數(shù)學習題課教學有效性策略初探

在數(shù)學教學中，習題課是一種重要的課型，具有使學生鞏固及應用所學知識、培養(yǎng)學生數(shù)學應用意識和能力的作用.它是教師掌握教學情況，及時反饋調(diào)節(jié)的一種重要手段.因此，加強習題課教學的實踐與探索顯得尤為重要.然而，在實際教學中，許多教師對習題課仍存在著極大的盲目性和隨意性，“重操練，輕理解；重筆算，輕推理；重算法，輕應用”的傾向依然存在.那么，如何改進數(shù)學習題課教學，提高習題課的有效性呢？

一、追溯誤區(qū)，彌補學生的思維缺陷

數(shù)學錯誤是數(shù)學學習過程的重要組成部分.英國數(shù)學會會長Schwerzenberger曾提出這樣的觀點：“錯誤在數(shù)學學習中與正確一樣重要，讓我們了解學生心里可能的想法，其錯誤并非漫無目的地發(fā)生，而是有理由的.”臺灣大學數(shù)學系黃敏晃教授認為：“能把學生為什么會犯錯背后的原因找出來，則比較容易進行補救性教學，來匡正或預防學生的犯錯行為.”在平時教學中，為了更好地讓學生找到錯誤的原因，筆者將學生作業(yè)中的經(jīng)典錯題用照相機拍下來，并在習題課中進行展示.

【案例1】 筆者在上一元一次方程解法的習題課時，設置了名為“曾經(jīng)錯過”的環(huán)節(jié)（如下圖所示），讓學生從中找出錯誤的地方.

由于這些錯誤源于學生，所以學生比較熟悉，也很感興趣.每個學生瞪大眼睛仔細地找，沒過多久他們就將這些錯誤一一找出.學生在認真、細致觀察這些解題錯誤后，有的還小聲地說：“我不能再犯類似錯誤了.”對于教師而言，學生的這些錯誤是一筆豐厚的“財富”.這些“財富”能讓教師追溯學生的思路，從而捕捉到學生智慧的火花；能讓教師對教學進行反思，從中受益；能讓教師看到學生的欠缺，幫助他們彌補思維的缺陷.

二、善于拓展，深化學生的思維品質(zhì)

課堂上如果教師就題論題，就會把習題課變成簡單、淺薄、貧乏的解題訓練課.因此，教師應善于對習題進行拓展.對習題進行合理、有效地拓展，可以使教學內(nèi)容更充實、更豐富多彩，使課堂充滿活力和生命力，從而優(yōu)化教學效果，提高教學質(zhì)量.

【案例2】 這是市學科骨干班上一位教師上的一堂《直角三角形》習題課的教學片斷.

圖1環(huán)節(jié)一：“會會老朋友”

教師出示一道課本習題：如圖1，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上的一點，且AP=PC，AP⊥PC，則△ABP≌△PDC，請說明理由.（學生口答）

教師對原題進行修改：已知AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，P是BD上的一點，那么△ABP≌△PDC，這個結(jié)論成立嗎？

教師趁機拋出條件串：（1）AP=PC；（2）AB=PD；（3）PB=CD；（4）AP⊥PC.問：你能在條件串中進行挑選，補充與原題不一樣的條件，使結(jié)論成立嗎？（學生一一展示各種可能情況）在此基礎上，連結(jié)AC，問：△APC是一個什么三角形？

環(huán)節(jié)二：展示兩個應用

應用一

圖2如圖2，是由兩個全等的長方形拼出的英文字母“L”，其中B、C、D在同一條直線上，你能借助圖中的頂點畫出一個等腰直角三角形嗎？

這是一道操作題，它是結(jié)論開放性題目，學生可根據(jù)自己的實際水平來解決.大多數(shù)學生很快得到滿足要求的△BHC、△ECD，最后在教師引導下又找到△ACF.

應用二 問題1：如圖3，AB⊥BC，CD⊥BC，垂足分別為B、C.

（1）當AB=1，CD=4，BC=5時，線段BC上是否存在點P，使△APD為等腰直角三角形？如果存在，求線段BP的長；如果不存在，請說明理由.

（2）在圖3中，當AB=a，CD=b，BC=c時，那么當a、b、c之間滿足什么關系時，在直線BC上存在點P，使△APD為等腰三角形？

圖3 圖4

問題2：給你一張長方形紙，你能不借助任何工具，折出如圖4所示的等腰直角三角形嗎？

在這堂課中，教師從課本習題入手，以學生常見的“K”圖形為基點鋪開，通過改變條件、結(jié)論，把散落的相似題型融合在本題之中，再對基礎圖形進行拓展，把圖形放置于“直角梯形”之中，變靜為動，以“點動”帶動圖形的運動變化，探究幾何圖形中的存在性問題及幾何定值問題，并進行逆向思維的滲透，讓學生將相似的數(shù)學情境和相關知識羅列在一起，得出相關問題的思路方法，逐漸總結(jié)歸納出同類問題的思維模式、解題方法與技巧.

三、雕琢細節(jié)，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性

“課堂小細節(jié)，教學大文章.”教學細節(jié)猶如課堂中的精靈，充盈著靈動的智慧，洋溢著人性的光輝.教學細節(jié)看似平常，但平常中蘊含智慧；看似簡單，而簡單中孕育深刻.在應試教育的背景下，教師應敏銳地預見某些細節(jié)所根植的數(shù)學知識在未來的發(fā)展趨勢，做到未雨綢繆.

【案例3】 已知：|a-5|+b-5+（c-20）2=0，求a、b、c的值.

分析：這道題初看不難，它是初中階段三個非負數(shù)的綜合應用，但若再融進偶次冪和完全平方的變式，估計就會難倒一大片學生.這時，不妨將細節(jié)雕琢得更細一些，讓學生能夠后續(xù)發(fā)力.為此，筆者設計如下題組.

題目 求下列各式中字母的值.

①|(zhì)a-5|+b-5=0

②|a-5|+b-5+（c-20）2=0

③|a-1|+b-2+c2+6c+9=0

④|a-1|+b-2+c2+6c+d2-22d+11=0

隨著題組梯度的逐步拔高，學生的思維不斷得到激發(fā)，解題思路也逐漸形成.如此逐步雕琢細節(jié)，或許時間只多用了2～3分鐘，但對于學生來說，知性感受將會是完全不同的.關注教學細節(jié)是提升教學智慧、提高教學實效的必由之路.只有從小處入手，大做文章，我們的課堂教學才會呈現(xiàn)出更多的細節(jié)之美，進而更有效地促進每一個學生的發(fā)展.

四、優(yōu)化練習設計，激發(fā)學生的求知欲

單一形式習題的反復練習，只是一種無差度的重復練習，雖然在某種程度上也能達到鞏固知識的目的，但是由于這樣的練習題是機械的、枯燥乏味的，所以它無法激起學生的興趣，不利于形成學生良好的持久記憶，更不利于發(fā)展學生的數(shù)學思維能力.因此，在課堂教學中，應經(jīng)常設計一題多解、一題多變等練習，開闊學生的視野，培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)造性，使學生在練習訓練的同時，能力也得到相應的提高.

【案例4】 如圖5，AB∥CD，若∠C=60°，∠A=35°，求∠AEC的度數(shù).

解法一：如圖6，過E點作EF∥AB，利用平行線性質(zhì)得∠AEC=95°.

解法二：如圖7，延長AE交CD于點F，利用平行線性質(zhì)和三角形外角定理得∠AEC=95°.

本題關鍵是化折為直，利用“三線八角”和三角形內(nèi)外角知識來解決.

將此題中的圖形稍加改變，可得到如下一組變式練習.

變式1：如圖8，已知AB∥CD，求證：∠B+∠E+∠D=360°.

變式2：如圖8，已知∠B+∠E+∠D=360°，那么AB∥CD嗎？為什么？

變式3：如圖9，已知AB∥CD，那么∠A，∠C，∠E滿足怎樣的關系？

變式4：如圖10，已知AB∥CD，那么∠B，∠D，∠E滿足怎樣的關系？

變式5：如圖11，已知AB∥CD，求∠B，∠E，∠F，∠C滿足怎樣的關系？

變式6：如圖12，已知AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠E=75°，求∠F的度數(shù).

通過以上的一題多解和一題多變的訓練，學生掌握了這個問題的實質(zhì)和規(guī)律，加深了對同類問題的理解.再遇到“改頭換面”的類似題目時，學生就會得心應手、游刃有余，真正做到“解一題會一片”，從而脫離“題海”，提高學習效率.

五、提煉思想方法，促進學生思維發(fā)展

數(shù)學思想是數(shù)學思維的核心，是數(shù)學知識與方法的抽象與概括，是數(shù)學的靈魂.而習題課教學是培養(yǎng)學生數(shù)學思想方法的最佳時機.教師在習題課教學中應注意提煉數(shù)學思想方法，強化學生對數(shù)學思想方法的應用，這有利于學生優(yōu)化認知結(jié)構，活化所學知識，深化思維層次，從而提高數(shù)學解題能力.

【案例5】 七年級期末習題課中，筆者給出了一道題目：化簡x-12+2-x3.并請兩位學生板演.其中一位學生通過通分求出正確的結(jié)果，而另一位學生的解題過程是：原式=3（x-1）+2（2-x）=3x-3+4-2x=x+1.當筆者點評這位學生的解法時，引來了一些嘲笑.于是筆者立即問：“這位同學錯在哪兒呢？”學生回答道：“他把方程變形（去分母）搬到解計算題上了，結(jié)果丟了分母.”這個做錯的學生面紅耳赤，低下了頭.這時筆者順水推舟，來了一個“將錯就錯”：“剛才這位同學把計算題當作方程來解，雖然解法錯了，但卻給我們一個啟示：若能將該題去掉分母來解，其解法確實簡潔明快，因此我們能否考慮利用方程思想來解決它呢？”由此得出一個新穎的解法，具體如下.

解：設x-12+2-x3=A，

去分母得：3（x-1）+2（2-x）=6A，

去括號得：3x-3+4-2x=6A，

合并同類項得：x+1=6A，

解得：A=x+16.

所以此題的結(jié)果是x+16 .（此時，那位做錯的學生終于笑了.）

學生都贊嘆這種用方程思想解題的方法，覺得很有創(chuàng)意，同時明白代數(shù)式問題也可以用方程思想來解決，從而體會到方程思想在解題中的妙用，也驗證了數(shù)學家笛卡爾說過的話：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，一切數(shù)學問題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，而一切代數(shù)問題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問題.因此，一旦解決了方程問題，一切問題將迎刃而解！”

總之，教學過程是一個不斷探索與實踐的過程，是一項系統(tǒng)工程.我們應正確認識習題課教學的重要性，運用科學的方法組織習題課教學（由題海戰(zhàn)術向習題精選轉(zhuǎn)變，由重知識向重思維過程轉(zhuǎn)變，由重掌握向糾錯反思轉(zhuǎn)變，由就題論題向借題發(fā)揮轉(zhuǎn)變），真正發(fā)揮習題功效，讓習題課教學更有效，更高效，從而更好地培養(yǎng)學生的解題技巧，提高學生的思維能力，達到培養(yǎng)學生能力、提高學生素質(zhì)之目的.

（責任編輯 黃春香）