相關理論進行了推廣，從而使微分研究領域得到了較大的擴展.在一些幾何函數中，對于某些非線性積分算子的從屬問題也進行了大量的研究，對于幾何函數與微分從屬以及超從屬等問題也進行了研究，從而獲得了sandwich型定理，促進了幾何函數研究工作的持續進展.

結束語

微分從屬是現代幾何函數研究領域中一個不可或缺的研究領域，其具有較為豐富的內涵.本文筆者主要對微分從屬以及函數理論的相關問題進行了簡單的分析，并著重探討了微分從屬與幾何函數的相關問題，希望能為幾何函數的研究工作作出貢獻.

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