有密度制約的Lotka-Volterra模型競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng) 同時(shí)捕獲的最優(yōu)化

摘 要：對(duì)有密度制約的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)進(jìn)行了定性分析，從生態(tài)學(xué)意義上給出了解釋.此外分為已知正常數(shù)和未知兩種情況給出了此系統(tǒng)的兩種群同時(shí)捕獲時(shí)的最大持續(xù)受益的條件。

關(guān)鍵詞：Lotka-Volterra模型；競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)；同時(shí)捕獲；最優(yōu)捕獲策略

中圖分類(lèi)號(hào)：C93 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-291X（2012）09-0204-03

引言與模型假設(shè)

生物資源的開(kāi)發(fā)問(wèn)題近幾十年為廣大學(xué)者所廣泛研究，對(duì)單種群資源的開(kāi)發(fā)問(wèn)題已有許多成果，但對(duì)于多種資源開(kāi)發(fā)與管理的研究，成果卻很少，翁世有研究了互惠系統(tǒng)的捕獲優(yōu)化問(wèn)題，張劍等應(yīng)用最優(yōu)控制方法，研究了捕食系統(tǒng)的捕獲優(yōu)化問(wèn)題。受文獻(xiàn) [2~3] 啟發(fā)，本文引入價(jià)格成本因素，并且應(yīng)用定性分析的方法對(duì)捕獲強(qiáng)度系數(shù)為已知正常數(shù)和為未知兩種情況給出了此系統(tǒng)的兩種群同時(shí)捕獲時(shí)的最大持續(xù)受益的條件，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

本文闡述了Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)模型及其以最大收益為管理目標(biāo)的最優(yōu)捕獲策略，有密度制約同時(shí)捕獲的競(jìng)爭(zhēng)模型為：

=x（a-αx-by）-Ex=y（c-βy-dx）-kEy （1）

x，y表示在t時(shí)刻種群x和y的數(shù)量，a，c分別為種群x和y的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，b，d表示彼此競(jìng)爭(zhēng)能力，a，b，c，d均為正常數(shù)。

此外，本文約定用E*表示最優(yōu)捕獲努力量，MEY表示最大純收益，設(shè)種群x和y的捕獲物的銷(xiāo)售單價(jià)分別為常數(shù)p和q，單位捕獲努力量的成本為c。

其中，k為正常數(shù)。這種捕獲方式是用努力量E同時(shí)去捕獲種群x和y的。以捕魚(yú)業(yè)為例，一網(wǎng)下去，捕獲種群x的個(gè)數(shù)與種群y個(gè)數(shù)之比大致為k，參數(shù)k反映了漁網(wǎng)的特性.設(shè)努力量E的單位成本為c。

一、定性分析及生態(tài)學(xué)意義

由文獻(xiàn)[6]知，系統(tǒng)（1）的兩個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn)：

P1（0，0）和P2（，），其中，<<或<<時(shí)P2為正平衡點(diǎn)。

下面證明此系統(tǒng)不可能存在極限環(huán)和奇異極限環(huán)。由Jacobia矩陣：A=a-E-by-2αx -bx -dy c-kE-dy-2βy

將P1（0，0）代入|A-λI|=0，得兩個(gè)根：k1=a-E>0，k2=c-kE>0。

因此，P1（0，0）為不穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)。同理將P2（，）代入|A-λI|=0得特征方程：

λ2+λ-=0

其中，X=（c-kE）b-（a-E）β，Y=（a-E）d-（c-kE）α。

1.當(dāng)bd-αβ>0時(shí)，由<<知，X>0，Y>0，>0，>0，此時(shí)P2是鞍點(diǎn)（不穩(wěn)定）。

2.當(dāng)bd-αβ<0時(shí)，由<<知，X<0，Y<0，>0，<0，此時(shí)P2是結(jié)點(diǎn)（穩(wěn)定），即在第一象限的內(nèi)部，所有軌線(xiàn)都趨于P2，從生態(tài)學(xué)意義上看，只要在初始時(shí)刻兩競(jìng)爭(zhēng)種群x（0）>0，y（0）>0，P2表明兩種群的規(guī)模是相互制約著增長(zhǎng)的，最終趨于相對(duì)平衡狀態(tài)。

以下考慮在此動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，使純收益的最優(yōu)捕獲策略。

二、最優(yōu)捕獲策略

（一）k為已知正常數(shù)的最有捕獲策略

1.總捕獲能力為無(wú)限時(shí)純收益

R（E）=pEx+kqEy-cE

=pE（+kq）-cE

=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE

=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E

其中，M1=，M2=

求R（E）的最大值，由微分學(xué)知：=0

解得：E*=

則MEY=R（E*）。

由實(shí)際意義，當(dāng)cM1+adkM2-ckαM2->0，kM1-k2M2α-

M1β>0時(shí)，最優(yōu)捕獲努力量為E*時(shí)，可獲最大純收益MEY。

2.總捕獲能力為有限E時(shí)純收益

R（E）=pEx+kqEy-cE

=pE+kq-cE

=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE

=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E

其中，M1=，M2=

考慮R（E）在[0，E]上的最大值。

由實(shí)際意義有：

（1）當(dāng)E>時(shí)，則*=，

故MEY=R（*）。

（2）當(dāng)0

R（*）=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E。

總之，由實(shí)際意義，當(dāng)cM1+adkM2-ckαM2-c>0，kM1-k2M2α-

M1β>0時(shí)，最優(yōu)捕獲努力量為*時(shí)，可獲最大純收益MEY.

（二）k為未知正常數(shù)的最有捕獲策略

1.總捕獲能力為無(wú)限時(shí)純收益

R（E，k）=pEx+kqEy-cE

=pE（+kq）-cE

=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE

=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E

其中，M1=，M2=

求R（E，k）的最大值，由微分學(xué)知：

=0=0

即：2E（k2M2α-kM1+M1β）+cM1+adkM2-ckαM2-=02kαM2E2-M1E2+（ad-ca）M2E=0

解得：E＝E*k＝k*

從而有：MEY=R（E*，k*）

總之，可根據(jù)實(shí)際意義，當(dāng)最優(yōu)努力捕獲量為E*，捕獲強(qiáng)度系數(shù)比為k*時(shí)，可獲最大純收益MEY=R（E*，k*）。

2.總捕獲能力為有限E時(shí)純收益

R（E）=pEx+kqEy-cE

=pE+kq-cE

=M1E[（c-kE）-（a-E）β］＋kM2E［（a-E）d-（c-kE）α］-cE

=（k2M2α-kM1+M1β）E2+（cM1+adkM2-ckαM2-c）E

其中，M1=，M2=

求R（E，k）在（0，E）的最大值。

可根據(jù)實(shí)際意義：

當(dāng)E

當(dāng)E>E*時(shí)，取*=E*，*=k*，可獲最大純收益。

小結(jié)

本文討論了有密度制約的Lotka-Volterra模型競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)同時(shí)捕獲的最優(yōu)化問(wèn)題，給出了平衡解，得到了努力量與產(chǎn)出的關(guān)系，最終得到最優(yōu)化捕獲策略，若用同一工具捕撈可有效控制分配捕獲強(qiáng)度系數(shù)，使之有利于人們的實(shí)際需要。

參考文獻(xiàn)：

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[2] 張玉娟，劉會(huì)民，張樹(shù)文，等.競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的兩種群同時(shí)捕獲優(yōu)化問(wèn)題[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，(4).

[3] 郭建軍，賀昌政.競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)兩種群捕獲的生物經(jīng)濟(jì)最優(yōu)控制問(wèn)題[J].西南工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002，(1):11-15.

[4] 陳蘭蓀，陳鍵.非線(xiàn)性生物動(dòng)力系統(tǒng)[M].北京:科學(xué)出版社，1993:60-69.

[5] 馬知恩.種群生態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].合肥:安徽教育出版社，1994:41-45.

[6] 王順慶，王萬(wàn)雄.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)穩(wěn)定性理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社，2004.

Optimal Problem of Two Species Being Harvested Simultaneously for Prey-predator Systems

YIN Hua-min1，HUO Jin-xia2

（1.School of Mathematics and Statistics of Longdong University，Qingyang 745000，China；

2.Department of Mathematics of Lanhou City University，Lanzhou 730070，China）

Abstract：This paper analysizes qualitatiye property of the equilibrium for a continuous prey-predator systems，illustrates the existence of periodic solutions around center in point of ecology.In addition，the article gives the conditions of maximum sustainable economic revenue when two species of prey-predator systems are harvested simultanously.

Key words：Lotka-Volterra model； competition system； simultaneous harvest；optimization strategy[責(zé)任編輯 王玉妹]