數值分析課程教學改革的實踐與設想

【摘要】數值分析是聯系數學理論與實際應用的橋梁，是理工院校學生的必修課.針對該課程的特點和教學過程中的一些問題，我們進行了多年的教學改革研究，對教學內容與教學方法提出了一些設想，經過實踐取得了良好的效果.

【關鍵詞】數值分析；科學計算；教學方法；教學模式

【中圖分類號】G642；G420 【文獻標識碼】A

【基金項目】河北省教育廳科研計劃項目（2010260），河北省自然科學基金項目（A2010000908）

一、引 言

數學問題的多樣性與數學應用的廣泛性及深入性，已經成為現代科技發展的重要特征.Napoleon的經典名言“國家富強，要靠數學發達”已被認為是一條不容置疑的真理.

數值分析是研究各種數學問題求解的數值計算方法及其理論.大數學家笛卡爾曾經說過，任何問題都可以轉化為數學問題，任何數學問題都可以轉化為代數問題，任何代數問題都可以轉化為方程式的求解.由數學問題到方程式的轉化以及解方程就是數值分析問題.隨著計算機的廣泛應用，幾乎所有的學科都走向了定量化和精確化.數值分析是一門與計算機使用密切結合的實用性和實踐性很強的數學課程，主要介紹科學計算的基本理論和基本方法.目前數值分析已經成為理工院校學生的一門核心基礎課程.為了在有限的學時內達到教學目標，我們深入研究課程特點，并進行了較大幅度的改革，取得了顯著成效.本文中，我們將與同行們交流近幾年推行的改革措施并提出一些設想供大家指正.

二、數值分析課程教學中存在的問題

（一）內容多，課時少

這是一個各大院校共同面臨的問題.首先，課程本身包含內容多.其次，數值分析方法是發展的，與時俱進的.隨著數學應用越來越廣泛，科學計算成為學術研究的熱點問題，經典方法與現代手段結合得到不斷改進，新方法、新理論也不斷產生.在有限的課時內把所有的內容都有效地傳授給學生對老師是一個挑戰.

（二）內容相對獨立，缺少連貫性

大多數教材對各種計算方法的講述相對獨立，不能很好地體現計算方法的發展過程和進步性，各種方法之間的融合較少，不利于激發學生的創新意識.

（三）重理論，輕實踐

大多數教材理論較深，例題較少，題型缺乏應用背景，使得學生掌握了方法，卻只會做數學題，解決實際問題的能力差.

（四）直觀性差

由于數值分析課程本身的特點，教學過程需要多媒體輔助.但是很多多媒體課件僅僅是一些PPT.雖然對課時的有效利用有一定幫助，但是呈現給學生的仍然是繁瑣的公式推導，沒有充分發揮多媒體的動畫功能，學生對方法的理解仍停留在書面意義上，對授課效果的提升有限.

三、我們的教學改革實踐

近幾年來，結合教學實踐，通過完成教改立項和組織各種教研活動，“數值分析”課程在教學手段、教學內容、教學模式以及培養學生創新意識等方面取得了系列成果.

（一）教學手段

我們在使用多媒體課件的同時，深入挖掘計算機輔助教學的潛力，將越來越多的方法（例如三次樣條插值、磨光算法等）制作成Flash動畫，直觀地展示這些方法的有效性及其作用過程.例如一個正方形（立方體）經過幾次磨光之后逐漸變成一個圓（球），可以通過動畫展示整個過程及每次磨光的效果.再結合理論說明使課堂內容通俗易懂，讓學生知其然更知其所以然.不僅能夠激發學生的學習興趣，輕松接受各種算法，還可以幫助他們深層理解，增強應用和創新意識.

（二）教學內容

授課過程中注意內容的連貫性，還原學科發展歷程，體現“方法源于需要，理論源于實踐”.例如對于多項式插值我們給出如下關系圖:

關系圖說明：最古典的是多項式插值（包括：局部方法，一點處泰勒展開；整體方法，高次插值），但是由于次數較高時出現龍格現象，于是出現了分片或分段低次插值，克服了龍格現象但是分段點處不光滑，進而出現了樣條函數理論.這樣學生可以對課程有一個整體把握，同時感受數值分析方法的實用性與進步性.再比如多項式插值的Lagrange公式、Newton公式以及Chebyshev多項式三者的優缺點比較，以及Chebyshev多項式的節點選取是很關鍵的，再擴展一點，聯系Leja點集和散亂數據插值的最優節點組的自適應選取便把學生帶到了目前科學計算的研究熱點.如此學生覺得數值分析不僅切實有用，而且仿佛站在了專家學者們身旁，激發了學生的學習激情.

（三）教學模式

教學內容為“理論闡述+算法推導+程序設計+算法實驗+數值解分析+算法實踐”.以“崇術重用”為原則，對于每個方法，我們適當刪減繁瑣冗長的證明過程及運算技巧，更多地結合實際問題和動畫演示，直觀地闡述方法的來源、方法的作用過程及效果.保證課程內容的深入淺出.增加上機實驗，讓學生自己動手解決問題.鍛煉了他們的動手能力，符合理工院校高素質應用型人才的培養目標.

（四）上機實踐

引進Mahtematica軟件并完成了與教學內容的融合，自主開發了一系列教學示范程序.我們要求學生在掌握一定的編程能力和數值算法以后，能對現有程序做改進，能將所學的計算技巧融合使用.例如要求學生在非線性方程組的簡單迭代程序基礎上，編寫加速迭代算法程序，將比較成功的算法改進展示給所有同學，對于有創新的幫助他們寫成論文發表.作為課外作業，我們選擇一些應用性較強，但是計算量難以手工完成的問題，要求他們利用所學數值分析方法，在計算機上編寫程序語言并最終解決問題，并將這些作業完成情況作為課程期末考核的一個組成部分.這些措施提高了學生運用數學知識進行綜合分析的能力和科學計算能力，收到良好效果.

四、教學改革的一點設想

各大院校普遍存在一個問題，就是不同院系之間缺少交流，不同學科專業的學生互不了解，缺乏交流合作，更缺乏合作意識.我們設想將今后的數值分析教學過程與數學建模結合起來，對學生進行跨專業分組，每組成員平時多多交流，對于上機作業以組為單位，發揮每個成員的專業優勢，合作完成.學期末，每組隨機抽取一個較為復雜的數學建模問題，限定時間內完成，作為課程考核的指標之一.鼓勵研究生與其他專業的研究生或老師合作，實現資源共享和知識互補，共同解決研究中碰到的科學計算問題.讓他們在學習研究中獲得快樂.

幾年來，我們以培養學生科學計算能力為重心，以“分析與計算并重、經典與現代交融、方法與實驗互證”為理念的教學改革實踐激發了學生的學習興趣，增強了學生的創新意識，提高了學生應用所學解決實際問題的能力，為以后從事科學研究工作奠定了必要的數學基礎.同時也鍛煉了教師隊伍，在與學生的互動中，教學相長，提高了教學水平，得到了專家們的好評.

【參考文獻】

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