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淺談高考數學數形結合思想的應用

2012-12-31 00:00:00胡富國
文理導航 2012年13期

數形結合思想是一種重要的數學思想方法,數形結合的本質是:幾何圖形的性質反映了數量關系,數量關系決定了幾何圖形的性質。把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中,把形作為手段的數形結合主要體現在不等式、方程的根、函數的值域、距離、面積等之中?,F就近幾年高考中數形結合思想的應用熱點,談談自己的解題看法。

熱點一:不等式問題

例1:若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,求實數m的取值范圍。

【解析】在同一坐標系中分別畫出函數y=|2x-m|及y=|3x+6|的圖象。(如圖1),由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立,所以函數y=|2x-m|的圖象應總在函數y=|3x+6|象的下方,因此,函數y=|2x-m|的圖象也必經過點(-2,0),所以m=-4。

此題屬于不等式恒成立問題,先利用圖象的上、下位置關系確定直線的位置,然后再還原即可.解不等式或證明不等式問題經常聯系函數的圖象,根據不等式中量的特點,選擇適當的兩個(或多個)函數,利用兩個函數圖象的上、下位置關系來確定不等式的解集或證明不等式。

熱點二: 代數式的取值范圍問題

例2:實系數方程x2+ax+2b=0的一根在0和1之間,另一根在1和2之間,求的取值范圍。

【解析】令f(x)=x2+ax+2b,根據題意畫出滿足條件的圖形,如圖甲。從圖2可看出:

這個二元一次不等式組就是a、b所要滿足的條件,用圖象表示點(a,b)的區域為△ABC的內部,如圖乙所示,的幾何意義為過點(a,b)與D(1,2)的直線的斜率,從圖可明顯看出有=kAD<

即<<1

本題將二次方程根的分布,二元一次不等式組表示的平面區域,直線的斜率等有機結合,體現了形與數之間的聯系與轉化。

熱點三: 方程問題

例3:設關于θ的方程cosθ+sinθ+a=0在區間(0,2π)內有相異的兩個實根α、β。

(1)求實數a的取值范圍;

(2)求α+β的值。

【解析】解法一:(1)設x=cosθ,y=sinθ,

則由題設知,直線l:x+y+a=0與圓x2+y2=1有兩個不同的交點A(cosα,sinα)和B(cosθ,sinθ)。

所以原點O到直線的距離小于半徑1,即

d==<1 ∴-2<a<2

又∵α、β∈(0,2π),且α≠β

∴直線l不過點(1,0),即+a≠0

∴a≠-,即a∈(-2,-)∪(-,2)

(2)如圖3,不妨設∠xOA=α

∠xOB=β

作OH⊥AB,垂足為H

則∠BOH=

∵OH⊥AB,∴kAB?kOH=-1

∴tan=

又∵∈(0,2π)

∴α+β=或α+β=π

解法二:(1)原方程可化為sin(θ+)=-,作出函數y=sin(x+)(x∈(0,2π))的圖象。

由圖4知,方程在(0,2π)內有相異實根α,β的充要條件是-1<-<1-≠

即-2

(2)由圖知:當-

∴α+β=

當-2

由對稱性知=,

∴α+β=

綜上所述,α+β=或α+β=。

此題若不用數形結合法,用三角函數有界性求的范圍,不僅過程繁瑣,而且很容易漏掉a≠-的限制,而從圖象中可以清楚地看出當a≠時,方程只有一解。

在解決三角函數的有關問題時,若把三角函數的性質融于函數的圖象之中,將數(量)與圖形結合起來進行分析、研究,可使抽象復雜的數量關系通過幾何圖形直觀地表現出來,這是解決三角函數問題的一種有效的思維策略。

(作者單位:甘肅省民勤縣三中)

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