一道應用題的四種解法

江蘇省高考數學應用題的考察模式主要是建立函數關系式，進而求函數的最值，這已成為高考的熱點。下面，筆者以一道應用題為例，談幾種常見的應用題解題方法。

例題：某市現有自市中心O通往正西和北偏東30°方向的兩條主要公路，為了解決該市交通擁擠問題，市政府決定修建一條環城公路，分別在通往正西和北偏東30°方向的公路上選用A，B兩點，使環城公路在A，B兩點間為直線段，要求A，B路段與市中心O的距離為10km，且使A，B兩點間的距離|A，B|最小，請你確定A，B兩點的最佳位置。

一、利用角作變量，導數求最值

設∠BAO=α，則∠BAO=60°-α，所以，AB=AC+BC=■+■。

令tanα=t，α∈（0°，60°），t∈（0，■），則AB=f（t）=30■。求導令f′（t）=0，得t=■或

-■（舍）。

當t∈（0，■）時，f′（t）<0；當t∈（■，■）時，f′（t）>0，

所以，當t=■，即α=30°時，AB有極小值，也是最小值。此時，A，B兩點離市中心的距離均為20km。

二、利用角作變量，三角恒等變換求最值

由方法1可知：AB=AC+BC=■+■

=10（■+■）=10■=■

因為α∈（0°，60°），所以α=30°當時，AB有最小值。

三、與解析幾何結合，基本不等式求最值

以市中心O為坐標原點，正東方向為x軸正方向建立直角坐標系。

設A（a，0），a<0；B（b，■b），b>0

則AB的方程為：■bx-（b-a）y-■ab=0，

點O到AB的距離為10，所以得出：■=4b2+a2-2ab，

而AB2=（a-b）2+3b2=a2-2ab+4b2=■a2b2

要求AB，即求a2b2的最小值。利用基本不等式4b2+a2≥-4ab，■+2ab≥-4ab，得ab≤-200，（當且僅當“a=-2b”取“=”），

AB≥20■。此時，A，B兩點離市中心的距離均為20km。

四、與解三角形結合，基本不等式求最值

利用余弦定理與三角形面積公式可得：

cos∠AOB=■■OA·OB·sin∠AOB=■AB·10 ？圯

AB2=0A2+OB2+OA·OBOA·OB=■AB

要求AB最小值，即求OA·OB的最小值。

利用基本不等式OA2+OB2+OA·OB≥3OA·OB

（當且僅當“OA=OB”取“=”）？圯AB2≥20■AB

∴AB≥20■。此時，A，B兩點離市中心的距離均為20km。

在解答應用題時，學生應首先讀懂題意，然后引進適當的變量，注意知識的綜合運用，才能更好地作出解答。

（作者單位：江蘇省泰州市民興實驗中學）