使學生掌握基本數學思想方法的幾點做法

《初中數學新課標》在闡述教學的總體目標時指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠：獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能；初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識……”。

這里，明確提出學生要獲得“基本的數學思想方法和必要的應用技能”，要“增強應用數學的意識”。作為初中數學教師，我深切地感受到，如何使學生構建數學思想觀念，學會用數學思想方法解決問題，關系到學生能否更快地適應將來的學習，關系到學生能否從整體上培養和發展思維能力，因此，這是擺在每個初中數學教師面前的極其重要的任務。

一、平時要重視數學思想方法的教學

常用的數學思想方法主要有：一般化、特殊化、逆向思維、化歸思想、抽象化、具體化、數形結合、類比、規則化、遞推法、歸納法、換元法……等等，了解并逐步學會運用這些常見的數學思想方法，無疑是提高分析和解決問題水平的重要手段。

例1 小亮拿來一張如圖1的矩形紙，沿虛線對折一次得圖2，再將對角兩頂點重合折疊得圖3，按圖4沿折痕中點與重合頂點的連線剪開，得到的三個圖形分別是（ ）。

A. 都是等腰梯形 B. 都是等邊三角形

C. 兩個直角三角形一個等腰三角形

D. 兩個直角三角形一個等腰梯形

分析 如果看著圖4去想，感覺有一定難度。那么，沿圖4的虛線剪開相當于沿圖2的什么線剪開？稍作觀察，不難發現上述操作相當于沿圖2的對角線AC剪開，剪開后再展開顯然是兩個直角三角形和一個等腰三角形，因此選C。

說明 上述思考方法靈活應用了逆向思維，把抽象復雜的問題轉化成直觀和簡單的問題。

二、使學生會用方程思想思考問題

所謂方程思想，是指從分析問題的數量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數量關系通過適當設元建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式，它在代數，幾何以及生活實際中都有著廣泛的應用。方程思想是十分重要的數學思想，它與算術思想的最大區別在于：算術思想總是把未知量置于主要地位而把已知量置于從屬地位（用已知量組成的綜合算式來表示未知量）；而方程思想是用平等的觀念來看待未知量和已知量，把它們置于不偏不倚的數量關系的系統之中來研究，正因為兩種量的平等性才使得解題思路更開闊、更靈活、更容易。

1. 要建立用方程思想解題的意識

無論是代數的，還是幾何的，凡是不能通過直接計算解決的計算題，要馬上想到用方程（組）來解決。不少同學只習慣于應用題才用方程（組）來解，而其他問題，尤其是幾何計算題則往往忽視了方程的應用，使本來并不困難的問題復雜化。因此，在學習過程中我們要建立方程的思想觀念，要善于挖掘問題的隱含條件，充分應用方程思想來解決。

2. 要具有正確列出方程的能力

有些數學問題需要利用方程解決，因此，能否正確列出方程是解題的關鍵，且要培養具有正確列出方程的能力。這里需要指出的是，“部分量的和等于總量”是一個十分重要而廣泛的等量關系，相當多類型的等量關系可以歸結這個基本關系之中，比如部分路程的和等于總路程、部分時間的和等于總時間、部分工作量的和等于總工作量、部分液體的和等于總的液體、溶劑與溶質的和等于溶液、部分線段的和等于總線段……等等，因而必須引導學生掌握這個基本關系的應用技巧。

3. 要掌握運用方程思想解決問題的要點

和方程思想有關的內容，除了應用題以及幾何的計算問題外，一元二次方程的根的判別式，根與系數關系，函數圖像的交點，函數與不等式的關系等，這些內容也與方程有著密切的聯系。

三、使學生會用函數思想思考問題

大家知道，函數揭示了在運動與變化過程中量與量之間存在的一般性規律。研究函數的性質與圖像，就是用運動、變化的觀點和數形結合的思想來觀察、分析和解決問題。根據問題的條件及所給數量關系構造函數關系式，會使原問題在函數關系中實現轉化，然后可以用函數的圖像與性質來解決這個問題。

例2 某加工廠以每噸3000元的價格購進50噸原料進行加工。若進行粗加工每噸加工費用為600元，需 天完成，每噸售價4000元；若進行精加工每噸加工費用為900元，需 天完成，每噸售價4500元，現將這50噸原料全部加工完。

（1）設其中粗加工x噸獲利y元求y與x的函數關系式（不要求寫自變量的范圍）；

（2）如果必須在20天內完成如何安排生產才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解 （1）y=4000x-600x-3000x，∴ y與x的函數關系式是y=400x。

（2）設應把x噸進行粗加工，其余的進行精加工。依題意得

設這時的總獲利為y元，則y=（4000-3000-600）x+（4500-3000-900）（50-x），即y=-200x+30000。

由一次函數的性質可知，這里的y隨x的增大而減少。因此，當x取最小值30時y的值最大，并且這個值等于24000。

答 應當把30噸原料進行粗加工，另外20噸進行精加工才能獲得最大利潤，最大利潤為24000元。

四、使學生會用對應思想思考問題

事實上，函數就是一種對應，只是這種對應被局限在數與數之間罷了。對應包含了比函數更廣泛的內容。用對應思想思考問題有助于抓住問題的本質，有助于把復雜的問題條理化和具體化。因此，能否自覺或不自覺地應用對應思想思考問題，不僅是檢驗學生數學思維能力的一項重要內容，也將對學生以后能否進一步深入學習數學產生重要的影響。

比如用符號表示兩個全等或相似三角形時，之所以要把對應頂點上的字母寫在對應位置上，是因為對應的思想的應用。這樣表示，我們就可以不看圖形直接從對應位置中找出這兩個三角形的對應邊、對應角以及其他對應元素。

又如從n邊形的一個頂點出發能引幾條對角線？能把n邊形分成幾個三角形？用對應的思想來思考就能更好地理解這個問題：事實上，和這個頂點不相鄰的一條邊與這個頂點正好對應一個三角形，因此上述三角形的個數等于和這個頂點不相鄰的邊的條數，也就是（n-2）。

再如，47693是第幾個正奇數？面對這個簡單問題，不少學生感到茫然不知所措。如果會用對應的思想就沒有什么困難了：當整數n≥1時，2n-1表示第n個正奇數，因為47693=2×23847-1因此47693為第23847個正奇數。

例3 兩條直線相交于一點有2對對頂角；三條直線相交于一點有6對對頂角；……問n（n≥2）條直線相交于一點共可組成多少對對頂角。

分析 兩條直線相交于一點和三條直線相交于一點較簡單，不難得出答案。之后就有些困難了。那么，怎樣把復雜的問題轉化成簡單的問題呢？這里，引導學生用對應的思想思考問題，就能抓住問題的關鍵。

最簡單的情形是兩條直線相交，可組成兩對對頂角。那么，三條直線相交于一點，四條直線相交于一點，……n條直線相交于一點，分別相當于多少組的兩條直線相交？假如對應著m組的兩條直線相交，那么總共有2m對對頂角。

設這n條直線分別為a1，a2，a3，……an，則

含a1的兩條直線有a1與a2，a1與a3，a1與a4，……， a1與an共（n-1）組；

含a2的兩條直線有a2與a1，a2與a3，a2與a4，……，a2與an共（n-1）組；

含a3的兩條直線有a3與a1，a3與a2，a3與a4，……，a3與an共（n-1）組；

………

含an的兩條直線有an與a1，an與a2，an與a3，……，an與an-1共（n-1）組。

以上總共有n（n-1）組，因為每一組各算了兩次（重復了一次），所以n條直線相交于一點，每兩條為一組，共有組，因為每一組產生二對對頂點角，因此所要求的對頂角共有n（n-1）對。

∴n條直線相交于一個點，可組成n（n-1）對對頂角。

說明 事實上，只要n條直線兩兩相交，就產生了n（n-1）對對頂角。

五、使學生會用數學知識解決實際問題

學習的最終目的是應用。引導學生經常用數學知識解決力所能及的實際問題，能使學生在獲得成功喜悅的同時，激發其對數學的進一步熱愛。這也是培養學生數學思維能力的重要手段。因此我們要引導學生養成用數學思想觀念思考問題和應用數學知識解決思際問題的習慣。

例4 （造橋選址問題）如圖5，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN。橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短 （假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直） ？

分析 無論M、N選在何處，MN的長度都一樣。為了使路徑AMNB最短，只要使AM+BN最短就行了。由于AM與BN是分散的，因此，把它們平移在一起可能有助于問題的解決。

假設圖5中的M′、N′就是造橋的地址，我們把AM′向下平移，使得M′與N′重合（如圖5），為了使AM′+BN′最短，必須使A′N′+BN′最短。顯然當A′、N′、B三點在一條直線時，A′N′+BN′最短，這樣，N的位置就確定下來了。

事實上，因為AM′平行且等于A′N′，如果把AA′連接起來，那么四邊形AM′N′A′就是一個平行四邊形，因此AA′平行且等于M′N′，也就是說AA′可以從M′N′平移得到。

解 （1）在兩河岸間隨便作一條垂線段M′N′（M′在直線a上），平移M′N′使M′與A重合，N′和點A′對應。

（2）連接A′B交直線b于點N，過點N作MN⊥a于點M。

那么，點M、N就是所要求作的造橋地址。

說明 以上分析過程充分應用了數學中的分析法，亦即由果索因的思想方法，同時也體現了換個角度看問題的思想方法，它們在數學和現實生活中都具有重要應用。