“導數不等式恒成立”問題的轉化途徑

摘要：數形結合的數學思想是解決“導數不等式恒成立”問題的關鍵。本文從求最值、確定參數取值范圍、借助圖形特征等方面來探究解決導數不等式恒成立問題的轉化途徑，供廣大同仁參考。

關鍵詞：導數不等式恒成立 數形結合 轉化途徑

“含參數不等式的恒成立”問題是高考的熱點，這類題型的綜合性較強，而且確定參數取值范圍的不等量關系經常以導數作為載體，主要考查學生運用等價轉化和數形結合思想的能力。

例1. 已知f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1與x=2時都取極值。①求a，b的值；②若對于x∈[-3，2]都有f（x）>■-■恒成立，求c的取值范圍。

分析：將x∈[-3，2]都有f（x）>■-■恒成立的問題轉化為f（x）min>■-■。

解：（1）f（x）=x3+ax2+bx+c？圯f′（x）=3x2+2ax+b

根據題意得出：f′（x）=0 的兩個根，

∴a=■，b=-6

（2）f（x）=x3+■x2-6x+c？圯f′（x）=3x2+3x-6=0

比較f（-3），f（1），f（2）。當x∈[-3，2]時，f（x）min=-■+c。

∴-■+c>■-■即■ >0 ∴■■。

點評：抓住可導函數的極值與閉區間端點處函數值的比較是解決這類型問題的關鍵。

例2.已知f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）函數。①若函數f（x）在區間（0，1）上為單調函數，求實數a的取值范圍；②當t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數a的取值范圍。

解：①f′（x）=2x+2+■=■

若f（x）在（0，1）上單調增，則2x2+2x+a≥0在x∈（0，1）上恒成立？圯a≥-2x2-2x恒成立

令u=-2x2-2x，x∈（0，1），

則u=-2（x+■）2+■，umax=0∴a≥0

若f（x）在（0，1）上單調減，則2x2+2x+a≤0在x∈（0，1）上恒成立？圯a≤[-2x2-2x]min=-4

所以a的取值范圍是：（-∞，-4]∪[0，+∞）。

②（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3恒成立

a[ln（2t-1）-2lnt≥-2t2+4t-2]？圯a[ln（2t-1）-lnt2]≥2[（2t-1）-t2]

當t=1時，不等式顯然成立；

當t>1時，t2-（2t-1）=t2-2t+1=（t-1）2>0？圯t2>2t+1？圯1nt2>1n（2t-1）？圯a≤■在t>1時恒成立。令u=■，即求u的最小值。

設A（t2，lnt2），B（2t-1，1n（2t-1）），kAB=■，且A、B兩點在y=1nx的圖像上，又∵t2>1，2t-1>1，故0

∴u=2·■>2，故a≤2，即a的取值范圍為（-∞，2]。

數學思想方法是解決數學問題的靈魂，在解決“導數不等式的恒成立”問題的過程中，我們都要進行一系列的等價轉化，并運用數形結合的思想，才能更有效、更快捷地解決這類問題。

（作者單位：江西省南昌市鐵路一中）