在研究函數性質中穩健用好導數工具

摘 要：培養學生運用數學知識解決數學問題的能力是數學教育工作者的重要目標，其中學生的解題能力是考察學生數學知識和能力水平的綜合評價指標。本文通過對導數知識研究函數性質的部分類型試題的分析，總結出一種解決此種類型題的解題策略，以此希望能對學生在解決此類習題能力上有所提高，并能在解題思考方法上起到一定的借鑒作用。

關鍵詞：函數； 導數； 函數的單調性

中圖分類號：G633.66 文獻標識碼：A 文章編號：1006-3315（2013）04-012-002

導數的概念起源于幾何學中的切線問題及力學中的速度問題，從而引入函數的導數定義。反過來，導數最重要的價值，就是導數是一種方便研究函數性質的工具，比如求曲線的切線，求函數的單調區間，求函數的極值和最值，恒不等式問題等等。作為一個重要的工具，導數運算一定要準確，特別注意的是分式、對數式、復合函數的求導結果要進行演算之后再進行下一步的運算。從近幾年的高考壓軸題中，足可見導數在研究函數性質中的重要性，下面用幾例高考考題來深刻剖析運用導數工具研究函數性質的過程中注意的具體問題，總結出相對應的解題策略，從而讓學生更好地掌握用導數工具研究函數性質這種方法。

即g（x）在（0，+∞）上單調增加，根據g（x）的單調性可得如下結論

當x1>x2>0時，有g（x1）>g（x2），易得題中結論；

當x2>x1>0時，有g（x1）

例2（2010年遼寧理科21題）已知函數f（x）=（a+1）Inx+ax2+1

（1）討論函數f（x）的單調性；

（2）設a<-1，如果對任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）-f（x2）≥4x1-x2求a的取值范圍。

通過對近四年遼寧高考數學試題中關于運用導數工具研究函數性質的分析思考，可以清晰地總結出基本的解題策略（1）關注函數f（x）的定義域（它是研究函數其它問題的前提）；（2）正確求出函數f（x）的導數f'（x）是解題的關鍵（此處要對導數結果進行演算無誤后再進行下一步）；（3）對f'（x）中的因式進行分解（注意因式分解的技巧）；（4）討論f'（x）的值得出函數f（x）的單調性（此處要抓住f'（x）式子中的關鍵因式細致分析，不要遺漏）；（5）構造新函數g（x）（往往利用結論形式或結論的變形來得到新函數g（x）的解析式）；（6）正確求出函數g（x）的導數g'（x）（此處也要注意g'（x）的結果不許有誤）；（7）討論g'（x）的值，利用g（x）的單調性得到結論（此處是題的難點，常用方法有分離參數求最值，均值不等式轉化條件，函數值為0時的點，巧設自變量值為求證結論搭橋等）。總之，在運用以上解題策略時，要求使用者在運用中要步步細致，環環相扣，這樣才能在運用導數工具研究函數性質的復雜問題時取得預期的效果，發揮出解題策略的價值。

參考文獻：

[1]2012年普通高等學校招生全國統一考試試題及參考答案[M]大連：遼寧師范大學出版社，2012.6：32，37

[2]劉慶華.碩士專業學位研究生入學資格考試數學考前輔導教程[M]北京：清華大學出版社，2005.6

[3]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M] 北京：高等教育出版社，1980.9：108