無網格流形方法在固體力學中的應用研究

摘 要：在原有的無網格類方法中，為了克服位移場中不連續的問題，通常使用通視準則、繞射準則以及透明準則等方法，但是這些方法并不能完全解決問題。為了彌補不足，無網格流形方法中引入了有限覆蓋技術，該技術可以在無網格類方法處理不連續問題的過程中提供準確的數學依據。但是，當節點形成的覆蓋沒有和不連續連接在一起時，不連續會把覆蓋分割成不規則的子覆蓋，造成計算結果的不準確。為了克服有限覆蓋技術的這一缺點，無網格方法采用強化分析法，目的是通過裂紋尖端位移場中的奇異項使無網格流行方法中的基函數得到擴展，對于無網格方法是種強化和擴展。

關鍵詞：無網格；固體力學；流行方法；有限覆蓋

1 引言

無網格方法是一種計算精度高、前處理簡單的新興數值方法。由于無網格方法成功擺脫了網格的束縛，只需節點信息，因此，在處理復雜的工程問題和科學問題中發揮了重要作用。無網格方法的發展時間短，其性質和方法還需進一步的研究和完善。無網格流形方法就是把數值流形方法植入無網格方法中得到的，是對無網格方法的一種擴展[1]。

無網格流形方法是無網格方法中的其中一種，該方法無需設立流形單元，在模擬不連續問題是發揮著無可替代的作用[2]。無網格流形方法沒有誕生之前，無網格方法在處理不連續問題時通常使用透明準則、通視準則以及繞射準則等數值經驗方法。透明準則把裂紋當做不完全的阻隔體，具有一定的穿透能力；在通視準則和繞射準則中，裂紋則被視為阻隔體，區別在于在通視準則中，受阻隔的節點之間互不影響；在繞射準則中，影響線在裂紋尖端則會發生繞射現象[3]。受數值經驗方法的限制，這些方法在處理不連續問題的過程中還會產生新的不連續，試函數的建立也因此受到影響。為了彌補數值經驗方法的不足，在無網格流形方法中引入了有限覆蓋技術，該技術為無網格方法在處理不連續問題的過程中提供了良好的數學支撐，避免了對試函數的影響。但是，有限覆蓋技術也有不足，當節點形成的覆蓋沒有穿過不連續時，不連續則會把覆蓋分割成為不規則的子覆蓋，影響了計算精度。

為了解決無網格流行方法在應用中產生的問題，許多學者對其進行了研究和探索，本文在無網格流行方法應用中引入了強化分析的理論，基于該理論提出了強化的無網格流行方法，同時，經過實踐驗證，強化的無網格流行方法在固體力學應用過程中，能夠增強求解問題的相關能力，同時也提高了無網格流行方法的計算結果的精確度，實踐證明增強的無網格流行方法具有高精度、高效率和高可靠性[4]。

2 增強的無網格流形方法試函數建立

迄今為止，無網格方法在固體力學應用過程中，建立試函數是非常關鍵的一個步驟。本文在分析增強的無網格流行方法時，為了降低固體力學計算過程中一些外在客觀因素的影響，考慮使用兩種方法建立無網格流行方法的試函數，一種方法是基于外部的強化法，另一種方法基于內部的強化法，這兩種方法已經成功的無網格類方法和有限元法中得到了實踐證明，具有可行性[5]。

2.1 外部強化法

在增強的無網格流行方法應用過程中，為了建立試函數，許多學者采用單位分解法，該方法在無網格類的固體力學計算方法也得到了廣泛的應用。本文詳細的探索了無網格流行方法試函數建立過程中的外部強化時采用的單位分解法。在采用單位分解法過程中，建立強化的試函數的基本思想是將強化函數直接引入到無網格流行方法的試函數中。比如，就一般情況而言，線彈性斷裂力學的強化函數指的就是裂紋尖端漸近位移函數，我們可以通過單位分解法將該方法加到已有的無網格試函數中，此時，采用單位分解法得到的強化的無網格流行方法試函數可以表示為：

（1）

在公式1中，aa（x）表示多項式系數，nc表示分析域中的相關裂紋數，q（x）指的是外部基函數，k1j和k2j表示與裂紋j相關的一些系數。在該公式中，試函數可以通過強化基函數影響分析域內的相關節點。由此可以得知，在裂紋尖端固體力學分析過程中，通過增加位移函數作為強化函數，位移系數和應力強度因子密切相關。使用增強的無網格流行方法處理固體力學問題時，其對位移系數比較敏感，不能夠直接計算相關的應力強度影響因子，需要借助于積分方法進行，但是該方法的計算量較小，具有高精度和高可靠性，另外，外部強化方法在計算過程中，應將節點相關的所有覆蓋必須包含裂紋尖端的節點，如果不包含，則會導致產生不良解的現象發生。

2.2 內部強化法

在使用內部強化法建立無網格流行方法的試函數時，其試函數的強化也是通過強化基函數得到的，因此，內部強化法就是強化基函數 ，在該基函數中引入強化項，可以得到強

化基函數 ，r指的是徑向基。在無網格流行方法應用于線彈性斷裂力學過程中，基函數應該包含位移尖端漸近的位移場中的一些比較重要的梯度項。在基函數選擇過程中，其決定因素是計算結果的數值精確度，如果需要高精度，則需要對基函數中的每一項進行強化，稱為全基強化法。內部強化法和外部強化法相比，內部強化法無需增加多余的項，但是由于基函數擴展和增強了，因此就會導致增加額外的計算費用，因此，為了降低計算時間，也可以采用局部強化的方法。

參考文獻

[1]劉欣，朱德懋，陸明萬，張雄. 基于流形覆蓋思想的無網格方法的研究[J]. 計算力學學報. 2001（01）

[2]李樹忱，李術才，隋斌，朱維申. 巖體滲流分析的無網格方法[J]. 巖土力學. 2008（01）

[3]李樹忱，程玉民. 基于單位分解法的無網格數值流形方法[J]. 力學學報. 2004（04）

[4]李樹忱，李術才，朱維申. 彈性動力學的無網格流形方法[J]. 巖石力學與工程學報. 2006（01）

[5]李樹忱，程玉民. 裂紋擴展分析的無網格流形方法[J]. 巖石力學與工程學報. 2005（07）