高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合方法初探

摘要：數(shù)形結(jié)合方法作為一種策略思想，能最直接揭示問題的本質(zhì)，直觀地看到問題的結(jié)果。它就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，起到簡化解題過程的作用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思維能力；函數(shù)模型

中圖分類號(hào)：G623.5

在新課改形式下，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的和任務(wù)是通過教師傳授知識(shí)與方法的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。那么在學(xué)習(xí)的過程中對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和了解就是很有必要的。數(shù)學(xué)主要的思想有函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想和轉(zhuǎn)化與化歸思想。數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一種重要而實(shí)用的思想及方法，歷年高考中占多數(shù)的題目均可用數(shù)形結(jié)合思想來解決。數(shù)形結(jié)合的思想可以運(yùn)用圖像解決數(shù)學(xué)問題，使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，簡化解題過程，不僅為學(xué)生提供了一種簡潔的解題方法，而且也有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)。用\"數(shù)形結(jié)合\"的技巧去訓(xùn)練學(xué)生解題，能避免繁雜的計(jì)算和推理，能夠促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的思維能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概述

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想主要包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面。其應(yīng)用大致可分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，根據(jù)給出的“數(shù)”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，從而化抽象為直觀，使解題過程變得簡捷直觀。比如在解決方程的根，不等式解集問題中圖象就起到很大的作用；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡述形的某些性質(zhì)，如借助曲線的方程來精確的闡明曲線的幾何性質(zhì)。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

結(jié)合自己教學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)高中學(xué)生數(shù)形結(jié)合解題意識(shí)不夠，究其原因主要是因?yàn)椴捎脭?shù)形結(jié)合解題對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)要求較高，要徹底明白一些概念及其幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何又分析其代數(shù)意義，能進(jìn)行知識(shí)遷移，靈活恰當(dāng)?shù)倪x擇數(shù)與形進(jìn)行結(jié)合，大部分學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中數(shù)與形分離，問題是以代數(shù)形式出現(xiàn)，就僅僅從數(shù)的角度求解，問題以幾何形式出現(xiàn)，就僅僅從形的角度考慮。而且學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合解題時(shí)容易出現(xiàn)問題，不易找到數(shù)形結(jié)合解題的突破口。因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)如果能有效地引導(dǎo)學(xué)生形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的解題意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生尋找數(shù)形結(jié)合解題突破口的能力，將能大大提高學(xué)生解題準(zhǔn)確率。

例1.若關(guān)于x的方程 =x+m有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：此題考查利用函數(shù)圖像解決方程根的問題，作出兩函數(shù)圖像后求解，可簡化運(yùn)算。

解：畫出y= 和y=x+m的圖象，當(dāng)直線y=x+m過點(diǎn)（- ，0）即m= 時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。

又由 ，得x2+（2m-2）x+m2-1=0

令△=0，得m=1。 兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，首先要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞，有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整地表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng).其次要注意簡單性，采用數(shù)形結(jié)合解題是為了簡化題目，讓題目變得更直觀，不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合。因此一要考慮是否有效和是否有利；二要選則好突破口，恰當(dāng)設(shè)參，用參，建立關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍。

數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：

1、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；

2、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；

3、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；

4、構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；

5、構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；

6、構(gòu)建方程模型，求根的個(gè)數(shù)；

三、結(jié)束語

總之，數(shù)形結(jié)合就是高效解決數(shù)學(xué)問題的重要方法之一。若我們的學(xué)生能恰當(dāng)?shù)乩脭?shù)形結(jié)合思想提高解題效率，就更有機(jī)會(huì)在高考中為自己贏得沖過獨(dú)木橋的機(jī)會(huì)。然而，數(shù)與形的結(jié)合方式多種多樣，要能在千變?nèi)f化的題目中找尋解題的規(guī)律，靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題。

因此數(shù)形結(jié)合這一思想方法并非是一朝一夕所能掌握到的，數(shù)形結(jié)合的思想需要滲透在平時(shí)的教學(xué)和訓(xùn)練過程中，這就需要教師在教學(xué)過程中把握時(shí)機(jī)，使學(xué)生在潛移默化的過程中逐步領(lǐng)悟并學(xué)會(huì)運(yùn)用這一思想方法去解決問題。利用現(xiàn)有教材，教學(xué)中著意滲透并力求幫助學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，結(jié)合其他數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，注意幾種思想方法的綜合使用，給學(xué)生提供足夠的材料和時(shí)間，啟發(fā)學(xué)生積極思維。相信會(huì)使學(xué)生在認(rèn)識(shí)層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學(xué)成效.

參考文獻(xiàn)：

[1]何池旺.重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，提高高考復(fù)習(xí)效率[J]，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版），2009（03）.

[2]劉兆紅.由數(shù)思形以形想數(shù)做好數(shù)形轉(zhuǎn)化——對(duì)用數(shù)學(xué)思想方法解題的思考[J]，中學(xué)教學(xué)參考，2011（01）.

[3]山東省臨沭縣南古中學(xué)吳清光.數(shù)學(xué)思想方法在中學(xué)教學(xué)中的簡單認(rèn)識(shí)[N]，學(xué)知報(bào)，2010.

[4]沈家志.例談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2012，12：134-136.

[5]劉志偉.淺析數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012，11：21-23.