利用隱函數定理解高考中二次曲線的切線問題

導數給高中數學增添了新的活力，也是高考的熱點內容.縱觀歷年高考，有很多導數試題與高等數學中的隱函數導數有關.本文是在高三備考復習中，對近些年來全國和若干省（市）高考數學卷中的把關題和壓軸題做一些簡單分析，旨在為備考初等數學與高等數學的銜接知識方面起拋磚引玉的作用.

一、隱函數定理

設函數F（x，y）在包含（x0，y0）的一個開集上連續可微，并且滿足條件F（x0，y0）=0，Fy（x0，y0）≠0，則存在以（x0，y0）為中心的開方塊D×E（D=（x0-δ，x0+δ），E=（y0-η，y0+η）），使得（1）對任何一個x∈D，恰好存在唯一的一個y∈E，滿足方程F（x，y）=0.這就是說，方程F（x，y）=0確定了一個從D到E的函數y=f（x）；（2）函數y=f（x）在D連續可微，它的導數可按下式計算dydx=-Fx（x，y）Fy（x，y）.

二、問題

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）.（Ⅰ）點P（x0，y0）是橢圓C上一點，求過P點的橢圓C的切線方程；（Ⅱ）點P（x0，y0）是橢圓C外一點，過P引橢圓C的切線PA、PB，點A、B為切點，求直線AB的方程.

解：（Ⅰ）根據隱函數定理f′（x）=dydx=-2xa22yb2=-xb2ya2，∴過P的切線斜率k=-x0b2y0a2，

∴過P的切線方程為y-y0=--x0b2y0a2（x-x0），整理得x0xa2+y0yb2=1.

（Ⅱ）設切點A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）知切線PA：x1xa2+y1yb2=1，切線PB：x2xa2+y2yb2=1，由直線PA、PB的交點為P（x0，y0），所以直線AB的方程為x0xa2+y0yb2=1.

三、推廣

命題1 已知圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2.（1）點P（x0，y0）是圓C上一點，則過P點的圓C的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

（2）點P（x0，y0）是圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2外一點，過P引圓C的切線PA、PB，點A、B為切點，則直線AB的方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

命題2 已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.（1）點P（x0，y0）是雙曲線C上一點，則過P點的雙曲線C的切線方程為x0xa2-y0yb2=1.（2）點P（x0，y0）是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）外一點，過P引雙曲線C的切線PA、PB，點A、B為切點，則直線AB的方程為x0xa2-y0yb=1.

命題3 已知拋物線C：x2=2py（p>0）.

（1）點P（x0，y0）是拋物線C上一點，則過P點的拋物線C的切線方程為x0x=2p·y0+y2.

（2）點P（x0，y0）是拋物線C：x2=2py（p>0）外一點，過P引拋物線C的切線PA、PB，點A、B為切點，則直線AB的方程為x0x=2p·y0+y2.

四、在高考中的應用

圖1【例1】 如圖1，以橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的中心為圓心，分別以a和b為半徑作大圓和小圓.過橢圓右焦點F（c，0）（c>b）作垂直于x軸的直線交大圓于第一象限內的點A.連結OA交小圓于點B.設直線BF是小圓的切線.（Ⅰ）證明c2=ab，并求直線BF與y軸的交點M的坐標；（Ⅱ）設直線BF交橢圓于P、Q兩點，證明OP·OQ=12b2.

解：（Ⅰ）F（c，0），則A（c，b），所以OA的方程為y=bcx.

由y=bcx，

x2+y2=b2得B（bca，b2a），

則根據隱函數定理，小圓O在B點的切線BF的方程為bcax+b2ay=b2，又該切線過點F（c，0），

所以c2=ab，M（0，a），

（Ⅱ）由（1）知切線BF的方程為cx+by=ab，

由方程組x2a2+y2b2=1，

cx+by=ab，

得x1x2=a4b-a2b3a3+b3，y1y2=a2b3-a3b2a3+b3，

∴x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3

=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）.

又c2=ab，a2=b2+c2，∴a2=b2+ab.

∴a+b=a2b，a-b=b2a.

∴x1x2+y1y2=a4b-a2b3a3+b3+a2b3-a3b2a3+b3

=a3b（a-b）（a+b）（a2-ab+b2）=12b2，

所以OP·OQ=x1x2+y1y2=12b2.

圖2【例2】 在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1（0，-3）和F2（0，3）為焦點、離心率為32的橢圓.設橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x、y軸的交點分別為A、B，且向量OM=OA+OB.求點M的軌跡方程.

解：根據題意，橢圓半焦距長為3，半長軸長為a=ce=2，半短軸長b=1，即橢圓的方程為x2+y24=1.

設點P坐標為（cosθ，2sinθ）（其中0<θ<π2），則根據隱函數定理，曲線C在P的切線方程為xcosθ+y2sinθ=1，點A坐標為（1cosθ，0），點B坐標為（0，2sinθ），點M坐標為（1cosθ，2sinθ），

所以點M的軌跡方程為（1x）2+（2y）2=1（x>0且y>0）.

評析：例1是過圓上的點作圓的切線，例2是過橢圓上的點作橢圓的切線，都是研究切線的直線方程，是命題1的應用.

【例3】 如圖3，設拋物線方程為x2=2py（p>0），M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.

（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；

（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，|AB|=410，求此時拋物線的方程；

（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線x2=2py（p>0）上，其中點C滿足OC=OA+OB（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

解：（Ⅰ）證明：由題意設M（x0，-2p），則根據隱函數定理，直線AB的方程為x0x=2p×-2p+y2，即x0x-py+2p2=0.

由x0x-py+2p2=0，

x2=2py得x2-2x0x-4p2=0，①

圖3即2x0=x1+x2.

所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x0=2時，

直線AB的方程為2x-py+2p2=0，

方程①即為x2-4x-4p2=0，

因此x1+x2=4，x1x2=-4p2，kAB=2p.

由弦長公式得|AB|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=1+4p216+16p2.

又|AB|=410，所以p=1或p=2，

因此所求拋物線方程為x2=2y或x2=4y.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知x1+x2=2x0，則y1+y2=2x20+4p2p.

由題意得C（x1+x2，y1+y2），即C（2x0，2x20+4p2p）.

當x0=0時，則x1+x2=2x0=0，此時，點M（0，-2p）符合題意.

當x0≠0時，設D（x3，y3），由題意可得x23=2py3，

y3-2x20+4p2px3-2x0=-px0，

x0x3+2x02-py3+2x20+4p2p2+2p2=0.

解關于x0，x3，y3的方程組，經驗檢該方程組無解.

所以x0≠0時，不存在符合題意的M點.

綜上所述，僅存在一點M（0，-2p）符合題意.

圖4【例4】 設點P（x0，y0）在直線x=m（y≠±m，0

解：（Ⅰ）設A（xA，yA），N（xN，xN），∵AN垂直于直線y=x，則，yA-xNxA-xN=-1，∴xN=xA+yA2，

∴N（xA+yA2，xA+yA2）.設G（x，y），則

x=1m+xA+xA+yA23=13m+12xA+16yA，

y=xA+yA2+yA3=16xA+12yA，

解得xA=94x-34y-34m，

yA=-34x+94y+14m，

代入雙曲線方程x2-y2=1，并整理得9（x-13m）22-9y22=1，即G點所在的曲線方程為（x-13m）229-y229=1.

（Ⅱ）設P（m，y0），則根據隱函數定理得

過P的雙曲線切線方程為mx-y0y=1，

又M（1m，0）滿足上述方程，

∴A、M、B三點共線.

點評：例3是過拋物線外一點作拋物線的兩切線，例4是過雙曲線外一點作雙曲線的兩切線，都是研究切點弦所在的直線方程，是以上命題（2）的應用.

五、評析

（1）在近幾年高考試題中有關過曲線上點的切線、曲線外一點引曲線的兩切線的切點弦問題出現頻率高，而且以壓軸題為主.（2）用隱函數定理解這種題型比用常規方法（判別式法、轉化為求導數、解方程組等）要省事.（3）這種題型具有明顯的高等數學背景，它對進一步學習高等數學來說是非常必須的，具有較好的選拔功能，同時也具有導學和導教功能.

（責任編輯 金 鈴）