中考數學全等三角形問題教學探

【摘 要】全等三角形問題是初中數學有關三角形知識的重要內容，它也是中考數學必考內容之一。筆者將近年來中考數學中出現的全等三角形題目類型加以分類研究，歸納、總結其解答技巧，以幫助中學生提高中考數學成績。

【關鍵詞】中考數學；全等三角形；思想方法

全等三角形是研究圖形的重要工具，只有掌握好全等三角形的有關知識，并能靈活應用才能學好四邊形、圓等后續內容，是中考的重要考點之一。根據全等三角形的定義：兩個能夠重合的三角形叫做全等三角形，全等三角形的對應邊相等，對應角相等。全等三角形的判定方法有（1）SAS；（2）ASA；（3）AAS；（4）SSS。對直角三角形全等的判定除以上方法外，還有HL，同時謹記：兩個三角形的兩邊和一角對應相等，或兩個三角形的三個角對應相等，這兩個三角形不一定全等。中學生要熟悉掌握全等三角形的證明方法，并在解題中靈活運用，總結規律和方法，有效提高數學成績。

一、應注意問題和思想方法

（一）應用全等三角形性質解決問題的前提是準確地確定全等三角形的對應邊和對應角，其規律主要有以下幾點：（1）以對應頂點為頂點的角是對應角；（2）對應頂點所對應的邊是對應邊；（3）公共邊（角）是對應邊（角）；（4）對頂角是對應角；（5）最大邊（角）是對應邊（角），最小邊（角）是對應邊（角）。同時，全等三角形的對應邊和對應角可以依據字母的對應位置來確定，如若△ABC≌△DEF，說明A與D、B與E、C與F是對應點，則∠ABC與∠DEF是對應角，邊AC與邊DF是對應邊。另外，運用三角形全等可以證明兩線段或兩角相等，在直接找不到兩個全等三角形時，可考慮添加輔助線構造全等三角形。

（二）思想方法。（1）轉化思想：應用全等三角形的知識解決測河寬、測池塘寬、測工件內徑等實際問題就是轉化思想的運用；（2）運動變化思想：在研究三角形全等時，經常會出現三角形按照某種特定的規律變化，需要運用運動變化的思想進行解決；（3）構造圖形法：在直接找不到兩個全等三角形時，常常通過平移、對稱、旋轉等圖形變換的方法構造全等三角形；（4）分析綜合法：從已知條件出發探索解題途徑的方法叫綜合法；從結論出發不斷尋找使結論成立的條件與已知條件關系的方法叫分析法；兩頭湊的方法就是綜合運用分析綜合法去尋找證題的一種方法。

二、全等三角形題型分類解析

（一）添加條件型

【例1】如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。所添條件為_____________，你得到的一對全等三角形是△______≌△_______。

【解析】本題是一道條件和結論同時開放的試題。所添條件為CE=DE、∠CAB=∠DAB、BC=BD等條件中的一個，可得到△ACE≌△ADE或者 △ACＢ≌△ADＢ。證明過程略。

（二）結論開放型

【例2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點C逆時針旋轉角α(0°＜α＜90°)得到△A1B1C1，連結BB1。設CB1交AB于D，A1B1分別交AB、AC于E、F。在圖中不再添加其它任何線段的情況下，請你找出一對全等的三角形，并加以證明（△ABC與△A1B1C1全等除外）。

【解析】這是一道結論開放的試題，由題目所隱含的條件易得△CBD≌△CA1F，或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF。以證△CBD≌△CA1F為例。∵∠ACB1＋∠A1CF=∠ACB1＋∠BCD=90°，所以∠A1CF=∠BCD，因為A1C=BC，∴∠A1=∠CBD=45°，所以CBD≌△CA1F。

（三）閱讀歸納型

【例3】我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等。那么在什么情況下，它們會全等?

（1）閱讀與證明：對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等；對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）；對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC= B1C1，∠C=∠C1。

求證：△ABC≌△A1B1C1 （請你將下列證明過程補充完整）

證明：分別過點B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，則∠BDC=∠B1 D1C1=90°，

因為BC=B1C1，∠C=∠C1，所以△BCD≌△B1C1D1，BD=B1D1。

(2)歸納與敘述：由(1)可得到一個正確結論，請你寫出這個結論。

【解析】：（1）又因為AB= A1B1，∠ADB=∠A1 D1B1=90°所以△ADB≌△A1D1B1，所以∠A=∠A1，又因為∠C=∠C1，BC= B1C1，所以△ABC≌△A1B1C1。

（2）若△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形或均為直角三角形或均為鈍角三角形，AB= A1B1，BC= B1C1，∠C=∠C1，則△ABC≌△A1B1C1。本題的問題情境新穎，既有閱讀又有補充證明過程，既有類比又有歸納，突出考查學生的綜合素質，別具一格。

（四）組合探索型

【例4】如圖，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設，余下的1個作為結論，寫一個真命題，并加以證明。①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF。

【解析】已知：AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF。

求證：∠ABC＝∠DEF

證明：因為BE＝CF，所以BC＝EF；因為AB＝DE，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF，所以∠ABC＝∠DEF。這類問題條件和結論都不確定，需要答題者認定條件和結論，然后組合成一個新命題，在按題目具體要求給出必要的證明。本題可以構造三個不同命題，而且正確的命題不止一個。

總之，全等三角形是初中數學有關三角形教學的重要內容，也是中考數學必考內容之一。學好全等三角形對于解答三角形、四邊形、圓等綜合性題目都有幫助，教師要能夠充分總結和歸納有關全等三角形的解答技巧和方法，培養學生的解題能力。

【參考文獻】

[1]鄧安邦.全等三角形與相似三角形.天府數學，1998(6)

[2]黃國輝.全等三角形判定中的“邊、邊、角”問題探討.撫州師專學報，1985(1)

（作者單位：浙江省永康市古山中學）