巧解排列組合題的幾種方法

〔關鍵詞〕 數學教學；排列組合題；解答；方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）03—0087—01

排列、組合題是高中數學中相對獨立的部分內容，它與其他知識聯系較少，內容比較抽象。不少學生在學習排列、組合問題時，感到束手無策，并時常出現錯誤。那么，怎樣才能快速解答排列組合題呢？首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題；其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析，同時還要講究一些策略和方法方面的技巧。

一、相鄰問題合一法

對于相鄰問題，先將相鄰元素“合并在一起”，當作一個元素進行全排列，然后再把個別相鄰元素進行交換排列。

例1 6名同學排成一排，其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有（ ）

A.720種 B.360種 C.240種 D.120種

分析：因為甲、乙必須排在一起，姑且把他們“合并”在一起，當作一個人對待。這樣就相當于只有5名同學進行全排列，共有A =120種排法，但甲、乙相鄰有兩種排法，因而共有2A =2×120=240種排法。

二、不相鄰問題定位法

對于不相鄰問題，可先將不相鄰元素進行“定位”排列，然后再對其他元素進行全排列。

例2 6個人站成一排，甲、乙之間必須間隔兩人的不同站法有（ ）

A.144種 B.72種 C.48種 D.24種

分析：因為甲、乙不相鄰，并且他倆之間必須間隔兩人。先將甲（乙）安排（或不排）在某位置，后排其他人，按照甲（乙）所站的位置可分3類。

1.甲（乙）站在左起第一位時，乙（甲）必須站在第4位，共有2A =48種。

2.甲（乙）站在左起第二位時，乙（甲）必須站在第5位，共有2A=48種。

3.甲（乙）站在左起第三位時，乙（甲）必須站在第6位，共有2 A=48種。

所以，根據加法原理得，合乎題意的不同排法種數為48+48+48=144種。

三、特殊元素（位置）先排法

對于帶有特殊元素（位置）的排列、組合問題，先滿足特殊元素或特殊位置，即先考慮特殊元素（位置），后考慮其他一般元素（位置）。

例3 學校上午共四節課，某班上午要排語文、數學、物理、體育四門課程，要求體育課不能排在第一節和第四節，共有多少種不同排課方案？

分析：本題有兩種方法，可以優先安排特殊元素，也可以優先安排特殊位置。下面就優先安排特殊元素的方法進行講解。

由于體育課不能排在第一節，也不能排在第四節課，故體育課就是“特殊元素”，應優先安排。按體育課排在第二節和第三節課分兩類。

1.體育課排在第二節，其余課程做全排列有 A=6種排法排課方案。

2.體育課排在第三節，其余課程做全排列有A=6種排法。

由分類計數原理，共A+A=2A=12種排課方案。

四、先選后排法

從幾個元素中選出符合條件的幾個元素，然后進行排列組合。

例4 由5男4女中選出3男2女組成體育代表隊，但正、副隊長必得由男隊員擔任，問共有（ ）種選法？

A.126種 B.180種 C.360種 D.720種

分析：5名男運動員中選出3名，有C=10種選法。4名女運動員選出2名，有C=6種選法。按乘法原理，共有C·C=10×6=60種選法。但選出的3名男生哪兩名擔任正、副隊長，這是一個排列問題。于是選正、副隊長共有A=6種選法。

把以上隊員的選取和正、副隊長的選舉結合起來，由分步計數原理便知共有C·C·A=10×6×6=360種選法。

五、不相鄰問題插空法

對于幾個元素不相鄰的排列問題，可先將無特殊要求的元素進行全排，再將規定不相鄰的元素在已排好的元素之間及兩端空隙處插入。

例5 3個男生和4個女生站成一排，男生不能相鄰，有多少種不同的排法？

分析：先將4名女生進行排列，共有A=24種排法，再在這四名女生之間及兩端的5個“空檔”處選三個位置讓3名男生插入，則有A=60種排法，所以共有A·A=24×60=1440種排法。

? 編輯：謝穎麗