學(xué)習(xí)立體幾何的好幫手

立體幾何是必修2的內(nèi)容，對(duì)剛升入高中的學(xué)生來(lái)說(shuō)是學(xué)習(xí)的難點(diǎn).高一新生處理數(shù)學(xué)問(wèn)題還停留在代數(shù)的、平面的思維角度.怎樣才能使學(xué)生比較快地從平面上升到空間，學(xué)好立體幾何？從學(xué)生熟悉的正方體出發(fā)無(wú)疑是有效的途徑.

1.借助正方體認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

正方體中蘊(yùn)含了空間點(diǎn)、直線、平面之間的所有位置關(guān)系.以正方體為依托，直觀感知空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系，改變了學(xué)生只習(xí)慣于在一個(gè)平面內(nèi)考慮問(wèn)題的狀態(tài)，幫助學(xué)生從已有的平面幾何知識(shí)拓展到空間立體幾何知識(shí)，建立空間觀念.

2.借助正方體掌握定理的應(yīng)用

判定定理、性質(zhì)定理不只是識(shí)記，關(guān)鍵是會(huì)應(yīng)用.以下列舉的幾個(gè)問(wèn)題，以正方體為載體，沒(méi)有增加太多的其他已知條件，涉及平行、垂直、角度等問(wèn)題，完全是定理應(yīng)用的簡(jiǎn)單的實(shí)戰(zhàn)演練，可以作為定理的初步應(yīng)用，幫助學(xué)生掌握定理的應(yīng)用及證明的正確表達(dá).

3.借助正方體解題

例1：（09福建理17）如圖2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E為BC的中點(diǎn).

（Ⅰ）求異面直線NE與AM所成角的余弦值；

（Ⅱ）在線段AN上是否存在點(diǎn)S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求線段AS的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

分析：根據(jù)已知條件，將原圖形補(bǔ)形為正方體ABCD-A′NC′M，如圖3所示.（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)F，則異面直線NE與AM所成角轉(zhuǎn)化為直線A′F與AM所成的角；（Ⅱ）若存在ES⊥平面AMN，則ES⊥AN，因?yàn)锳E=EN，所以S應(yīng)為AN的中點(diǎn).

圖3

學(xué)生對(duì)原圖不熟悉，容易造成畏懼心理.這種心理必然會(huì)給解題造成消極影響.把原圖補(bǔ)形成學(xué)生熟悉的正方體可以有效排除上述心理障礙，從而幫助學(xué)生順利解題.

例2：將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個(gè)結(jié)論：①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角為60°.

分析：教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生因畫不出折后的直觀圖解題而一籌莫展.如圖4所示，把折后圖融入到正方體中，可以有效幫助學(xué)生分析圖形，識(shí)別直線與平面之間的位置關(guān)系，獲取正確的解題思路，從而順利解題.

圖4

從點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系、定理等立體幾何的基礎(chǔ)知識(shí)的掌握到實(shí)際問(wèn)題的解決都離不開正方體.正方體是學(xué)習(xí)立體幾何的好幫手.