談一類未定式極限的計算

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；極限；未定式；計算

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）03—0088—01

極限是高等數(shù)學中最基本的概念，不論微分、積分還是級數(shù)的收斂，都是通過極限概念來定義的，并根據(jù)極限的計算方法來研究微分與定積分的計算.因此，我們在引入極限概念后，又詳細地討論了極限的計算.當我們深入討論極限的計算，特別是利用L’Hospital法則進行極限計算時，我們會發(fā)現(xiàn)這些討論都未涉及對型未定式的計算，似乎覺得型未定式的計算，只能借助于L’Hospital法則或無窮小的等量代換來求出它們的極限.利用L’Hospital法則計算這一類極限，不但步驟非常繁瑣，并且計算起來費時，而且教材在安排這一類極限問題時，并沒有將問題安排在L’Hospital法則的學習章節(jié)中，因此這一類極限的計算成為學生學習的難點.我們在對這一類極限的進一步研究發(fā)現(xiàn)，這一類極限完全可以利用重要極限，通過所求極限中函數(shù)的本身性質(zhì)，給出這一類極限計算的一個簡捷公式，從而統(tǒng)一并簡化這一類極限的計算方法和步驟.為了得到本文的主要結(jié)果，我們先不加證明地給出如下引理.

引理 對于冪指函數(shù)u（x）v（x）（u（x）>0，u（x）≠0），如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，則limu（x）v（x）=ab. （1）

定理 如果limu（x）=1（u（x）≠1），limv（x）=∞且limv（x）[u（x）-1]=b，則 limu（x）v（x）=eb. （2）

例1 計算極限[lim][x?0]（），其中a>0，b>0，c>0.

解：令u（x）=，v（x）=，則u（x）和v（x）滿足定理的條件. 又因為[lim][x?0]v（x） [u（x）-1] = [lim][x?0]（ ++）=（lna+lnb+lnc）=ln（abc）.

故由定理得[lim][x?0]（）=e=.

例2 計算極限[lim][x?0]（）.

解：由定理我們只需計算如下極限

[lim][x?0]（-1）=[lim][x?0] =0，

由此得[lim][x?0]（）=e0=1.

例3 計算[lim][x?0]（） ，其中a1>0，a2>0，……，an>0.

解：由定理知，要計算上式我們只需計算如下極限，[lim][x?0]（-1）

=[lim][x?0]（++……）

=（lna1+lna2+……+lnan），

故得[lim][x?0]（）

=.

例4 計算[lim][x?0]（），其中a1>0，a2>0，……，an>0.

解：經(jīng)驗證，所求極限中的函數(shù)滿足定理的條件，因此我們只需計算如下極限

[lim][x?0]（-1）

=[lim][x?0]

=，

由此可得 [lim][x?0]（）

=（a1a2……an）.

? 編輯：謝穎麗