如何利用蝴蝶定理訓練發散思維

摘要：蝴蝶定理是一道著名的平面幾何題。發散思維是一種重要的數學思維能力。它與人的創新能力有著密不可分的關系。利用蝴蝶定理的一題多解，和對問題本身的條件和圖形等的發散，以及在證明過程中得到的一些新的啟示，都可以很好地訓練學生的發散思維能力。

蝴蝶定理 M是⊙O的弦AB的中點，CD，EF是過點M的兩條弦，連結CF，ED分別交AB于P，Q兩點，則MP=MQ.

以上就是蝴蝶定理的具體內容，它作為一道著名的平面幾何題，有人稱譽它為歐氏幾何園地里的“一顆生機勃勃的常青樹”。它想象洵美，蘊理深刻，且證法眾多，近三百年來，關于蝴蝶定理的研究成果不斷，引起許多中外數學家的興趣。

發散思維（或求異思維）與集中思維（或求同思維）是相對的，它是指從同一來源材料探求不同答案的思維過程，思維方向發散于不同的方面，即從不同的方面進行思考。在數學學習中，發散思維表現為依據定義，定理，公式和已知條件，思維朝著各種可能的方向擴散前進。集中思維有利于掌握規律，是發散思維的基礎，是發展發散思維的前提；發散思維有利于提出各種設想，這些設想要靠集中思維予以科學驗證。集中與發散，方式不同，任務各異，但又是緊密聯系，彼此溝通，相輔相承的。[1]

一般來說，數學上的新思維，新概念和新方法往往來源于發散思維。按照現代心理學家的見解，數學創造能力的大小應和他的發散思維能力成正比。詳細來說，任何一位科學家的創造能力可用如下的公式來估計：

創造能力=知識量×發散思維能力[1]

可見，加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節。怎樣訓練學生的發散思維能力呢？下面利用蝴蝶定理來具體地進行說明。

一、對解法進行發散

所謂解法的發散即一題多解。

證法一：(1815年霍納發表在《先生日記》上的證法)

證法二：（1815年泰洛刊登在《先生日記》上的證法）

證法三：（1819年邁爾斯.布蘭德（Miles Bland）在《幾何問題》一書中給出了一種不同尋常的證明）

證法四：（綜合證法）

過E作AB的平行線交⊙O于G，連結MG，CG，PG，OM， 作OT⊥GE于T，則OM⊥AB于M，TG=TE，易知T，O，M三點共線，MT是EG的中垂線

∴MG=ME ∠AME=∠MGE=∠GME=∠EMB

易知∠GCF+∠GEF=180o

∴∠GCP+∠GMP=180o

∴G，C，P，M四點共圓

∴∠MGP=∠PCM=∠FED=∠PMG=∠EMQ

∴△GPM≌△EQM

∴MP=MQ

證法五：（面積證法）

過O作OG⊥CD于G，OH⊥EF于H，連結OM

∵S△MDE=S△MDQ+S△MQE

∴1/2MD×ME×Sin(α+β)

=1/2MD×MQ×Sinβ+1/2ME×MQ×Sinα

其中α=∠EMQ，β=∠DMQ，將上式兩端乘以2，再除以MD×ME×MQ

Sin(α+β)/MQ=Sinβ/ME+Sinα/MD （1）

同理Sin(α+β)/MP=Sinβ/MF+Sinα/MC （2）

(1)-(2)得: Sin(α+β)×(1/MQ-1/MP)=Sinβ/(ME×MF)×(MF-ME)-Sinα/(MC×MD)×(MD-MC) （3）

∵G，H是CD，EF的中點

∴ME-M=2MH=2OM×Sinα

MC-MD=2MG=2OM×Sinβ （4）

把(4)代入(3)中，因為ME×MF=MC×MD 所以(3)式右邊為0

即Sin(α+β)×(1/MQ-1/MP)=0 又∵Sin(α+β)≠0

∴1/MQ-1/MP=0

∴MP=MQ

以上是蝴蝶定理的一些初等的證明方法，除此之外還有解析法，還可以用梅內勞斯定理等。在具體的教學過程中，教師可以深入地研究以上的一些證明，做到融會貫通，并且研究出一些自己的證法，給學生講解一些有代表性和巧妙的證法，進行認真地分析，積極啟發誘導學生，使學生對蝴蝶定理產生興趣。對于正確的想法，要啟發學生往下進行，從而得到正確的方法，對于不合理的想法，要認真給以糾正，并讓學生知道為什么不合理，是否能夠改進，能改進一定要鼓勵其進行改進。在這個過程中，要鼓勵學生獨立思考，不要讓學生看參考書，老師可以給予適當的幫助，使學生有一些新的發現，鍛煉發散思維能力。

二、對問題的條件進行發散

對問題的條件進行發散是指問題的結論確定以后，盡可能變化以知條件，進而從不同的角度，用不同的知識來解決問題。這樣一方面可以充分揭示數學問題的層次，另一方面有可以充分暴露學生自身的思維層次，使學生從中吸取數學知識的營養。

在蝴蝶定理中，把圓換成橢圓，雙曲線，拋物線或直線對，把直線CD，EF，變成雙曲線，橢圓等二次曲線，結論都是成立的。當然，平面幾何證法對此已無能為力，解析幾何證法的優越性和威力則大為顯示出來。

有人將蝴蝶定理類比地進行了推廣，發現了很有趣的“類蝴蝶定理”的性質。在具體的教學過程中，教師應首先給學生一些簡單的變形題，讓學生自己獨立，然后教師介紹蝴蝶定理的一些變形情況，如改變圓為橢圓，雙曲線等，直線可以變成橢圓，雙曲線等，讓學生自己出題，自己解法，以培養學生的創造性思維，也可以通過各種渠道來發現蝴蝶定理的變形的題目，以拓展學生的知識面。

三、發現和研究新問題

在數學學習中，學生可以從某些熟知的數學問題出發，提出若該富有探索性的新問題，并憑借自己的知識和技能，經過獨立鉆研，去探索數學的內在規律，從而獲得新的知識和技能，逐步掌握數學方法的本質，并訓練和培養自己的發散性思維能力。教師應鼓勵學生分組討論善于發現問題，多發現問題，通過圖書館，上網等方式查找與此相關的書刊資料，先展開小組學習討論，再推舉代表在全班專題匯報，對于表現積極有創新精神的學生給予適當的鼓勵。在這一部分不要僅局限于蝴蝶定理，而要盡量多找一些材料進行訓練。

到此為止，本文討論了如何利用蝴蝶定理來訓練學生的發散思維能力，當然還有其它方法，我們不能局限于以上的方法，也注意培養自身的發散思維能力和創新精神，只有這樣我們才能更加支持學生的大膽創新，從根本上提高學生的創新能力和發散思維能力。

參考文獻：

[1]田萬海.數學教育學[M].浙江教育出版社，2002

[2]周春荔.蝴蝶定理——研究性學習的一個好課題[J].數學通報，2004年第1期，第16—20頁