“幾何直觀”在數學教學中的運用

《義務教育數學課程標準（2011年版）》在十大核心概念中指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習中都發揮著重要作用?！睘榇耍鳛橐痪€教師有必要深入領會“幾何直觀”的內涵和作用，思考在教學中如何去運用“幾何直觀”。

一、明確“幾何直觀”的內涵

“幾何直觀”作為數學學習的一個重要思想和思維方法，在數學教學和數學學習中有著廣泛運用。為此，要明確“幾何直觀”中所指的“幾何”，不僅僅是幾何圖形，還可以是運算符號、方框、箭頭等直觀符號組合表示的圖示語言，甚至用文字、符號、字母等表示出來的數量關系式都可以看成是“幾何直觀”。用這種圖示語言可以簡明直觀地表示數量關系，有助于探索解決問題。同時也要明確“幾何直觀”中所指的“直觀”，不僅僅是直觀地再現問題情境，而應該是經過概括、提煉，使問題情境數學化、抽象化，具有既形象具體又簡單抽象雙重特點的直觀，只有這樣的“直觀”才能凸顯問題中的數量關系，有助于探索解決問題。

二、懂得“幾何直觀”的作用

“幾何直觀”作為一種數學思維方法，在不同年級解決不同類型的問題中都能發揮很好的作用。

1.借助“幾何直觀”分析題意。

在低年級教學中，有些較復雜的實際問題可借助“幾何直觀”幫助學生分析，理解題意。如，“媽媽買來一些蘋果，第一天吃了一半，第二天又吃了剩下的一半，盤里還剩下3個，媽媽原來買了多少個蘋果？”教學時，教師可以用如圖1所示的圖形來表示問題意思，幫助學生理解題意。

圖1

有了這個直觀圖形的支撐，學生很容易就能推算出原來蘋果的個數：3×2=6（個），6×2=12（個）。教師要有意識引導學生學會看懂圖示語言，體會示意圖既簡潔又形象的特性，能為解決問題提供清晰的思路，讓學生產生對圖示語言的好感和畫圖的愿望，培養學生運用“幾何直觀”的意識。

2.借助“幾何直觀”解決植樹問題。

一位教師教學“植樹問題”時，先借助直觀圖形進行分析，并從圖形中歸納總結出一般的解題方法。即先讓學生在紙張上模擬植樹，得出在一條直線上植樹的三種情況。

用“ ”代表間隔，用“＼”代表一棵樹，畫“＼”就表示種了一棵樹。讓學生在這段路上種上6棵樹，想想、做做，你能有幾種種法？

先讓學生動手畫一畫，獨立完成，然后在小組內交流，再指名匯報。

根據學生的匯報，整理成如圖2所示的三種情況：

①＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 兩端都種

②＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 或 ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 一端種

③ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ ＼ 兩端都不種

圖2

使學生感悟到棵數與間隔數的關系。兩端都種：棵數＝間隔數+1；一端種：棵數=間隔數；兩端都不種：棵數=間隔數-1。這樣，借助幾何直觀，抽象出數量關系，從而提高學生分析和解決問題的能力。

3.借助“幾何直觀”解決圖形問題。

例如，“岑兜中心小學原來有一個長方形操場，長60米，寬40米。擴建校園時，操場的長增加了20米，寬增加了10米。操場的面積增加了多少平方米？”這個問題不畫示意圖，學生容易理解為增加的面積是20×10=200（平方米）。畫出如圖3的示意圖后，學生就能清楚地看到，增加的面積不是一個長方形，而是一個“L”形，要知道“操場的面積增加了多少平方米？”就得把“L”形的圖形分割成幾個長方形來求增加部分的面積。

圖3

4．借助“幾何直觀”解決分數實際問題。

如，人教版六年級上冊“用分數乘法解決問題”有一道題為：“人心臟跳動的次數隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多■。嬰兒每分鐘心跳多少次？”其規范線段圖如圖4所示。

圖4

有位教師組織教學時，先讓學生自由畫圖，再展開交流。

師：先畫什么？

生：先畫表示青少年心跳次數的線段，表示單位“1”。

師：先畫出第一條線段。（教師畫）

師追問：接下來怎么畫呢？

當學生回答“再畫表示嬰兒心跳次數的線段”時，許多學生覺察到“應先畫與第一條線段同樣長的線段，再畫多出部分”。隨后，教師還不罷休，繼續問道：“多出部分怎么畫？由此有力地詮釋了■的數學意義。通過直觀線段圖的分析，學生充分領會了“用分數乘法解決問題”的基本思路。此后，線段圖便能作為一種有效工具，幫助學生解決相關的數學問題。

5.借助“幾何直觀”解決倒推問題。

利用“倒推法”解決實際問題時，教會學生畫示意圖來分析題意尤為重要。如，“小明原來有一些郵票，今天又收集了24張，送給小軍30張后，還剩52張。小明原來有多少張郵票？”可將摘錄的信息圖5所示的推導圖來表示信息間的聯系。

原有？張→又收集24張→送給小軍30張→還剩52張

原有？張←去掉24張←跟小軍要回30張←還剩52張

圖5

用箭頭標出“倒推”的思路，學生更容易理解和掌握“倒推”的方法。

總之，“幾何直觀”作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》新增的核心概念，是學習數學知識和解決數學問題常用的方法，讓學生養成用圖形、符號語言的直觀方法來分析問題、解決問題的習慣，對提升學生的能力和數學素養有著極其重要的作用。

◇責任編輯：谷曉華◇